Giải Toán 12 Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực Trang 139 ...

Nội dung bài viết

1. Giải bài tập Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
2. Lý thuyết Toán lớp 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Mời các em học sinh và quý thầy cô tham khảo hướng dẫn Giải Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực trang 139, 140 chính xác nhất, được đội ngũ chuyên gia biên soạn đầy đủ và ngắn gọn dưới đây.

Giải bài tập Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 4 trang 139: 

Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?

Lời giải:

Căn bậc hai của một số thực dương a là một số thực b sao cho b2 = a.

Bài 1 (trang 140 SGK Giải tích 12): 

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7;-8;-12;-20;-121

Lời giải:

Căn bậc hai của -7 là ±i √7

Căn bậc hai của -8 là ± i 2√2

Căn bậc hai của -12 là ± i2 √3

Căn bậc hai của -20 là ± i 2 √5

Căn bậc hai của -121 là ± 11i

Kiến thức áp dụng

Căn bậc hai của số thực a âm là 

Bài 2 (trang 140 SGK Giải tích 12): 

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z2 + 2z - 1 = 0

b) 7z2 + 3z + 2 = 0

c) 5z2 - 7z + 11 = 0

Lời giải:

a) Phương trình -3z2 + 2z - 1 = 0

có Δ' = 12 - 3 = -2

Phương trình có hai nghiệm 

b) Phương trình 7z2 + 3z + 2 = 0

có Δ = 32 - 4.7.2 = -47 < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm 

c) Phương trình 5z2 - 7z + 11 = 0

có Δ = 72 - 4.5.11 = -171 < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm 

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

có Δ = b2 - 4ac

+ Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 

+ Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép 

+ Nếu Δ < 0, phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt 

Bài 3 (trang 140 SGK Giải tích 12): 

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z4 + z2 - 6 = 0

b) z4 + 7z2 + 10 = 0

Lời giải:

a) z4 + z2 – 6 = 0

⇔ z4 – 2z2 + 3z2 – 6 = 0

⇔ z2 .(z2 – 2)+ 3. (z2 -2) = 0

⇔ (z2 – 2)(z2 + 3) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm 

b) z4 + 7z2 + 10 = 0

⇔ z4 + 5z2 + 2z2 + 10 = 0

⇔ z2 (z2 + 5) + 2.(z2 + 5) = 0

⇔ (z2 + 2)(z2 + 5) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm 

Kiến thức áp dụng

Căn bậc hai của số thực a âm là 

Bài 4 (trang 140 SGK Giải tích 12): 

Cho a, b, c ∈R,a ≠ 0,z1 , z2 là hai nghiệm phân biệt ( thực hoặc phức) của phương trình ax2+bx+c=0. Hãy tính z1+z2 và z1.z2 theo hệ số a, b, c.

Lời giải:

Cách 1 :

Phương trình az2 + bz + c = 0 có Δ = b2 - 4ac

+ TH1 : Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức 

+ TH2: Δ ≥ 0, theo định lý Vi-et ta có:

Cách 2 :

Vì z1; z2 là hai nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 nên ta có:

a.z12 + bz1 + c = 0 (1)

az22 + bz2 + c = 0 (2).

+ Trừ hai vế tương ứng của (1) cho (2) ta được:

a.(z12 – z22) + b(z1 – z2) = 0

⇔ a.(z1 – z2)(z1 + z2) + b.(z1 – z2) = 0

⇔ a.(z1 + z2) + b = 0 (Vì z1 z2 nên z1 – z2 0).

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

có Δ = b2 - 4ac

+ Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 

+ Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép 

+ Nếu Δ < 0, phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt 

Bài 5 (trang 140 SGK Giải tích 12): 

Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z− làm nghiệm.

Lời giải:

Lý thuyết Toán lớp 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w .

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

    Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R; a ≠ 0). Xét Δ = b2 - 4ac, ta có

    • Δ = 0: phương trình có nghiệm thực x = -b/2a .

    • Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: .

    • Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: .

    ** Chú ý.

    - Mọi phương trình bậc n: A0zn + A1zn-1 + ... + An-1z + An = 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

    - Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

    • Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

        + a < 0, a có các căn bậc hai là ±i√|a| .

        + a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.

        + a > 0 , a có hai căn bậc hai là ±√a.

Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và -i. Hai căn bậc hai của -a2 (a là số thực khác 0) là ai và -ai.

    • Trường hợp w = a + bi (a,b ∈ R, b ≠ 0)

    Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z2 = w, tức là

    (x + yi)2 = a + bi ⇔ x2 - y2 + 2xyi = a +bi ⇔ 

    Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức w = a + bi.

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.

Hướng dẫn:

    Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của số phức w = -5 _ 12i.

    Ta có z2 = w ⇔ (x + yi)2 = -5 + 12i ⇔ 

    Vậy w = -5 + 12i có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 - 3i.

2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

    • Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0

Hướng dẫn:

    Ta có ± = b2 -4ac = -3 < 0

    Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là .

    • Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

    Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

        + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

        + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = -1.

    Định lý Bơdu:

    Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a

    Tức là f(x) = (x - a)g(x) - f(a)

    Hệ quả: Nếu f(a) = 0 thì f(x)⋮ (x - a)

    Nếu f(x)⋮(x - a) thì f(a) = 0 hay f(x) = 0 có một nghiệm x = a

    – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

    Với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 chia cho x - a có thương là g(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + ... + b1x + b0 dư r

	an	an-1	an-2	a2	a1	a0
a	bn-1 = an	bn-2 = abn-1	bn-3 = abn-2	b1 = ab2	b0 = ab1 + a1	r = ab0 + b0

    – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

    Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

    – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

    – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

    – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

    – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

B. Kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi

    1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.

    Nhập số thuần ảo i: Phím ENG

    2. Tìm các căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z = -3-4i có kết quả:

Hướng dẫn:

    Cách 1:

    – Mode 2 (CMPLX)

    – Nhập hàm X2

    – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.

    Cách 2:

    – Mode 1 (COMP)

    – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol(-3;4)

    – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Rec(√X,Y:2), ta thu được kết quả X = 1; Y = 2.

    – Vậy 2 số phức cần tìm là 1 + 2i và -1 - 2i.

►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về Giải Toán lớp 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực trang 139, 140 file PDF hoàn toàn miễn phí.