Giáo Trình Hàm Biến Phức - 123doc

Bên cạnh đó, trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R người takhông thể giải thích được vì sao hàm fx = 1 1 + x2 không thể khai triểnđược thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng th

Hàm Biến Phức

Tiền Giang - 2012

Hồ Công Xuân Vũ Ý

Trường Đại Học Tiền Giang

Mục lục

§ 1 Số phức và các phép toán 6

§ 2 Modulus và bất đẳng thức tam giác 15

§ 3 Argument và căn bậc n của số phức 22

§ 4 Mặt cầu Riemann 30

§ 5 Các khái niệm Topo trong mặt phẳng phức 32

II Hàm biến số phức 37 § 1 Dãy và chuỗi số phức 37

§ 2 Hàm số biến số phức 50

§ 3 Liên tục và liên tục đều 56

§ 4 Dãy hàm và chuỗi hàm 60

§ 5 Chuỗi lũy thừa 70

§ 6 Các phép tính trên chuỗi lũy thừa 74

III Hàm giải tích 78 § 1 Đạo hàm 78

§ 2 Hàm giải tích 88

§ 3 Hàm mũ 91

§ 4 Hàm lượng giác 95

§ 5 Hàm hyperbolic 98

IV Một số hàm sơ cấp khác và phép biến hình 100 § 1 Hàm Logarithm 100

§ 2 Hàm lũy thừa và lũy thừa phức 102

§ 3 Hàm tuyến tính và hàm f(z) = 1/z 105

§ 4 Hàm phân tuyến tính 112

§ 5 Các ví dụ về sự biến hình 120

§ 6 Khái niệm về diện Riemann 125

V Lý thuyết tích phân 128 § 1 Đường cong 128

§ 2 Tích phân đường 136

§ 3 Nguyên hàm 144

§ 4 Định lý Cauchy-Goursat 148

§ 5 Công thức tích phân Cauchy 162

§ 6 Tích phân loại Cauchy 172

§ 7 Định lý giá trị trung bình và nguyên lý module cực đại 177

§ 8 Định lý Liouville và định lý đại số cơ bản 181

§ 9 Nguyên lý Montel 183

VI Hàm điều hòa và hàm điều hòa dưới 188 § 1 Hàm điều hòa 188

§ 2 Công thức Schwarz và công thức Poisson 193

§ 3 Bài toán Dirichlet 195

§ 4 Nguyên lý Harnack 202

§ 5 Hàm điều hòa dưới 206

§ 6 Tiêu chuẩn điều hòa dưới 209

§ 7 Định lý Hartogs 213

VIILý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư 216 § 1 Chuỗi Taylor 216

§ 2 Chuỗi Laurent 225

§ 3 Các loại điểm 234

§ 4 Thặng dư và cách tính thặng dư 247

VIII´Ưng dụng lý thuyết thặng dư 257 § 1 Tính tích phân suy rộng 257

§ 2 Tính tích phân suy rộng có sin hoặc cos 264

§ 3 Tính tích phân xác định chứa sin và cos 270

§ 4 Đường bị khoét lõm 272

§ 5 Tích phân theo đường phân nhánh 276

§ 6 Nguyên lý argument và định lý Rouché 284

IX ´Anh xạ bảo giác 293 § 1 Y nghĩa hình học của đạo hàm 293´

§ 2 Ánh xạ bảo giác 295

§ 3 Bổ đề Schwarz 300

§ 4 Định lý ánh xạ Riemann 302

§ 5 Bài toán biểu diễn bảo giác 306

X Tích vô hạn 308 § 1 Tích số vô hạn 308

§ 2 Tích vô hạn hàm phức 312

§ 3 Dạng chính tắc Weierstrass 320

§ 4 Genus của hàm giải tích 323

§ 5 Hàm gamma 327

Chương I

Số phức

Ta biết rằng trường số thực R nhận được bằng cách làm “đầy” trường hữu

tỷ Q mà bản thân Q lại được xây dựng từ vành số nguyên Z Việc làmđầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỷ

và giới hạn của dãy các số hữu tỷ Tuy nhiên, trường R vẫn không đầy đủ,bởi vì ngay cả phương trình đơn giản x2+ 1 = 0 cũng không có nghiệmtrong R Một cách tổng quát hơn, trong số thực không phải mọi số đều cócăn bậc chẵn và phương trình bậc lớn hơn một không phải bao giờ cũng

có nghiệm Bên cạnh đó, trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R người takhông thể giải thích được vì sao hàm f(x) = 1

1 + x2 không thể khai triểnđược thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng thực.∗

Với lý do trên đưa đến sự cần thiết mở rộng trường số thực Cụ thể

là cần tìm kiếm một trường mới rộng hơn mà trong trường hợp riêng nóchính là trường số thực với các phép toán thông thường (hay trường sốthực R là một trường con của nó)

§ 1 Số phức và các phép toán

Định nghĩa số phức

Trong đại số người ta đã xây dựng trường số phức một cách chi tiết khắcphục những hạn chế của trường số thực Chúng ta chỉ nêu một số ý đặctrưng ở đây Số phức có thể được định nghĩa như là một cặp số thực cóthứ tự (x, y) Người ta thường viết số phức bởi các chữ z và w Như vậy, với

Tập bài giảng này được soạn theo [9, 6, 7] và tham khảo thêm [3, 2, 4]

∗ Bạn đọc có thể tham khảo giải thích thú vị của [8, trang 212-217]

một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Khi đó, nếu xem (x, y) là một số phức

thì mặt phẳng tọa độ Oxy sẽ được gọi

là mặt phẳng phức Oxy và còn được

ký hiệu là (z) hoặc C Ta có tập hợp

số phức

C = {(x, y) : x, y ∈ R}

Xét số phức z = (x, y) Ta gọi x được gọi là phần thực của số phức

z và ký hiệu là Rez còn y được gọi là phần ảo của z và ký hiệu là Imz.Trong mặt phẳng phức, trục hoành còn được gọi là trục thực và trục tungcòn được gọi là trục ảo Nếu xem trục Ox là một đường thẳng thực, thìmỗi số thực x ứng với điểm (x, 0) trên trục thực Ox Do đó, tập hợp sốthực là một tập con của tập số phức, và số phức z = (x, 0) được gọi là

số thực và được đồng nhất với x, nghĩa là x ≡ (x, 0) (Xem thêm bài tập16) Số phức z = (0, y) được gọi là số thuần ảo; đặc biệt (0, 1) được gọi

là đơn vị ảo và ký hiệu là i, nghĩa là i = (0, 1) Như vậy 0 = (0, 0) là sốduy nhất vừa là số thực vừa là số thuần ảo

Cho số phức z = (x, y) số phức (x, −y) được gọi là số phức liên hợpcủa số phức z và ký hiệu ¯z Dễ dàng kiểm tra được

và tích của chúng là số phức

z1z2= (x1x2− y1y2, x1y2+ x2y1)

(1.2)

Người ta chứng minh được phép cộng

Chứng minh Dành cho bạn đọc xem như bài tập 1.4 Thí dụ ⊲ i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Vậy i là nghiệm của

x2+ 1 = 0 trong C

⊲ Với z = (x, y), ta có z ¯z = (x, y)(x, −y) = (x2+ y2, 0) = x2+ y2

⊲ (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy Vậy số phức (x, y)được viết dưới dạng x+iy hay x+yi (do tính giao hoán của phép nhân),

và gọi là dạng đại số của số phức Phép cộng và phép nhân được viết lại ở dạng đại số như sau: với

Với z = (x, y) = x + iy, ta ký hiệu −z = (−x, −y) = −x − iy, và nếu

z 6= 0 ký hiệu z−1 = (x2 +yx 2, −x 2 +yy 2) = x2 +yx 2 − ix 2 +yy 2 Từ đó ta địnhnghĩa phép trừ và phép chia như sau

z1− z2= z1+ (−z2) z1

z2

= z1z2−1, (z26= 0)

Như vậy, để tìm thương của z 1

z 2 với z2 6= 0 ta nhân z1 với nghịch đảo

2)(1 − i√2) =

1 +√2

3 + i

1 −√2

3 . Cũng như trong tập số thực chúng ta có một số quy tắc tính toán chocác phép cộng và nhân đối với các số phức trong định lý sau

Chứng minh Dành cho bạn đọc xem như bài tập Nhờ có tính chất (6) ta có được định nghĩa sau Lũy thừa bậc n của

số phức z là tích n lần của số phức z, và ký hiệu zn,

zn= z · z · · · z| {z }

n lần

.(1.9)

Chúng ta chú ý rằng in chỉ có bốn giá trị: 1, i, −1, −i Chúng tươngứng với giá trị của n mà nó chia cho 4 lần lượt có dư là 0, 1, 2, 3

1.10 Thí dụ Với z = x + iy, ta có

z2= (x + iy)(x + iy) = x2− y2+ i2xy

z3= (x2− y2+ i2xy)(x + iy) = x3− 3xy2+ i(3x2y − y3)

z4= (x3− 3xy2+ i(3x2y − y3))(x + iy)

Căn bậc hai

Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng căn bậc hai của một số phức có thể đượcbiểu diễn một cách tường minh Với số phức α + iβ cho trước, ta tìm sốphức x + iy sao cho

(x + iy)2= α + iβ

Điều này tương đương với việc giải hệ phương trình

 x2− y2= α2xy = β

Từ hai phương trình trên ta có (x2+ y2)2= (x2− y2)2+ 4x2y2= α2+ β2

Ta nhận thấy các đại lượng của vế phải là dương hoặc bằng 0 không phụthuộc vào dấu của α

Nói chung, các phương trình trong (1.12) cho hai giá trị x đối nhau vàhai giá trị y đối nhau Do 2xy = β ta không thể có 4 sự kết hợp của các

giá trị x và y Do đó, các giá trị của x và y được lấy phụ thuộc vào dấucủa β Khi β 6= 0 ta được

Khi β = 0, ta có

√

α + i0 = ±√α khi α ≥ 0

±i√−α khi α < 0(1.14)

Các căn ở vế phải là căn bậc hai dương của số thực không âm

Như vậy, chúng ta tìm được căn bậc hai của một số dương có hai giátrị đối nhau Chúng trùng nhau khi α + iβ = 0 Chúng là thực khi α ≥ 0

và β = 0 Chúng là thuần ảo khi α ≤ 0 và β = 0

2− i

r12



= ±

√2

2 ∓ i

√2

2 .Nếu ta hiểu √4

−i =p√−i thì nó có 4 giá trị; áp dụng kết quả vừa tìmđược và công thức (1.13) bốn giá trị cần tìm là

s √

2

2 − i

√2

2 = ±

s√ 2

2 + 1

2 − i

s

−√22+ 12

!

= ±

p

2 +√2

2 − i

p

2 −√22

s

−

√2

2 + i

√2

2 + 12

một trường con mà trong F phương trình x2+ 1 = 0 có nghiệm Ký hiệumột nghiệm là i Khi đó, x2+ 1 = (x + i)(x − i), và phương trình x2+ 1 cóđúng hai nghiệm trong F là i và −i Đặt C là một tập con của F bao gồmtất cả các phần tử mà nó biểu diễn ở dạng α + iβ với các số thực α và β.Biểu diễn này là duy nhất bởi vì α+iβ = α′+ iβ′ suy ra α−β′= i(β′−β);

do đó (α − α′)2= −(β′− β)2, và nó chỉ xảy ra khi α = α′ và β = β′.Tập con C là một trường con của F Thật sự chúng ta có thể kiểmchứng C là một trường như trong Định lý 1.3 Hơn thế nữa, cấu trúc của

Clà độc lập đối với F Bởi vì nếu F′ là một trường khác chứa R và có i′lànghiệm của phương trình x2+ 1 = 0, thì tập con tương ứng C′ được tạothành bởi tất cả phần tử dạng α + i′β Có một song sánh giữa C′ và C mà

nó tương ứng α + i′β và α + iβ, và sự tương ứng này rõ ràng là một đẳngcấu trường Điều đó chứng tỏ C′ và C đẳng cấu

Bây giờ chúng ta định nghĩa trường số phức là trường con C của mộttrường tùy ý F Chúng ta vừa thấy rằng sự lựa chọn cho F không tạo ra

sự khác biệt cho C, nhưng chúng ta chưa chứng tỏ sự tồn tại một trường

F Để chứng tỏ rằng định nghĩa của chúng ta có nghĩa chúng ta chỉ cònchỉ ra một trường F mà nó chứa R (hay có một trường con đẳng cấu vớiR) và phương trình x2+ 1 = 0 có nghiệm trong F

Có nhiều cách xây dựng một trường F như thế Sau đây là phươngpháp đơn giản nhất và cũng trực tiếp nhất: Xét tất cả các biểu thức dạng

α + iβ ở đây α và β là các số thực trong khi dấu + và ký hiệu i thựcchất là những ký hiệu thuần túy (+ không biểu thị phép cộng, và i không

là phần tử của trường R) Các biểu diễn này thành lập một trường F vớiphép cộng và nhân được xác định bởi

(x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+ x2) + i(y1+ y2)

(x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2− y1y2) + i(x1y2+ x2y1)

(các phép toán trong dấu ngoặc ở vế phải là trong R, cho nên phải chú

ý hai nghĩa khác nhau của dấu + trong các biểu thức trên) Các phần

tử có dạng đặc biệt α + i0 thành lập một trường con đẳng cấu với R, vàphần tử 0 + i1 thỏa phương trình x2+ 1 = 0, thực sự chúng ta thu được(0 + i1)2= −(1 + i0) Trường F thỏa các tính chất yêu cầu; hơn nữa nótrùng với trường con tương ứng C bởi vì ta có thể viết

α + iβ = (α + i0) + β(0 + i1)

Sự tồn tại của trường số phức được chứng minh, và chúng ta quay trở lại

ký hiệu đơn giản hơn α + iβ ở đây dấu + để chỉ phép cộng trong C và i làmột nghiệm của phương trình x2+ 1 = 0.

Với việc nhìn lại, để đi đến quy tắc cộng và nhân của các số phức chúng

ta chỉ dùng i2 = −1 Do −i cũng có tính chất như thế, nên tất cả nhữngquy tắc về các phép toán vẫn còn đúng nếu thay i bởi −i ở mọi nơi Điềunày đã được nêu trong Định lý 1.11 Phép biến đổi thay thế α + iβ bởi

α − iβ được gọi là phép lấy liên hợp phức

2 ) Tính các biểu thức sau: (a) (1 + 2i)3 (b) (1 + i)n+ (1 − i)n

3 ) Nếu z = x + iy, tìm phần thực và phần ảo của: (a) z − 1

6

= 1với mọi tổ hợp của các dấu

5 ) Tìm số thực a và b sao cho (a + ib)2= −8 + 6i

14 ) Hãy tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức thỏa (¯z − i) = 2.

15 ) Tìm họ đường cong trong mặt phẳng phức được cho bởi phương trình(a) Re1

z = C (b) Im1

z = C (c) Re z2= C (d) Im z2= Ctrong đó C là hằng số thực

16 ) Chứng minh rằng ánh xạ f : R → C xác định bởi f(x) = (x, 0) làmột đơn cấu đối với trường

17 ) Cho P (z) là một đa thức có các hệ số là số thực Chứng minh rằngnếu z0 là nghiệm của đa thức thì z0 cũng là nghiệm của đa thức

18 ) Tìm điều kiện để phương trình az +b¯z+c = 0 có nghiệm duy nhất vàtìm nghiệm ấy Khi nào phương trình này được biểu diễn bởi đường thẳng

19 ) Bằng việc tính toán trực tiếp kiểm chứng lại rằng giá trị của z

z2+ 1tại hai số phức liên hợp z = x + iy và z = x − iy là liên hợp nhau

§ 2 Modulus và bất đẳng thức tam giác

Trong tập số thực R ta có khái niệm giá trị tuyệt đối của mỗi số thực, nóđóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong giải tích thực Khái niệm nàyđược mở rộng cho trường số phức C mà các tính chất vẫn được giữ nguyên

Với mỗi z = (x, y) ∈ C, đặt |z| = px2+ y2 = √

z ¯z, và gọi là moduluscủa z Như vậy, |z| chính là khoảng cách của (x, y) đến gốc tọa độ O(0, 0)trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Ta biết rằng phương trình của đường tròn có tâm là (0, 0) có bán kính

r trong mặt phẳng Oxy là x2+ y2= r2 haypx2+ y2= r Nếu xem Oxy

là mặt phẳng phức và z = (x, y) thì phương trình đường tròn tâm O bánkính r được viết lại là |z| = r Lập luận tương tự như trên, ta có phươngtrình của đường tròn tâm z0= (x0, y0) bán kính r là |z − z0| = r

Các tính chất về modulus trong định lý sau có thể chứng minh mộtcách dễ dàng

Chứng minh Theo định nghĩa của modulus ta có thể viết

|z1+ z2|2= (z1+ z2)(z1+ z2)

= (z1+ z2)(¯z1+ ¯z2)

= z1¯1+ z1¯2+ z2¯1+ z2¯2.Mặt khác, ta có

z1¯2+ z2¯1= z1¯2+ z1¯2= 2 Re(z1¯2) ≤ 2|z1¯2| = 2|z1||z2|

Do đó,

|z1+ z2|2≤ |z1|2+ 2|z1||z2| + |z2|2= (|z1| + |z2|)2

Hơn nữa, ta nhận thấy đẳng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Re(z1¯2) =

|z1¯2|, nghĩa là tích z1¯2 là một số thực không âm Vậy khi một trong hai

số bằng không dấu đẳng thức xảy ra, và khi cả hai khác không dấu đẳngxảy ra khi và chỉ khi z1¯2 > 0 hay z1

z2 > 0, nghĩa là tỷ số của hai số là

Chú ý trong chứng minh bất đẳng thức tam giác ta có được đẳng thức

|z1| + |z2| + |z3| + · · · + |zn| = |z1+ z2+ z3+ · · · + zn|

≤ |z1+ z2| + |z3| + · · · + |zn|

≤ |z1| + |z2| + |z3| + · · · + |zn|

Do đó, các dấu bằng ở trên phải xảy ra, và ta có |z1+ z2| = |z1| + |z2| Khi

đó, tỷ số giữa z1 và z2là một số dương Như vậy, ta đi đến kết luận rằngnếu đẳng thức xảy ra ở (2.7) thì tỷ số hai số hạng bất kỳ khác không làmột số dương Ngược lại, giả sử có một số hạng khác không, gọi nó là z1,

và tỷ số giữa các số hạng còn lại với z1là một số thực không âm Khi đó,

2z2+ 3z4z − 5

≤

27

7 Thật vậy, ta có

9 = |2|z|2− 3|z|| ≤ |2z2+ 3z| ≤ 2|z|2+ 3|z| = 27

và

7 = |4|z| − 5| ≤ |4z − 5| ≤ 4|z| + 5 = 17.

Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra được 9

17 ≤

2z2+ 3z4z − 5

≤

27

7 2.10 Thí dụ (OSV93) Cho 0 ≤ α ≤ 1 Chứng minh rằng với mọi a ∈ Cphương trình z3− az + a = 0 có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện

2.11 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy) Với mọi số phức a1, a2, , an

và b1, b2, , bn, ta có

|a1b1+ · · · + anbn|2≤ (|a1|2+ · · · + |an|2)(|b1|2+ · · · + |bn|2).Chứng minh Dùng đẳng thức Lagrange ta có ngay bất đẳng thức Cauchy.Chúng ta sẽ chứng minh trực tiếp như sau Với λ là một số phức bất kỳ,theo đẳng thức (2.6) ta được

Rõ ràng, giá trị của biểu thức này không âm với mọi λ Khi Pn

j=1|bj|2= 0thì các bj đều bằng 0 nên bất đẳng thức Cauchy hiển nhiên đúng (cả hai

P

j=1

ajbj n

P

j=1|bj|2

1 ) Tìm modulus của các biểu thức

−2i(3 + i)(2 + 4i)(1 + i) và (3 + 4i)(−1 + 2i)

4 ) Chứng minh rằng nếu |a| < 1 và |b| < 1 thì ... thức phức

§ Argument bậc n số phức< /h3>

Argument

Cho số phức z = x + iy 6= Gọi ϕ góc có hướng tia OM, O

là gốc tọa độ M = (x, y), với tia Ox mặt phẳng phức. ..

21 ) Chứng minh tồn số phức z thỏa |z − a| + |z + a| = 2|c|nếu |a| ≤ |c| Nếu điều kiện thỏa, xác định giá trị lớnnhất nhỏ |z| thỏa phương trình

22 ) Viết phương trình ellipse, hyperbola,... argument số phức z ký hiệu Argz Dễ dàng thấy

x = |z| cos ϕ y = |z| sin ϕ

Khi đó, số phức z viết lại

z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ),

và ta nói số phức z