Giải Toán 11: Vấn đề 3. Nhị Thức NewTon

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích› Vấn đề 3. Nhị thức NewTon Giải Toán 11: Vấn đề 3. Nhị thức NewTon

• 
• 
• 
• 
• 
• 

VẤN ĐỀ 3. NHỊ THỨC NEWTON A. Kiến thức cần nhớ Công thức nhị thức Newton: (a + b)" = c°an + cj,an'lb + c2an‘2b2 + ... + cka”~kbk + ... + C^bn Tính chất: Khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi sô' hạng là n. Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk+1 = ckan_kbk với k = 0, l,...n (l + x)n =c°+C*x + C2x2 + ... + C"xn x 7 n n n n c° + c’ + c„ + ... +CỊỊ = 2n B. Giải bài tập sách giáo khoa Bài 1 13 X-- l xj Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: a) (a + 2b)5 b) (a - V2)6 Giải (a + 2b)5 = £ck.a5k.(2b)k b) (a- V2)6 = jb Cka6-k(-V2)k Bài 2 Giải Hệ số của X3 trong khai triển là Cj’j . Hệ sô cua X3 trong khai triển là Cfi =<T ■ Bài 3 [ Biết hệ số của X2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90, tìm n. j Bài 4 Ta có: k + 4 = f|T = tckx^-k V x/ k=0 \x7 k=0 Vì số hạng không chứa X nên 8 - k ■—- k - 0 hay k = 2. Vậy số hạng đó là Cg =28. Bài 5 Từ khai triển biểu thức (3x - 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. Giải Tổng các hệ số của đa thức (3x - 4)17 là (3.1 - 4)17 = (-1)17 = -1. Bài 6 Chứng minh rằng: ll10 - 1 chia hết cho 100. ÌOI1^0 - 1 chia hết cho 10000. 7ĨÕ[(1 + 7ĨÕ)' 11 - (1 - a/ĨÕ)iu0 J là một số nguyên. Giải llltì - 1 = (1 + 1O)10 -1 = £ckữ10k - 1 . k=u <10 \ = £ck010k+102+1-1 Tương tự câu a). kk=2 ' (1 + 7ĨÕ)100 =£Ck„,(VĨÕ)k = A + B; k=0 (1-7ĨÕ)100 =^Ck00(-l)k(VĨÕ)k = A-B, k=0 ỉ 100 "trong đó A = £c?',io' /=0 B = gc“;'io'7ĩõ Từ đó (1 + Vĩõ)10" - (1 - a/ĨÕ)100 = 2B. Vậy 7ĨÕ[(1 + 7ĨÕ)1OU-(1-7ĨÕ)"’1’] = 2^C^110/+1 6 z c. Bài tập bô sung Bài 1 Với n là số nguyên dương chứng minh rằng 'C^+CL+... + C;>C^CL+... + cr- Giải Ta có: 0 = (1 - l)2" = c’7 - c’n + c2n - c3n 4- ... - C2"’1 + C2" Suy ra C'L 4- c2n 4- ... 4-c2" = c‘n + c3n + ... + c^-1 Bài 2 Viết khai triển Newton của biếu thức (3x - l)16. Từ đó chứng minh rằng 316c°g - 315c*g + 314c2g -... + c;° = 216. Giải Viết khai triển Newton (3x-l)16 = Jckg(3x)16-k(-l)k = = cf6316x16 - c;6315x15 4- C2g314 X14 - ... + CJI Cho x = 1 ta được 216 = (3 - l)16 = Ci’gS16 - CỊg315 + C2g314 - ... 4- CJ® (đpcm) Bài 3 —77Ĩ—7 •—ĩ ”—77 , " " ' Chứng minh rằng với 3 < k < n ta có + 3Ck-4 4-3Ck~2 4-ck~3 = c^g. ■ Giải Ta có ck + 3Ck_1 + 3Ck’2 + ck’3 = ck + Ck-‘ + 2(ck’’ 4- ck’2) 4- ck“2 + ck"'! = cL + 2CỈ;i + ci;ỉ = (ct, + cỉ;í) + (ci;ì + c„k;?) = -CU + C&-CU (đpcm) Bài 4 Chứng minh rằng với mọi n nguyên và n > 2, ta luôn có đẳng thức 1.1. 1 n-1 A 2 A2 A.| A2 n Giải Theo công thức tính chính hợp, ta có A2 = k(k - 1) Vì vậy Do đ(' 1 1 A’k ~ k(k 1) 1.1.1 H—“7 H—777 + A2 A2 A2 1 1 k-1 " k 1 _ 1 1 Ỉ_A 1_A ' AẠ “ 1 2 + 2 3 + 3 “ 4 _ , 1 n - 1 = 1 = (đpcm). n n Bài 5 12 Ta có: x + Giái \ k=0 . x k=l) ì rr ìn  Tí rr nìniỸo V lò en boníT IỸ11 rr xrrÝi 1 Tìm số hạng không chứa X trong khai triển Newton của I X + — lẽt CU. ~ ■ /.'■'12“ 12-k z J 12 ' , < xy \ x* , s,.. So hạng không chứa X là sô hạng ứng với k thỏa mãn điểu kiện 2k - 12 = 0 k = 6. Vậy số hạng không chứa X là c(;2 = 924. Bài 6 Đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 +...+ 20(1 + x)20 được viết dưới dạng P(x) = a0 + axx + a2x2 +...+ a20x20. Tìm a15. Giai Hệ số của xk trong khai triển của (1 + x)n là ck . Do đó hệ số của X15 trong khai triển của 15(1 + x)15 là 15Cj|, trong khai triển của 16(x + l)16 là 16Cjg,..., trong khai triển cùa 20(1 + x)20 là 20C.1,3. Vậy: a15 - 15CỊI + 16Cjg + 17CJ5 + 1SCJ2 + 19CJ3 + 20C‘ị = 15 + 16Cjg + 17Cf7 + 18C?S + 19c;9 + 2OC3o ir . J . 1f7 17.16 . 1O 18.17.16 in 19.18.17.16 , on 20.19.18.17.16 = 15 +16.16 +17. ’ +18.——— +19. 7— + 20. --- _ 2 6 24 120 = 400995 Bài 7 Khai triển và rút gọn đa thức P(x) = (1 + x)6 + (1 + x)7 + (1 + x)8 + (1 + x)9 + (1 + x)10 ta được P(x) = a10x10 + agx9 + asx8 +...+ atx + a0. Tính aR. 2 -——— / Giải Hệ số của X8 trong các khai triển của (1 + x)8, (1 + x)9, (1 + x)10 lần lượt lả Cg,Cg,C?y. Do đó a8 = Cg + c* + C*, = 1 + cỉ, + Cf0 = 1 + 9 + 45-55 7 .-ì 2 Ỹ Trong khai triển của I 3x" 7 I tìm hệ số của sô hạng chứa X10. Giai Bài 8 V 11 it 1 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển của biểu thức đã cho là c.ỉ(3x:ìrk 4^ = c.s 33~k(-2)k xb'-3k-2k Sô hạng chứa X10 khi và chỉ khi k thỏa mãn phương trình 15 - 5k = 10 k = 1. Vậy hệ số của số hạng chứa X10 là Cr,34(-2)J = -810. Bài 9 Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)“ bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có (1 + X2) = c° + C* X2 + cỹ + ... + c>2k + ... + C"x2n (*) Thay X = 1 vào (*) ta được Theo giả thiết c“ + c* + C2 + ... + C" = 1024 , do đó 2“ = 1024 2n = 210 O n = 10 Vì vậy hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển của (x2 + l)10 là a = cfo = 210 . Bài 10 Cho đa thức: P(x) = (1 + X)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 +...+ (1 + x)14 có dạng khai triển là P(x) = a0 + axx + a2x2 + a3x3 +...+ a14x14 Hãy tính hệ số a9. Giải Hệ số của X9 trong khai triển của (1 + x)9, (1 + x)10,..., (1 + x)14 lần Bài 2 Bài 3 Giải hệ phu Giải bất phương trình Bài 4 Bài 5 Giải hệ phương trình Chứng minh rằng với 0 < k < n ta có 9 CCn+k.C"n_k<(C^n

Các bài học tiếp theo

• Vấn đề 4. Phép trừ và biến cố
• Vấn đề 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học
• Vấn đề 2. Dãy số
• Vấn đề 3. Cấp số cộng
• Vấn đề 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Vấn đề 1. Giới hạn của dãy số
• Vấn đề 2. Giới hạn của hàm số

Các bài học trước

• Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Vấn đề 1. Qui tắc đếm
• Ôn tập chương I
• Vấn đề 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Vấn đề 1. Hàm số lượng giác

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích(Đang xem)
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích

• CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Vấn đề 1. Hàm số lượng giác
• Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Vấn đề 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
• Vấn đề 1. Qui tắc đếm
• Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Vấn đề 3. Nhị thức NewTon(Đang xem)
• Vấn đề 4. Phép trừ và biến cố
• Vấn đề 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• CHƯƠNG III. DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
• Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học
• Vấn đề 2. Dãy số
• Vấn đề 3. Cấp số cộng
• Vấn đề 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
• Vấn đề 1. Giới hạn của dãy số
• Vấn đề 2. Giới hạn của hàm số
• Vấn đề 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
• Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Vấn đề 2. Qui tắc tính đạo hàm
• Vấn đề 3. Đạo hàm các hàm số lượng giác
• Vấn đề 4. Vi phân
• Vấn đề 5. Đạo hàm cấp cao
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm