Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 3 - 123doc

Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 3

Chương 3

HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC

Trong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạncủa dãy số, chúng ta sẽ khảo sát khái niệm giới hạn, tínhliên tục và tính khả vi của một hàm số trong phần 1, 2 và 3.Cuối cùng, các hàm số sơ cấp cơ bản được giới thiệu và khảosát trong phần 4

1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Cho và f là một hàm số xác định trênmột lân cận của a, có thể không xác định tại a, nghĩa là f xácđịnh trên một khoảng mở I, có thể không xác định tại a, với

, , khi ; , khi và

1.1 Định nghĩa Ta nói hàm f có giới hạn khi x tiến về a khi f biến mọi dãy các phần tử của I, có giới hạn a, ,thành dãy hội tụ về l, ký hiệu hay khi

Cho và f là hàm số xác định trên khoảng ,

Ta nói f có giới hạn bên trái khi x tiến về a, khi fbiến mọi dãy các phần tử của hội tụ về a thành dãy

hội tụ về , ký hiệu Khi hàm số f xác địnhtrên khoảng , , ta có định nghĩa tương tự cho giới hạn bên phải của f tại a, ký hiệu

Chú ý rằng, để khảo sát giới hạn bên trái cũng như bênphải của f tại a, ta lần lượt thay điều kiện trong định nghĩacho giới hạn của f tại a bằng điều kiện ,

với , Ta có , nhưng

không tồn tại

Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách xét cácdãy số và , với , , Ta có ,

.Bằng cách dùng tính chất của giới hạn dãy số, ta được

1.2 Mệnh đề Cho và là hai hàm số xác định trên một

lân cận của , có thể không xác định tại Nếu

Chú ý rằng nếu và với , thì

nếu không xuất hiện dạng vô định và

Ta cũng nhận được kết quả tương tự cho giới hạn bên tráivà giới hạn bên phải

2 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Cho và f là một hàm số xác định trên một lân cậncủa a

2.1 Định nghĩa Ta nói f liên tục tại a khi

Điều này bao hàm :

 f xác định tại a;

 giới hạn của f khi x tiến về a tồn tại;

 giới hạn của f khi x tiến về a bằng với giá trị của hàm số ftại a

Ví dụ 2 Từ ví dụ 1, i), ta có hàm số liên tục tại mọi Hơn nữa, bằng cách dùng mệnh đề 1.2, iv), ta có thểchứng minh bằng quy nạp rằng , với mọi Do đó,hàm số cũng liên tục tại mọi

2.2 Định nghĩa Cho f là một hàm số xác định trên ,

Ta nói f liên tục bên trái tại a khi

Tương tự, với hàm số f xác định trên , , ta nói f

liên tục bên phải tại a khi

f liên tục bên trái tại a f liên tục bên phải tại a

f không liên tục bên trái lẫn bên phải tại a

Ví dụ 3 Hàm số

liên tục bên phải tại 0, hàm số

liên tục bên trái tại 0 nhưng hàm số

không liên tục cả bên trái lẫn bên phải tại 0 ª

2.3 Mệnh đề liên tục tại nếu và chỉ nếu liên tục bên

trái tại và liên tục bên phải tại

Kết hợp mệnh đề 1.2 và định nghĩa 2.1, ta được

2.4 Mệnh đề Cho và , là hai hàm số xác định trên một lân cận của Nếu và cùng liên tục tại thì

a) liên tục tại ;

b) , liên tục tại ;

c) liên tục tại ;

d) liên tục tại , với điều kiện

Nếu thì bằng cách kết hợp (c) và (d), ta suy ra rằng hàm số liên tục tại

Ví dụ 4 Từ ví dụ 2, ta suy ra hàm số liên tục tại mọiđiểm , với mọi Do đó, mệnh đề 2.4 cho thấy mọi đathức

, với , cũng liên tục tại mọi điểm ª

2.5 Định nghĩa Cho hàm số f xác định trên một khoảng mở J

của Ta nói rằng f liên tục trên J khi f liên tục tại mọi điểm

được định nghĩa tương tự

Ví dụ 5 i) Hàm số

liên tục trên

ii) Mọi đa thức đều liên tục trên

2.6 Định lý giá trị trung gian Nếu liên tục trên khoảng

đóng và bị chận thì với mọi giữa và , tồn tại

Định lý này cho thấy rằng mọi điểm d nằm giữa và đều là ảnh của ít nhất một điểm c trong khoảng .Điểm c này không nhất thiết duy nhất như trường hợp hàm f cóđồ thị cho bởi hình sau : tồn tại sao cho

2.7 Định lý tối ưu của Weierstrass Nếu hàm số liên tục

trên khoảng đóng và bị chận thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , nghĩa là : tồn tại sao

cho với mọi , và tồn tại sao cho

Hai định lý trên có thể phát biễu chung lại thành một địnhlý như sau :

2.8 Định lý Nếu liên tục trên khoảng đóng và bị chận

2.9 Mệnh đề Cho là một khoảng trong Nếu liên tục, đơn điệu ngặt trên thì

a) là một khoảng trong , đóng và bị chận khi đóng và bị chận.

b) là một song ánh từ lên

c) ánh xạ ngược của , ký hiệu , xác định bởi nếu và chỉ nếu , cũng liên tục, đơn điệu ngặt trên (cùng bản chất như của ).

d) đồ thị của và đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất.

Ví dụ 6 i) Hàm số liên tục và tăng ngặt trên

, Do vậy, hàm ngược của nó, ,cũng liên tục và tăng ngặt trên

Xét một ứng dụng của hàm số liên tục trong việc khảosát dãy xác định bằng hệ thức đệ quy cấp 1,

, cho trước,trong đó là một hàm số liên tục và I là một khoảngtrong Chẳng hạn, dãy

, cho trước,trong đó là hàm liên tục đi từ vào vàdãy

, cho trước,trong đó là hàm liên tục từ vào

Chú ý rằng khi f là hàm tăng thì là dãy đơn điệu Cụthể, bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng

Nếu thì , với mọi

Nếu thì , với mọi

Tuy nhiên, nếu f là hàm giảm thì không là dãy đơnđiệu (ta chỉ có và là hai dãy đơn điệu, một tăng,một giảm)

Hơn nữa, nếu tăng và I bị chận thì đơn điệu và

bị chận nên hội tụ Khi đó, gọi a là giới hạn của dãy , tacó

,khi f là hàm liên tục Như vậy, giới hạn a thỏa phương trình

mà ta có thể giải để tìm ra giá trị của a

Ví dụ 7 Hàm là hàm tăng nên dãy số

, tăng do Hơn nữa, ta có

và nên bằng phép chứng minh quy nạp,

ta chứng minh được rằng Dãy đơn điệu và bịchận nên hội tụ với giới hạn a thỏa phương trình dohàm f là hàm liên tục

3 ĐẠO HÀM

Cho và f là hàm số xác định trên một lân cận của

a, nghĩa là tồn tại sao cho f xác định trên khoảng

3.1 Định nghĩa Ta nói f có đạo hàm tại a khi tồn

tại Khi đó, giá trị của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f

tại a, ký hiệu Như vậy, khi f có đạo hàm tại a, ta có

Biểu diễn hình học : Gọi là đồ thị của hàm số f Phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm và

.Như vậy, đạo hàm của f tại a có thể biểu diễn như là độdốc (hệ số góc) của tiếp tuyến với tại điểm A

Trong kinh tế học, giá trị được gọi là giá trị lề (giá trị biên, biên tế) của f tại a Chẳng hạn, nếu chỉ chi phí để

sản xuất q sản phẩm thì khi đó được gọi là chi phí lề ứng

với mức sản lượng q Các nhà kinh tế học ứng dụng xấp xỉgiá trị này với thương số khi q đủ lớn và khi đó chiphí lề chính là chi phí phát sinh khi sản xuất thêm một đơn vịsản phẩm

3.2 Định nghĩa Hàm số f được gọi là khả vi tại a khi tồn tại số

thực b và một hàm số xác định trên một lân cận của 0 saocho với mọi và trong lân cận của

,

ta được

khi và

nên f khả vi tại a

Ngược lại, khi f khả vi tại a, tồn tại sao cho với mọi h và trong lân cận của a

nên f có đạo hàm tại a ª

Chú ý : Kết quả này không còn đúng đối với hàm nhiều

biến (xem chương 6)

3.4 Định nghĩa Cho f là hàm số xác định trên khoảng dạng

, với Ta nói f có đạo hàm bên trái tại a khi

tồn tại Bấy giờ, giá trị của giới hạn được gọi là đạo hàm bên trái của f tại a, ký hiệu

Tương tự cho trường hợp f xác định trên , với , ta

nói f có đạo hàm bên phải tại a khi tồn tại và giớihạn này được ký hiệu là

3.5 Mệnh đề có đạo hàm tại nếu và chỉ nếu có đạo

hàm bên trái tại , có đạo hàm bên phải tại và

.

3.6 Định nghĩa Cho hàm số f xác định trên một khoảng mở J

của Ta nói f có đạo hàm trên J khi f có đạo hàm tại mọi

3.7 Định nghĩa Khi f có đạo hàm trên khoảng mở J, ta định

nghĩa hàm đạo hàm của f bởi

“Hàm đạo hàm” của f còn được gọi vắn tắt là “đạo hàm”

của f

Ta nói hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng mở J khi

f có đạo hàm trên J và liên tục trên J

Cho f là hàm có đạo hàm trên một khoảng mở J Khi có

đạo hàm trên J, hàm đạo hàm của nó được gọi là “hàm đạo hàm bậc hai”, hay vắn tắt là “đạo hàm bậc hai” của f trên J ,

ký hiệu

Ta ký hiệu , nếu có, cho “hàm đạo hàm bậc n” hay vắn tắt là “đạo hàm bậc n” của f và khi đó, ta nói f có đạo hàm

đến cấp n Ta định nghĩa , , , , .Hơn nữa, ta đặt

Khi tồn tại với mọi , ta nói f có đạo hàm vô hạnlần

, và do đó , khi Do đó, f có đạo hàm vô hạn lần

ª

3.8 Mệnh đề Nếu có đạo hàm tại thì liên tục tại

Chứng minh Bằng cách dùng đẳng thức

3.9 Mệnh đề Nếu và có đạo hàm tại thì

c) có đạo hàm tại và

,

d) Nếu thì bằng cách kết hợp (c) với (d), ta suy ra

Chứng minh Bằng cách viết

,,

,

3.10 Mệnh đề (đạo hàm hàm hợp) Nếu có đạo hàm

trên khoảng và có đạo hàm trên khoảng với

Chứng minh Cho và Tính khả vi của f tại a vàcủa g tại b cho

,,

3.11 Mệnh đề Cho là hàm liên tục và đơn điệu ngặt trên

một khoảng và Nếu có đạo hàm tại và thì hàm ngược của có đạo hàm tại và

Ta cũng có kết quả tương tự cho đạo hàm trên một khoảng

: nếu đơn điệu ngặt, có đạo hàm trên một khoảng và không triệt tiêu trên thì hàm ngược có đạo hàm trên

Chú ý Khi ta đã biết rằng hàm có đạo hàm, ta cóthể tìm lại được công thức cho đạo hàm hàm ngược bằng cáchlấy đạo hàm hàm hợp (mệnh đề 2.10) :

nghĩa là

3.12 Định nghĩa Cho f là một hàm khác không tại a và có

đạo hàm tại a Độ co dãn của f tại a được xác định bởi

Trong kinh tế học, độ co dãn của hàm cầu f đo lường tỷ lệthay đổi giữa độ tăng trưởng tương đối hàm cầu, , vớiđộ tăng trưởng tương đối của giá cả, , khi giá hàng ở gầnmức a

Chẳng hạn, khi , nếu giá cả tăng , mức cầu giảm

3.13 Mệnh đề Cho và là hai hàm có đạo hàm trên

.

4 HÀM SỐ SƠ CẤP

Các hàm số sơ cấp được thành lập từ các hàm số sơ cấp

cơ bản gồm ba cặp hàm ngược của nhau

Hàm lũy thừa, , và hàm căn thức, , với ;Hàm mũ, , và hàm lôgarít, , với ;

Hàm lượng giác, , , , và hàm lượng

thông qua các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hợp nốicác hàm số Do đó, để khảo sát các hàm số sơ cấp, ta lầnlượt khảo sát ba cặp hàm sơ cấp cơ bản nêu trên

a) Hàm lũy thừa liên tục trên , nghĩa là

, với mọi ; ; khi n là sốchẵn và khi n là số lẻ;

b) Hàm tăng ngặt trên khi n là số lẻ và khi n làsố chẵn, hàm tăng ngặt trên và giảm ngặt trên

; hàm ngược của hàm lũy thừa, hàm căn thức ,xác định bởi

,với khi n là số lẻ và với khi n là số chẵn

n chẵn n lẻ

Do đó, hàm liên tục trên miền xác định của nó,nghĩa là

,

với mọi khi n là số lẻ và với mọi khi n là sốchẵn Hơn nữa

, với mọi n; khi n là số lẻ

c) Hàm lũy thừa có đạo hàm trên và

, với mọi , Do đó, nếu ( khi n lẻ và khi n chẵn), ta có

Thật vậy,

khi , và do đó , với mọi ,

Trước hết, ta khảo sát hàm mũ và lôgarít cơ số tự nhiên

(cơ số là số Néper e) :

a) Hàm mũ cơ số e, , liên tục và tăng ngặt trên với ảnh ,

Thật vậy, với khi , ta có

và với ,

khi , ta được

.b) Hàm lôgarít cơ số e, , là hàm ngược của hàm mũ

cơ số e, , nghĩa là

,với mọi , Do đó, nó liên tục và tăng ngặt trên

với ảnh ,

và , với mọi

Đối với hàm mũ và lôgarít tổng quát, và ,với , thì bằng cách dùng các đẳng thức

ta có thể viết lại thành

Từ đó, ta được

c) Hàm liên tục và có đạo hàm trên ,

, với mọi , và Khi , nó là hàm tăng ngặt,

và Khi , nó là hàm giảm ngặt,

d) Hàm liên tục và có đạo hàm trên ,

, với mọi , và Khi , nó là

4.3 Hàm lượng giác và lượng giác ngược

Các hàm lượng giác, và , được xây dựngtrong hình học, xác định trên và có ảnh Chúng làcác hàm tuần hoàn với chu kỳ ,

với mọi ,

ảnh Nó là hàm tuần hoàn với chu kỳ ,

,

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức quan trọng sau

, với mọi

a) Các hàm lượng giác đều liên tục,

và do đó

, với mọi ,

lân cận của , ta suy ra

Với khi , ta suy ra

và

b) Các hàm lượng giác đều có đạo hàm,

và do đó

Thật vậy, bằng cách dùng bất đẳng thức

trên khoảng , ta được bất đẳng thứcsau

và với hàm ,

c) Thu hẹp của hàm sin trên đoạn là một đơn ánh và

do đó, nó có hàm ngược

nghĩa là

,

Thu hẹp của hàm cos trên đoạn là một đơn ánh nênnó có hàm ngược

,

Thu hẹp của hàm tan trên khoảng là một đơn ánhvà do đó, nó có hàm ngược

,

d) Từ tính liên tục của các hàm lượng giác, ta suy ra tính liêntục cho các hàm lượng giác ngược

với mọi ,

, với mọi Hơn nữa, do

Khi , ta có , và

5 ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN

5.1 Định lý Rolle Nếu liên tục trên , có đạo hàm trên

Chứng minh Nếu f là hàm hằng trên , định lý hiển nhiênđúng Do vậy, ta giả sử f không là hàm hằng trên Do fliên tục trên , nó đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớnnhất M trên với Ta không thể có cùng lúc

và do f không là hàm hằng Do vậy, ta phải có

và do đó (giới hạn này tồn tại do f có đạo hàmtrên , nên có đạo hàm và có đạo hàm bên trái tại c),nghĩa là

.Tương tự, khi , , và do đó

Do f có đạo hàm tại c, ta có

5.2 Định lý Lagrange (định lý số gia hữu hạn) Nếu liên

tục trên và có đạo hàm trên thì tồn tại sao

.Mặt khác,

và

Do , nghĩa là g thỏa mọi điều kiện của định lýRolle Do đó, tồn tại sao cho và do đó

.Về mặt hình học, định lý số gia hữu hạn khẳng định sự tồntại điểm c sao cho tiếp tuyến tại điểm trên đồ thị hàm f cóhoành độ c thì song song với dây cung nối hai điểm và

Cho I là một khoảng Ta nói x là một điểm trong của I nếutồn tại sao cho Áp dụng định lý số gia hữuhạn, ta được

5.3 Mệnh đề Cho là hàm liên tục trên khoảng và có đạo

hàm tại mọi điểm trong của

a) là hàm hằng trên nếu và chỉ nếu với mọi điểm

b) là hàm tăng (hàm giảm) trên nếu và chỉ nếu với

c) nếu với mọi điểm trong của , ( ) thì tăng ngặt (giảm ngặt) trên

5.4 Định lý (quy tắc l’Hospital) Cho và là hai hàm liên

tục trên khoảng và có đạo hàm tại mọi điểm trong của Xét Nếu có dạng vô định hay khi tiến về hay

.

Ví dụ 10 a) Để khảo sát giới hạn , nếu có, đặt

và Tỷ số có dạng vô định khi x tiếnvề Vì

nên từ quy tắc l’Hôpital, ta suy ra

.b) Tính , nếu có, và suy ra

i) Bằng cách viết và với , ta có

Tỷ số có dạng vô định khi ytiến về 0 và quy tắc l’Hôpital cho

Suy ra Do hàm mũ là hàm liên tục, ta được

.ii) Đặc biệt, là dãy thỏa , do định nghĩacủa giới hạn tại vô cực, ta được

iii) Chứng tỏ , với ,

Do và hàm mũ là hàm liên tục tại e, ta suy ra

5.5 Định lý (công thức Taylor-Lagrange cho hàm có đạo

hàm cấp hai) Nếu có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng

và nếu và là hai điểm phân biệt của thì tồn tại giữa và sao cho

.

Chứng minh Đặt

và chọn A sao cho Ta cũng có (giả sử ) Vì gliên tục trên , có đạo hàm trên , nên từ định lý Rolle,tồn tại sao cho Vì

, nên ta suy ra Thay thế giá trị này trong đẳng thức

, ta nhận được đẳng thức cần chứng minh ª

Bằng cách đặt , công thức Taylor trở thành : tồn tại sao cho

5.6 Định lý (công thức Taylor-Lagrange) Nếu là hàm có

đạo hàm đến cấp trên và nếu và là hai điểm phân biệt của thì tồn tại giữa và sao cho

Chứng minh Áp dụng định lý Rolle cho hàm số

ª

Bằng cách đặt , công thức Taylor trở thành : tồn tại sao cho

.Khi và , công thức trên trở thành công thức Mac Laurin : tồn tại sao cho