Giải Toán 8 Bài 12: Chia đa Thức Một Biến đã Sắp Xếp

c) (x2−2xy+y2):(y−x).

Phương pháp giải: - Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, sau đó thực hiện phép chia.

- Áp dụng hằng đẳng thức: (A−B)2=A2−2AB+B2

Lời giải:

(x2−2xy+y2):(y−x)

=(x−y)2:[−(x−y)]

=−(x−y)=y−x

Hoặc ta làm như sau:

(x2−2xy+y2):(y−x)=(y2−2xy+x2):(y−x)=(y−x)2:(y−x)=y−x

Bài 69 trang 31 sgk Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức A=3x4+x3+6x−5 và B=x2+1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A=B.Q+R.

Phương pháp giải: Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.

Lời giải:

Vậy 3x4+x3+6x−5=(x2+1)(3x2+x−3)+5x−2

Bài 70 trang 32 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính chia:

a) (25x5−5x4+10x2):5x2;

b) (15x3y2−6x2y−3x2y2):6x2y.

Phương pháp giải: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải:

a) (25x5−5x4+10x2):5x2

=(25x5:5x2)+(−5x4:5x2)+(10x2:5x2)

=5x3–x2+2

b) (15x3y2−6x2y−3x2y2):6x2y

=(15x3y2:6x2y)+(−6x2y:6x2y)+(−3x2y2:6x2y)

=156xy−1−36y=52xy−12y−1.

Bài 71 trang 32 sgk Toán 8 Tập 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.

a) A=15x4−8x3+x2

B=12x2

b) A=x2−2x+1

B=1−x

Phương pháp giải: Đa thức A chia hết cho đa thức B khi và chỉ khi từng hạng tử của A chia hết cho B.

Lời giải:

a) A=15x4−8x3+x2

B=12x2

Ta có: A,B là các đa thức một biến.

Thực hiện A chia B thì ta lấy từng hạng tử của đa thức A chia cho đa thức B.

15x4 chia hết cho 12x2

−8x3 chia hết cho 12x2

x2 chia hết cho 12x2

Do đó A chia hết cho B

b) A=x2−2x+1

B=1−x

A=x2−2x+1=(1−x)2

Do đó A chia hết cho B.

Bài 72 trang 32 sgk Toán 8 Tập 1: Làm tính chia: (2x4+x3−3x2+5x−2):(x2−x+1)

Phương pháp giải: Áp dụng qui tắc chia hai đa thức một biến đã sắp xếp.Lời giải:

Vậy (2x4+x3−3x2+5x−2):(x2−x+1)=2x2+3x−2

Bài 73 trang 32 sgk Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:

a) (4x2−9y2):(2x−3y);

b) (27x3−1):(3x−1);

c) (8x3+1):(4x2−2x+1);

d) (x2−3x+xy−3y):(x+y)

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, sau đó thực hiện phép chia.

Lời giải:

a) (4x2−9y2):(2x−3y)

=[(2x)2−(3y)2]:(2x−3y)

=(2x−3y).(2x+3y):(2x−3y)

=2x+3y;

b) (27x3−1):(3x−1)

=[(3x)3−13]:(3x−1)

=(3x−1).[(3x)2+3x.1+12]:(3x−1)

=(3x−1).(9x2+3x+1):(3x−1)

=9x2+3x+1

c) (8x3+1):(4x2−2x+1)

=[(2x)3+13]:(4x2−2x+1)

=(2x+1)[(2x)2−2x.1+12]:(4x2−2x+1)

=(2x+1)(4x2−2x+1):(4x2−2x+1)

=2x+1

d) (x2−3x+xy−3y):(x+y)

=[(x2+xy)−(3x+3y)]:(x+y)=[x(x+y)−3(x+y)]:(x+y)=(x+y)(x−3):(x+y)=x−3

Bài 74 trang 32 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm số a để đa thức 2x3−3x2+x+a chia hết cho đa thức x+2.

Phương pháp giải: Áp dụng định lí: Một phép chia là phép chia hết thì số dư của phép chia phải bằng 0.Lời giải:

Ta có: 2x3−3x2+x+a=(2x2−7x+15).(x+2)+a−30

Dư trong phép chia là (a−30) nên để phép chia là phép chia hết thì dư của phép chia phải bằng 0 tức là:

a−30=0⇒a=30

Vậy a=30.

Cách khác:

Phân tích 2x3–3x2+x+a thành nhân tử có chứa x+2.

Ta có:

2x3−3x2+x+a=2x3+4x2−7x2−14x+15x+30−30+a=2x2(x+2)−7x(x+2)+15(x+2)+a−30=(2x2−7x+15)(x+2)+a−30

Vì (2x2−7x+15).(x+2) chia hết cho (x+2) nên để 2x3–3x2+x+a=(2x2−7x+15).(x+2)+a−30 chia hết cho (x+2) thì a−30=0⇒a=30

Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp

1. Các kiến thức cần nhớ: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

- Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biếnB≠0 , trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên.

- Với hai đa thức tùy ý A và B của một biến (B≠0), tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho A=B.Q+R

Trong đó R=0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B.

+ Nếu R=0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

+ Nếu R≠0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư.

Ví dụ 1:

Ta viết lại (6x3−7x2−x+2):(2x+1)=3x2−5x+2. Nhận thấy số dư R=0 nên đây là phép chia hết.Ví dụ 2:

Ta viết lại x3−3x2+2x+1=(x+1)(x2−4x+6)−5 . Vì R=−5≠0 nên đây là phép chia có dư.

2. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm thương, số dư của phép chia đa thức một biến đã sắp xếp

Phương pháp: Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biếnB≠0 , trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên.

Dạng 2: Xác định hằng số a,b sao cho phép chia cho trước là phép chia hết.

Phương pháp: Sử dụng tính chất phép chia hết có số dư R=0 để tìm a,b .

Chú ý:

Ax+B=0 với ∀x⇔{A=0B=0