- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 9›
Giải Bài Tập Toán 9›
Giải Toán Lớp 9 - Tập 2›
Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Giải Toán 9: Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
§2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI AN A. KIẾN THỨC Cơ BẦN Khái niệm vê' hệ hai phương trình bậc nhát hai ẩn TTA , ■ , . , , , , . X- / 1 * fax + by = c (1) Hệ hai phương trình bậc nhãt hai an có dạng: (I) 1 [a’x + b'y - c' (2) trong đó ax + by = c và a’x + b’y = c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhát hai ẩn Đôi với hệ phương trình (I), ta có: Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhát. Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm. Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô sô’ nghiệm. Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: Giải b) d) x + y = 2 ị2x + 2y = 4 [2x = 5 I X + 5y = -4 3ặc + 2y = 5 c) x + 2y = 1 3x - y = 1 6x - 2y = 3 a) Biểu diễn y qua X ở mỗi phương trình của hệ ta được: 3 5 y= ọx+ọ 31 z z vì a = - — -4 = a', hai đồ thị cắt nhau. Vậy hệ có 112 2 y = - - X + — X 2 ,2 y = -x + 2 y = -X + 2 nghiệm duy nhất. b) a = -1 = a’, b = 2 = b’, hai đồ thị trùng nhau. Vậy hệ nên hệ vô nghiêm. 5 X = — 2 ' 1 4 Vì đồ thị thứ nhất song song với Oy, còn đồ thị y = -4x X 1,55 thứ hai cắt hai trục nên chúng cắt nhau. Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Bài tập Cơ bản y = ““•X + 3 2 1 , y=-|x+l 3x - y = 3 y = 3 - 2x y = 3x-l 2y = -3x 3y = 2x a) b) c) < d) Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: 1 1 , X - — y = 1 I 3 2x + y = 4. -X + y = 1 b) a) ■ Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau băng hình học: 2x-ỷ = 1 x-2y = -l 6. Đố. Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhât hai ấn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau. Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (có thế’ cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị). y = 3 - 2x _<; y = 3x -1 Ta có a = -2, a’ = 3 nên a a’ Giải 4. a) y = -2x + 3 y = 3x - 1 Hai đường thẳng cắt nhau. Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhát). b) y = -^x + 3 2 y=--X +1 _ 1 . 1 Có a = a = -ị, b = 3, b’ = 1 nên a = a’, b b’. => Hai đường thẳng song song. Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường khác nhau và có cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau). 3 c) 2y = -3x 3y = 2x y = X 2 2.. y = — X nên a * a’ => Hai đường thẳng cắt nhau. 3 Có a = ",d' = " 2 3x - y = 3 y = 3x - 3 1 , ‘ 1 ‘ X - 7-y = 1 ^y = x-l 3 3 d) Vậy hệ phương trình có một nghiệm. y = 3x - 3 y = 3x - 3 Có a = 3, a’ = 3, b = -3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’. => Hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường, thẳng có phương trình đã cho trong hệ trùng nhau). 5. a) [2x-y = 1 2y = -l Vẽ (dp: 2x Cho X = 0 = y = 1 y = -1, ta được A(0; -1). Cho y = 0 Vì (d2): X - 2y = -1 1 „ lì Cho X = 0 => y = được c 10; I . Cho y = 0 => X = -1, được D = (-1; 0). Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ (x = 1, y = 1). Thay X = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được: 2.1 - 1 = 1 (thoa) 1 - 2.1 = -1 (thỏa) 2x + y = 4 ' -X + y = 1 Vẽ (dp: 2x + y = 4 Cho X = 0 => y = 4, được A(0; 4). Cho y = 0 => X = 2, được B(2; 0). Vẽ (d9): -X + y = 1 Cho X = 0 => y = 1, được C(0; 1). Cho y = 0 => X = -1, được D(-l; 0). b) 4^ y 'H 3 u2 2 1 -1/ -%N 7 i\ Ị \2 X ' / 0 7 -1 í \ Á Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ (x = 1; y = 2). Thay X = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được: 2.1 + 2 = 4 và -1 + 2 = 1 (thỏa) Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 2). 6. Trả lời: Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ộ. Bạn Phương nhận xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình và y = -X y = -X đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = X, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng y = -X. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm). 3. Bài tập tương tự Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau. Minh họa bằng đồ thị. , . x + y = 1 b) <! J - c) a) 2x + y = 3 3x - y = 1 X + 2y = 3 2x + 4y = 1 LUYỆN TẬP Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y - 5. Tìm nghiệm tống quát của mỗi phương trình trên. Vẽ các đường thẳng biếu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng. Cho các hệ phương trình sau: x = 2 Jx + 3y = 2 2x - y = 3 [2y = 4 Trước hêt, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm cùa các hệ đã cho bằng cách vẽ hình. a) b) 3x - 2y = 1 -6x + 4y = 0 a) x + y = 2 3x + 3y = 2 10. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: ' ■ Í1 2 f4x-4y = 2 b) -2x + 2y = -1 Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: [x - 3y = 2 11. Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm đứợc biếu diễn bởi hai điếm phân biệt) thì ta có thê nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao? Giải nghiệm dạng tổng quát như sạu: X e R boặc y = -2x + 4 7. a) 2x + y = 4 y = -2x + 4 X = - — y + 2. Do đó phương trình có 2 - ; [y e R Công thức tổng quát nghiệm của phương trình 3x + 2y = 5 là: X e R 2 5 3 5 hoặc y = -—X + — 2 b) Vẽ (d1): 2x + y = 4 Cho X - 0 => y = 4 được A(0; 4). Cho y = 0 => X = 2 được B(2; 0). Vẽ (d2): 3x + 2y = 5 _ Cho X = 0 => y - được CI 0; I Cho y = 0 => X - được D 0 Hai đường thẳng cắt nhau tại M(3; -2). Thay X = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được: 2.3 + (-2) = 4 và 3.3 + 24-2) = 5 (thỏa) Vậy (x = 3; y = -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho. 12x - y = 3 X = 2 y = 2x - 3 Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng X = 2 song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng y = 2x - 3 cắt hai trục tọa độ. Vẽ (dj): X = 2 Vẽ (d2); 2x - y = 3 Cho X = 0 => y = -3 được A(0; -3). Cho y = 0 => X = được B Ị ; oỴ , ... . Ta thấy hai đường thắng cắt nhau tại N(2; 1). Thay X = 2, y = 1 vào phương trình 2x - y = 3 ta được 2.2 -1 = 3 (thỏa). Vậy hệ phương trình có nghiêm (2; 1). b) x + 3y = 2 í 3y = -X + 2 2y = 4 ly = 2 5 Q X 2 Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y = - — + -=■ cắt hai . , o 3 3 trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thang y = 2 song song với trục hoành. Vẽ (dj): X + 3y - 2 _ Cho X = 0 => y = -2- được A 0; (dj M y 2 (d2) 1 1 1 1 > 1 X -5 -4 -3 -2 -10 ỉ 2^“ - Cho y = 0 => X = 2 được B(2; 0). Vẽ (d2): y = 2 Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2). Thay X = -4, y = 2 vào phương trình X + 3y = 2 ta được -4 + 3.2 = 2 (thỏa). Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2). y = -X + 2 9. a) x + y = 2 3x + 3y = 2 -X + 2 5 3y - -3x + 2 , , 2 , Ta có: a = -1, a’ = -l, b = 2, b' = — nên a = a’, b * b’ => Hai đường thẳng song song với nhau. 3 Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biếu diễn cá( tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. 3 1 y = -X + b) 3x - 2y = 1 -6x + 4y = 0 2y = 3x - 1 4y = 6x 'a thấy hai đường thăng căt nhau tại hay X = 2, y = 1 vào phương trình 2x - ; 3 1 Ta có: a = -r,a' = -r,b = -4,b' = 0 nên a = a', b * b'. 2 2 2 => Hai đường thẳng song song với nhau. Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song với nhau. 1 10. a) 4x - 4y = 2 -2x + 2y = -1 4y = 4x - 2 2y = 2x - 1 Tacó:a = a' = l, b = b' = -Ậ. „ . . ,2 Hai đường thăng trùng nhau. => Hai đường thăng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn I S' 1 • _ T. ■ 1 • . I \ 1 I 1 A 1 V I K 1 b) ■ Í1 2 -X -y = — 3 3 » . \ 1 2 y = —X 3 3»- X - 3y = 2 3y = X - 2 y = -X- - 3 3 y = —X 3 1 , 2 Ta có a = a = -|, b = b = “ nên hai đường thẳng trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 11. Nếu tìm thấy hai nghiêm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thế kết luận hệ phương trình có vô số nghiêm, vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiêm của chúng có hai điếm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.
Các bài học tiếp theo
- Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế
- Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Bài 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)
- Ôn tập chương III
- Bài 1. Hàm số y = ax2 (a khác 0)
- Bài 2. Đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0)
- Bài 3. Phương trình bậc hai một ẩn số
- Bài 4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- Bài 5. Công thức nghiệm thu gọn
Các bài học trước
- Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Tham Khảo Thêm
- Giải Bài Tập Toán 9 Tập 1
- Giải Bài Tập Toán 9 Tập 2
- Giải Toán Lớp 9 - Tập 1
- Giải Toán Lớp 9 - Tập 2(Đang xem)
- Giải Toán 9 - Tập 1
- Giải Toán 9 - Tập 2
- Sách Giáo Khoa - Toán 9 Tập 1
- Sách Giáo Khoa - Toán 9 Tập 2
Giải Toán Lớp 9 - Tập 2
- PHẦN ĐẠI SỐ
- CHƯƠNG III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn(Đang xem)
- Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế
- Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Bài 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)
- Ôn tập chương III
- CHƯƠNG IV. HÀM SỐ y = ax2 (a khác 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
- Bài 1. Hàm số y = ax2 (a khác 0)
- Bài 2. Đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0)
- Bài 3. Phương trình bậc hai một ẩn số
- Bài 4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- Bài 5. Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng
- Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai
- Bài 8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Ôn tập chương IV
- PHẦN HÌNH HỌC
- CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
- Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung
- Bài 2. Liên hệ giữa cung và đây
- Bài 3. Góc nội tiếp
- Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
- Bài 6. Cung chứa góc
- Bài 7. Tứ giác nội tiếp
- Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp
- Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
- Ôn tập chương III
- CHƯƠNG IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU
- Bài 1. Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của Hình trụ
- Bài 2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
- Bài 3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu
- Ôn tâp chươmg IV
- Bài tập ôn cuối năm
