- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 9›
Giải Bài Tập Toán 9›
Giải Bài Tập Toán 9 Tập 1›
Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Giải toán 9 Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
§2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TÃ1=|a| Tóm tắt kiến thức Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi VÃ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. Điều kiện để cãn thức VÃ được xác định (hay có nghĩa) là giá trị của A không âm. Lưu ý. Nếu biểu thức A có chứa biến, muốn tìm giá trị của biến để cãn thức VÃ được xác định, ta phải giải bất phương trình A > 0. Với mọi biểu thức A, ta luôn có VÃ2" = I A| hay ry [ A nếu A > 0, Va2 = . V /7 -A nếu A < 0. Ví dụ giải toán Vídụl. Tính: V(-37)2 ; b) V(3-VĨÕ)2 ; c) V4x2 + 2ƠX + 25 . Giải. Áp dụng đẳng thức VÃ2" = IA|, ta có : V(-37)2 = |-37| =37; V(3-VĨÕ)2 = |3-VĨÕ|. Để viết kết quả dưới dạng không còn dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xét xem 3 - Vĩõ là số âm hay dương. Muốn vậy cần so sánh 3 và Vĩõ . Vì 3 = vv và 9 < 10 nên 3 < Vĩõ . Do đó 3 -Vĩõ < 0. Suy ra |3 - VĨÕ| =-(3 - Vĩõ) = Vĩõ - 3. Vậy V(3-VĨÕ)2 = Vĩõ - 3. c) Ta có : \Ux2 +2ŨX + 25 - ự(2x + 5)2 = |2x + 5|. Nhưng |2x + 5| = < 2x + 5 khi 2x + 5 > 0 hay khi X > —I -(2x + 5) khi X Vậy khi X > —I thì aMx2 +20x + 25 = 2x + 5 ; khi X < —thì V4x2 +20x4-25 = -(2x + 5) = -2x - 5. khi x < —f- thì aMx2 +2ƠX+-25 - 2 Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức : 7X +1-277 + 7X +1 + 277 . Phân tích. Ta chỉ có thể hy vọng rút gọn được biểu thức nếu có thể biến đổi căn hơn. Nhận thấy rằng để 77 có nghĩa thì X > 0. Do đó X = (77 )2. Thế thì X + 1 - 277 = (77)2 - 277 + 1 = (77 - l)2 và do đó X +1 -277 = V(77-l)2 . Bây giờ có thể áp dụng đẳng thức A2 =!a|. Giải. Ta có 7X+1-277 + 7X+1+277 = V(7x)2-277+1 + ự(77)2 +277+1 ' = ặ/ (77 — l)2 + ự (77 + l)2 = |77 —l| + |77 + l|. Vi 77 > 0 nên 77 + 1 > 0. Do đó |77 + l| - yfx + 1. Mặt khác 77 - 1 > 0 khi 77 > 1 hay khi 77 >71 ; tức là khi X > 1. Do đó |77-1 Vậy khi X > 1 thì -1 = 77 -1 khi X > 1 1 - 77 khi 0 < X < 1. 7x +1-277+7x +1+277 - 77-1 + 77 +1=2 77 ; khi 0 < X < 1 thì ựx +1-2a/x + ạ/x + 1 + 2a/x = 1 -a/x + Vx +1 = 2. Ví dụ 3. Tim điều kiện của X để mỗi căn thức sau có nghĩa : b) 3x + 2 a/7-5x ; Giải, a) a/7-5x có nghĩa khi 7 - 5x > 0. 7 Ta có : 7 - 5x > 0 7 > 5x 4 > X. 5 7 Vậy a/7-5x có nghĩa khi x - 5 • b) Điều kiện để x-1 x-l IX X_1 CÓ nghía là — > 0. '3x + 2 3x + 2 Ta có : (I)« (II) « 3x + 2 X>1 3x>-2 X<1 > 0 khi < x-l>0 (I) hoặc 3x < -2 3x + 2 > 0 X>1 x> 1. x > -- 3 xi‘ _ 2 o X < —- . x<-4 3 3 x-l<0 3x + 2 < 0 (II). I X_1 2 Vậy điều kiện để J--—— có nghĩa là X > 1 hoặc X < - —. V3X + 2 - 3 Lưu ý. - > 0 khi > < 0 khi < A>0 B>0 A>0 B<0 hoặc khi < hoặc khi < Á<0 B<0. A 0. Ví dụ 4. Giải phương trình : 3 a/2x + 8 -5 = 7-2 a/2x + 8 . Phân tích. Vì phương trình có ẩn dưới dấu căn nên ta phải đặt điều kiện cho ẩn để căn thức có nghĩa. Giải. Điều kiện để căn thức a/2x + 8 có nghĩa là 2x + 8 > 0 hay 2x > -8 hay x>-4. 3a/2x + 8 -5 = 7-2a/2x + 8 «5a/2x + 8 = 12 ạ/2x + 8 — — 2x + 8 — 5 '12 ~ " f12r _n.,o_144 28 28 Vì —> -4 nên phương trình có nghiệm là X =.—H' ■ c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 6. a) có nghĩa khi y > 0 ; vì 3 > 0 nên a > 0. có nghĩa khi -5a > 0 hay khi a < 0. ự4-a có nghĩa khi 4 - a > 0 hay khi a < 4. -ự3a + 7 có nghĩa khi 3a + 7 > 0 hay khi a > “. Bài 7. a)Đ5;0,l. V(-0,3)2 = 1-0,3| =0,3. -V(-l,3)2 =-|-l,3| =-1,3. , d) -0,4-\/(-0,4)2 = -0,4.|-0,4| = -0,4. 0,4 = -0,16. Bài 8. a) ĐS : 2 - V3 . V(3-VĨĨ)2 = |3-Vĩĩ| = -(3- 7ĨĨ)= Vĩĩ -3. ĐS: 2a. 3ự(a-2)2 =3|a-2|. Vì a < 2 nên a - 2 < 0. Do đó |a - 2| = -(a - 2) = 2 - a. Vậy 3 V(a-2)2 = 3(2 - a) = 6 - 3a. Bài 9. a) Ta có Vx2" = |x| nên Vx2” = 7 |x| = 7. Vậy X = 7 hoặc X = -7. HD : Chú ý rằng |—8| = 8. ĐS : X - 8 hoặc X = -8. HD : Chú ý rằng 4x2 = (2x)2. ĐS ; X = 3 hoặc X = -3. ĐS : X = 4 hoặc X = ^4. Bài 10. a) HD : Khai triển vế trái. Áp dụng kết quả của câu a) ta được : V4-2V3 =73-1. Suy ra V4-2V3 - Ti = -1. Bài 11. a) ĐS : 22. 36 : T2.32.18-Tl69 = 36 : Vl8.18 - 13 = 36 : V182” - 13 = 36 : 18 - 13 = 2 - 13 = —11. ĐS : VVsĩ = 3. £>s: 732 +42 =5. Bài 12. a) ĐS ; X >-3,5. ĐS : X < 4. 3 Điều kiện để J—V— có nghĩa là : —V— > 0. V-1+X — 1 + x Vì 1 > 0 nên -1 + X > 0. Do đó X > 1. 0 Lưu ý. Trong một phân số, mẫu số phải khác 0. Vì X2 > 0 với mọi giá trị của X nên 1 + X2 > 0 với mọi giá trị của X. Do đó Tl + X2 có nghĩa với mọi giá trị của X. Bài 13. a) Vì a < 0 nên Tã2” = |a| = —a. Đo đó 2 Vã2”- 5a = -2a- 5a = -7a. b) ĐS : 8a. Vi a4 = (a2)2 và a2 > 0 nên VÕF + 3a2 = V(3a2)2 + 3a2 = 3a2 + 3a2 = 6a2. Vi a < 0 nên a3 < 0 và |a31 = -a3. Do đó 5 Vĩ/ - 3a3 = 5 V(2a3)2 - 3a3 = 5. |2a31 - 3a3 = 5.(-2a3) - 3a3 = -13a3. Bài 14. HD. Chú ý rằng nếu a > 0 thì a = (Vã )2. x2-3 = x2-(V3)2 = (x- V3)(x+ Vĩ). Trả lờiX2 - 6 = (x - Vó )(x + Vó ). Trả lời : X2 + 2 V3 X + 3 = (x + V3 )2. Trả /ớz’; X2 - 2 V5 X + 5 = (x - V5 )2. Bài 15. a) £)S .■ X = V5 hoặc X = - V5 . x2-2VĨĨx+ 11 = 0 (x - Vĩĩ)2 = 0 X - Vĩĩ = 0 X = Vĩĩ. Bài 16. Phép chứng minh sai ở chỗ : sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức (m-v)2 = (V-m)2, ta được kết quả |m-V| = |V-m| chứ không thể có m - V = V - m . D. Bài tập luyện thêm Tim điều kiện để căn thức có nghĩa : -V3x -18 ; b) ạ/Vx2 +4V3X + 3 ; V2X2 +3x-2 ; d) j2X + 2 . \2x-5 Rút gọn biểu thức : 15 VĨ4 + 2V(VĨ4-4)2 -8 ; b) Vx2 -4x + 4 - Vx2 +4x + 4 . Giải phương trình : Vó -2x = V3x + 12 ; b) V4x -28Vx + 49 = 5. • Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số a) ĐS : X > 6. HD : Phân tích biểu thức dưới dấu cãn thành thừa số. Trả lời: Căn thức có nghĩa với mọi giá trị của X. c) Ta có 2x a) 15Vĩĩ + 2-\/(VĨ4 - 4)2 -8 = 15VĨ4 + 2IVĨ4-4| -8. Vì 4 = VĨ6 > V14 nên Vũ - 4 < 0. Do đó Ịa/Ĩ4 - 4) = -(V14 - 4) = 4 - V14 . Suy ra 15ạ/Ĩ4 + 2 ạ/( V14 — 4)2 -8 = 15 Vũ +2(4- Vũ)-8= 13 Vũ. Vx2 -4x + 4-Vx2 +4x + 4 =ạ/(x-2)2 -ự(x + 2)2 = |x —2|-|x + 2|. Ta có X — 2 > 0 \x > 2 ; x + 2>0x> -2. + 3x - 2 = 2x2 + 4x-X-2 Do đó : = (2x2 + 4x) - (x + 2) = (x + 2)(2x - 1) v/2x2+3x-2 = V(x + 2)(2x-l). Điều kiện để căn thức có nghĩa là : (x + 2)(2x - x + 2>0 x + 2<0 TT ra khi < (I) hoăc ( M II)- 2x-l>0 ^2x-l<0 x>-2 1 1 X > — . x>- 2 (I)« < 2 X <-2 (II) 1 X < -2. x<- 1 2 Vậy điều kiện để v/2x2+3x- - 2 có nghĩa là X > - d)//D . Xem ví du 3b). ĐS : X > — hoăc X < -1. • 0 Do đó : Khi X < —2 thì X — 2 < 0 và X 4- 2 < 0 và 7x2 -4x4-4-7x2 4-4x4-4 = |x - 2| -|x 4- 2| = -(x - 2) 4- (x 4- 2) = 4. Khi -2 0 và 7x2 -4x4-4-7x2 +4x + 4 =|x-2|-|x + 2| =-(x - 2) - (x 4-2) =-2x. Khi X > 2 thì X - 2 > 0, X + 2 > 0 và 7x2 -4x + 4 -7x2 +4x + 4 =|x - 2| - |x 4- 2| = (x-2)-(x + 2) = —4. a) Điều kiện để ạ/ó-2x có nghĩa là 6 - 2x > 0 hay X < 3. Điều kiện để 73x4-12 có nghĩa là 3x + 12 > 0 hay X > -4. Vậy điều kiện của ẩn là : -4 < X < 3. Từ Vó -2x = V3x + 12 suy ra 6-2x = 3x 4-12 5x =-6 X = -1,2. Vì —4 < —1,2 < 3 nên X = -1,2 là nghiệm của phương trình, Điều kiện để Vx có nghĩa là X > 0. Tacó 4x-28Vx + 49 = (27x)2-28Vx + 72 = (2Vx -7)2. Do đó V4x-28Vx+49 = 5o 7(2Vx-7)2 = 5» bVx-7| = 5. Giải phương trình I2VV - 7, =5. Vì 2 Vx - 7 > 0 Vx > 3,5 nên : khi Vx > 3,5 ta có I2VV - 7) = 2 Vx - 7 ; khi Vx < 3,5 ta có I2VV - 7) =7-2 Vx . Do đó : Khi Vx > 3,5 ta có phương trình 2Vx -7 = 5. Suy ra Vx = 6 (thỏa mãn Vx > 3,5 ). Vậy X = 36. Khi Vx < 3,5 ta có phương trình 7 — 2 Vx~ = 5. Suy ra Vx = 1 (thỏa mãn Vx <3,5 ). Vậy X = 1. Kết luận : phương trình có hai nghiệm là X = 36 và X = 1.
Các bài học tiếp theo
- Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
- Bài 6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)
- Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 9. Căn bậc ba
- Ôn tập chương I
- Bài 1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
- Bài 2. Hàm số bậc nhất
- Bài 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a khác 0)
Các bài học trước
Tham Khảo Thêm
- Giải Bài Tập Toán 9 Tập 1(Đang xem)
- Giải Bài Tập Toán 9 Tập 2
- Giải Toán Lớp 9 - Tập 1
- Giải Toán Lớp 9 - Tập 2
- Giải Toán 9 - Tập 1
- Giải Toán 9 - Tập 2
- Sách Giáo Khoa - Toán 9 Tập 1
- Sách Giáo Khoa - Toán 9 Tập 2
Giải Bài Tập Toán 9 Tập 1
- Phần Đại số
- Chương I. Căn bậc hai, căn bậc ba
- Bài 1. Căn bậc hai
- Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức(Đang xem)
- Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
- Bài 6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)
- Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 9. Căn bậc ba
- Ôn tập chương I
- Chương II. Hàm số bậc nhất
- Bài 1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
- Bài 2. Hàm số bậc nhất
- Bài 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a khác 0)
- Bài 4. Đường thẳng song song và đường thảng cắt nhau
- Bài 5. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)
- Ôn tập chương II
- Phần Hình Học
- Chương I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Bài 3. Bảng lượng giác
- Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Ôn tập chương I
- Chương II. Đường tròn
- Bài 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Bài 4. Vi trí tương đối của đường thẳng và đường tròn + Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7 + Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Ôn tập chương II
