Giải Toán 12: Bài 1. Nguyên Hàm

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Giải Toán 12 Giải Tích› Bài 1. Nguyên hàm Giải Toán 12: Bài 1. Nguyên hàm

• 
• 
• 
• 
• 
• 

CHƯƠNG 111. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu F’(x) = ffx) với mọi X e (a; b). Thay khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b] thì ta có định nghĩa sau đây: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số fix) trên đoạn [a; b] nếu: F(x) là nguyên hàm của fix) trên khoảng (a; b). Tại a và b, F(x) lần lượt có đạo hàm bên phải và bên trái sao cho F'(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b). Định lí Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số fix) trên khoảng (a; b) thì: Với mọi hằng số c, F(x) + c cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b). Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì tồn tại một hằng số c sao cho G(x) = F(x) + c. Người ta dùng kí hiệu Jf(x)dx để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của fix). Ta viết: J f(x)dx = F(x) + c Trong đó F(x) là một nguyên hàm của fix) và c là một hằng số bất kì. Các lính châì của nguyên hàm Với f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên một khoảng I: Q f(x)dxj’ = f(x) J [f(x) + g(x)]dx = j f(x)dx + J g(x)dx J kf(x)dx = kJ f(x)dx (k * 0) Sự ton ỉại nguyên hàm Định lí Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hay đoạn [a; b]) đều có nguyên hàm trên khoảng (hay đoạn) đó. Nguyên hàm của một sô' hàm J Odx = c, J dx - X + c í — dx = ln|x| + c (x 0) J exdx = ex + c J sinxdx = - cosx + c i \ í —dx = tanx + c 7 J cos X Sô' thường gặp [ x“dx = —- + c (a -1) f-ydx = -—+ c (x * 0) J X2 X faxdx = -^—+ c (0<a?il) J Ina J cosxdx = sinx + c í -.—Ị,— dx = -cotx 4- c J sin X Một sô'phương pháp tìm nguyễn hàm Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và F(x) là một nguyên hàm của nó. Nếu X = u(t) là hàm số có đạo hàm liên tục và có tập giá trị T c (a; b) thì ta có: J f[u(t)].u ’(t)dt = F[u(t)] + c Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Cho u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nào đó, ta có: J u(x)v '(x)dx = u(x)v(x) - J u '(x)v(x)dx hay Iudv = uv - Ivdu B. BÀI TẬP Bài 1 Trong các cặp hàm sô' dưới đây, hàm sô' nào là nguyên hàm của hàm sô' còn lại? e_x và -e_x b) sin2x và sin2x X 2 ì2 „x 4Lx 1 - — e và i-— e V X J V X J Giải (e'x)’ = -e~x. Hàm sô e_x là nguyên hàm của hàm sô -e x (-e-x)’ = e“x. Hàm số -e_x cũng là nguyên hàm của hàm số e x. (sin2x)’ = 2sinx.cosx = sin2x Vậy hàm số sin2x là nguyên hàm của hàm số sin2x. „ . _ _ (4 _ 4> „ 7 2Ỷ Gọi f(x)= 1-- ex^f’(x) = 4.ex+ 1-- ex= 4 + 1-- ex= 1-- ex V xj XT V x) V xj /■ 4^ X1 , , c 2Ỹ. Vậy 1 - — ex là nguyên hàm của hàm số 1 - — ex. X) < xj Bài 2 Tìm nguyên hàm của các hàm . X + Vx + 1 a) f(x) = 77= Ẳ/x c) f(x) = 1 2 ' sin X. cos X e) fíx) = tan2x h) f(x) = —————— ' (1 + x)(l - 2x) Giải 2 11 3 a) J f(x)dx = I (x3 + X6 + X 3 )dx = 2 Vậy í f(x)dx = , 1 . + e x + c ■y J ln2-l ex sin22x 2X -1 f(x) = ^—i e f(x) = sin5x.cos3x f(x) = e3_2x 5 7 Q 2 .3 + 2 x6 + £x3 + c 7 2 -1 e_xdx 1 2X ^4—--^ị + C2 In 2 - 1 ex 2 2X 1 , ex(ln2-l) ex + c J f(x)dx = ỉ J (sin8x + sin2x)dx = + c°s^xi + c = 2 2 \ 8 2 J = - — I — cos8x + cos2x I + c 4<4 ) I f(x)dx = J ((1 + tan2x) - l)dx = tanx - X + c J f (x)dx = -1J e3_2xd(3 - 2x) = -1 e3'2x + c , ' ' . 1 A B Đặt , ,—— - ——- + -—— (1 + x)(l - 2x) 1 + X 1 - 2x Suy ra A(1 - 2x) + B(x + 1) = 1 (-2A + B)x + A + B = 1 Ta có hệ phương trình: Ta được: (1 + x)(1 _ 2x) ~ 3 u + X + 1 - 2xJ Do đó Jf(x)dx = ^Jj-^— dx + 2j—= -i(ln|l + x|-ln|l-2x|) + c Bài 3 Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: |(1 - x)9dx (đặt u = 1 - x) 3 j x(l + x2)2dx (đặt u = 1 + x2) J COS3X sinxdx (đặt t - cosx) í——■“—— (đặt u = ex + 1) J ex + e-x + 2 Giải a) Đặt u = l- x=>du = -dx f(l-x)9dx = -fu9du = -^- + C = -^^- + C b) Đặt u = 1 + X2 => du = 2xdx J x(l + X2 )2 dx = i J u2du 10 10 5 1112 1 „ - = ị.^ + C = ị(l + x2)2 +c 2 5 5 Đặt u = cosx => du = -sinxdx I cos3xsinxdx = -iu3du = - + c = - —COS4X + c J J 4 4 Í “7 ~z -dx = Í “77—I —7 dx = [ e „ dx 7 J ex + e’x + 2 J e1 4 2 Đặt u = X2 + 2x - 1 và dv = exdx Ta được du = 2(x + l)dx và V = ex Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: J (x2 + 2x - l)exdx = ex(x2 + 2x - 1) - 2|(x + l)exdx Đặt s = X + 1 và dt = exdx Ta được ds = dx và t = ex í (x + l)exdx = (x + l)ex - J exdx = (x + l)ex - ex + Cj = xex + c\ Vậy J (x2 + 2x - l)exdx = ex(x2 + 2x - 1) - 2xex + c = (x2 - l)ex + c Đặt u = X và dv = sin(2x + l)dx Ta được du = dx và V = - ỉ cos(2x + 1) + 1 + 2ex J (ex + I)2 Đặt u = ex + 1 => du = exdx f- —dx= i-y du =-—+ c =- J ex + e"x + 2 J u2 u ex +1 Bài 4 Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a) IX ln(l + x)dx b) J (x2 + 2x - l)exdx J X sin(2x + l)dx d) J (1 - x) cosxdx Giải a) Đặt u = ln(x + 1) và dv = xdx J_ 1 , V _ X2 Ta được du = —— dx và V = X +1 2 Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: 2 -| 2 f xln(x + l)dx = ln(x +1) - — í dx J 2 2-*x + l X2 1 1 A X2 1 (X2 -x + ln(x + l) +c =-7-ln(x +1) - 4 [ X-1 + —ỉ- dx = ^-ln(x + l)-4 ^7 2 2J< X + 1J 2 2^2 Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: I X sin(2x + l)dx = - Ặ X cos(2x + 1) + 4 [ cos(2x + l)dx = J 2 2J = - cos(2x + 1) + 4 sin(2x + 1) + c 2 4 Đặt u = 1 - X và dv = cosxdx Ta được du = -dx và V = sinx Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: í (1 - x) cosxdx = (1 - x) sinx + I sinxdx = (1 - x) sinx - cosx + c

Các bài học tiếp theo

• Bài 2. Tích phân
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• Bài 1. Khái niệm số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân các số phức
• Bài 3. Phép chia các số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai trong C
• Ôn tập chương IV
• Ôn tập cuối năm

Các bài học trước

• Ôn tập chương II
• Bài 6. Bất phương trình mũ và lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
• Bài 3. Lôgatit
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 1. Lũy thừa
• Ôn tập chương I
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích(Đang xem)
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Giải Toán 12 Giải Tích

• CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgatit
• Bài 4. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và lôgarit
• Ôn tập chương II
• CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm(Đang xem)
• Bài 2. Tích phân
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
• Ôn tập chương III
• CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Khái niệm số phức
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân các số phức
• Bài 3. Phép chia các số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai trong C
• Ôn tập chương IV
• Ôn tập cuối năm