Giải Toán 12 Bài 1. Nguyên Hàm

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích› Bài 1. Nguyên hàm Giải toán 12 Bài 1. Nguyên hàm

• 
• 
• 
• 
• 

§1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CĂN BẢN NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi X 6 K. Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số c, hàm só G(x) = F(x) + c cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Định lí 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều cỏ dạng F(x) + c, với c là một hằng số. Tính chất Jf'(x)dx = f(x) + c Jkf (x)dx = k Jf(x)dx (k * 0) J[f(x)±g(x)]dx = Jf(x)dx± Jg(x)dx Định lí 3 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm . ồdx = c J ax axdx = — + c (a > 0, a * 1) Ina . ‘dx = X + c J cosxdx = sinx + c . x“dx = — xa+1 +c (ct*-1) a +1 I sinxdx = -cosx + c . - dx = ln|x| + c X . —V dx = tanx + c COS2 X ’exdx = ex + c —dx = -cotx + c sin2 X II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Nếu Jf(u)du = F(u) + c và u - u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Jf(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + c Hệ quả: Jf(ax + b)dx = — F(ax + b) + c (với a * 0) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số u = u(x) và V = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Ju(x)v'(x)dx = u(x)v(x)- Ju'(x)v(x)dx hay Judv = uv-Jvdu B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP c 2 f K 1 - — e và í1--!' ( X.J 1 1. Trong các cặp hàm sò’ dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm sô' còn lại? a) e * và -e ’ ; b) sin2x và sin2x ; éịiải Ta có (e"x)' = -e"x và (-ẹ’x)' - e“x nên e~x và -e~x là nguyên hàm của nhau. (sin2x)' = 2sinxcosx = sin2x nên sin2x là một nguyên hàm của sin2x. c) 1- x2 nên 11 - — I ex là một nguyên hàm của í 1 - — j ,ex. 2. Tìm nguyên hàm của các hàm sô' sau: a) fix) ■■ 7x4-1 b) fix) = 2X - 1 c)ftx) = ■ 2 2 ’ sin x.cos X d) fix) = sin5x.cos3x ; e) fix) = tan2x ; g) fix) = e3~2x; h) fix) = — ———— . (1 + x)(l - 2x) ố/Zz?Z (2Ỵ fíx) = pỊĨ-e- = Jf (x)dx = H +e->= —2—+ i . 2^-1 lej J v ’ ln2 e*(ln2-l) ex ex(ln2-l) c) dx e 11,, . . sin2 X cos2 X JVsin2x cos2 X + — I dx = tanx - cotx + c Jsin5xcos3xdx = 4 J(sin8x + sin2x)dx = -4f4C0S8x + ^cos2x I +c 2 2 \ 8 2 / = - 4 (4 cos8x + cos2x) + c 4 4 ftan2 xdx = f| —4 1 I dx = tanx - X + c J JVcos2 X ) Je3_2xdx = -ỉe3’2* + c 2 = ấA: - A-i = - J-ri (2 + 2x)(l-2x) 3V2 + 2x l-2xj 3<2(x + l) 2x-lj Jf(x)dx = 4 In IX + 11 - 4 In 12x - 11 + c = 4 In x+1 3 3 3. Sứ dụng phương pháp đối biến số, hãy tính: 3 b) Jx(l + X2)2 dx (đặt u = 1 + X2); a) J(l - x)9 dx (đặt u = 1 - x); 2x -1 + c. c) J cos3 X sin xdx (đặt t = cosx) ; d) f——— (đặt u = e’+ 1). J ex + e x + 2 Ốịlảl Đặt u=l-x=>du = -dx => dx = -du f(l - x)9dx = - fu9du = -4^ + c =--4(1 - X)1" + c J 10 10 Đặt u = 1 + X2 => du = 2xdx => xdx = 4 du 2 ? 1 ? 1 5 1 5 Jx(l + X2 j^dx = 4 Ju2du = -U- + c = 4<1 + X2)2 + c Đặt t = cosx => dt = -sinxdx => sinxdx = -dt fcos3 xsinxdx = - ft3dt = -— + c = -4cos4x + c J J 4 4 d) ‘= í dx í: exdx gX + e-x + 2 J e2x + 2gX + Đặt t = ex + 1 => dt = exdx Suy ra I - = - “ + c = t ex +1 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a) Jxin(l + x)dx b) J(x2 + 2x - ljexdx c) Jxsin(2x + l)dx d) J(l - x)eosxdx . Ốjiải rill - đx „1 nsi Ju = ln(l + x) u ” 1 + x a,Đặtiđ-- xdx = L ỊịÍ v 2 Jxln(l + x)dx = yln(l + x)- I . = ặln(l + X)- ị ffx-l + —?—ì 2 2Jl X +1) dx ln(l + x) - - X + ln|x + lị) + c „2 „ = j(x2 - l)ln(l + x) - 2 4 b) Đặt u = X + 2x - 1 du = (2x + 2)dx V = ex Đặt dv = exdx J(x2 + 2x - l) exdx = (x2 + 2x - l)ex - 2 J(x + 1) exdx u = X + 1 dv = exdx du = dx v = ex Suy ra J(x + 1) exdx = (x + l)ex - Jexdx = xex + c Vậy J(x2 + 2x -1) exdx = (x2 + 2x - l)ex - 2xex + c = (x2 - l)ex + c. du = dx -1 c) Đặt dv = sin(2x + l)dx Jxsin(2x + l)dx - ■^■cos(2x + 1) + ệ- Jcos(2x + l)dx V = —cos(2x + 1) 2 d) Đặt u = 1 - X dv = cosxdx 2 X 1 = --^cos(2x + 1) + -ySÍn(2x + 1) + c 2 4 du = -dx V = smx J(l-x)cosxdx = (1 - x)sinx + Jsinxdx = (1 - x)sinx - cosx + c. c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Tính các nguyên hàm sau: a) Jx27l + X3 dx; b) Jx2.e x dx; c) j--nx) dx; d) J dx ex-e_x Tính các nguyên hàm các hàm số sau: J(1 -3x)e_2*dx b) Jxln(2-x)dx Jxcos2xdx d) Jexsin2xdx. Bàng cách biến đổi lượng giác hãy tính: a) Jcos4 xdx ; b) Jsin xcos2x.sin7xdx ; c) J(sin6 X + cos6 xjdx .

Các bài học tiếp theo

• Bài 2. Tích phân
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• Bài tập trắc nghiệm
• Bài 1. Số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập trắc nghiệm

Các bài học trước

• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập chương II
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập chương I

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích

• Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Bài tập trắc nghiệm
• Chươmg II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II
• Bài tập trắc nghiệm
• Chương III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm(Đang xem)
• Bài 2. Tích phân
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• Bài tập trắc nghiệm
• Chương IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập trắc nghiệm
• Ôn tập cuối năm