Giáo Trình Sức Bền Vật Liệu - Chương 10 Pps - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (15 trang)

Trang chủ

Giáo Dục - Đào Tạo

Cao đẳng - Đại học

Giáo trình sức bền vật liệu - Chương 10 pps

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (605.14 KB, 15 trang )

Chơng 10. Tính chuyển vị của hệ thanhI. Các Khái niệm chung Chơng ny sẽ trình by một phơng pháp tổng quát để tínhchuyển vị của các thanh có dạng bất kỳ (nh khung, thanhcong,...) chịu lực bất kỳ. Những phơng pháp ny dựa trên cácnguyên lý về năng lợng đợc gọi l phơng pháp năng lợng. Một số các phơng pháp hay sử dụng đối với hệ thanh đnhồi tuyến tính: phơng pháp dựa trên định lý Castigliano, địnhlý tơng hỗ Betti hoặc Maxwell, công thức Maxwell-Mohr, Khi nghiên cứu cách xác định chuyển vị của hệ thanh đnhồi tuyÕn tÝnh ta thõa nhËn mét sè gi¶ thiÕt sau:- Tải trọng gây ra chuyển vị l tải trọng tác dụng tĩnh.- Chuyển vị của hệ tuân theo nguyên lý cộng tác dụng. Để xác định chuyển vị của hệ thanh ta cã thĨ tiÕn hμnh theomét trong hai h−íng:- Xuất phát từ nguyên lý bảo ton năng lợng, xác địnhchuyển vị theo thế năng biến dạng đn hồi.- Xuất phát từ nguyên lý công khả dĩ của hệ thanh.II. TÍNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI1. Công của ngoại lực, nội lực thế năng biến dạng đn hồi Di tỏc dng ca ngoi lc vật thể bị biến dạng, làm dịch chuyểnđiểm đặt của lực ⇒ ngoại lực sẽ sinh cơng - đó là công của ngoại lực. Côngcủa ngoại lực, ký hiệu là Ang, là cơng dương vì gây ra các chuyển vị.⇒ Công của các nội lực sinh ra trên những biến dạng đàn hồi của hệ đượcgọi là Công của nội lực, ký hiệu là An, là cơng âm vì ngăn cản chuyển vị.⇒ Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng thì một hệ biến dạng đàn hồi ởtrạng thái cân bằng sẽ thoả mãn điều kiện:Ang = - An(10-1)⇒ Nếu lực tác dụng lên vật là tĩnh, vật làm việc trong giới hạn đàn hồi vàbỏ qua các mất mát năng lượng do các hiện tượng nhiệt, điện từ, …, trongq trình lý tưởng, theo ngun tắc bảo tồn năng lượng ta có thể coi: tồnbộ cơng của ngoại lực Ang được chuyển hóa thành thế năng biến dạng đànhồi U tích lũy trong vật thể:(10-2)Ang = U = - AnThế năng biến dạng đàn hồi được tính như sau:1 n liN2⇒ Khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm: U1 = ∑ ∫ 2EF dzi =1 0(10-3)⇒ Khi thanh chịu uốn ngang phẳng:n liln iM2Q2(10-4)U2 = ∑ ∫ 2EJ dz + ∑ ∫ η 2GF dzi =1 0i =1 0trong đó η là hệ số điểu chỉnh, kể tới sự phân bố không đều của ứng suấttiếp. Hệ số này phụ thuộc vào hình dạng của tiết diện, ví dụ, mặt cắt trịn η =1,18; mặt cắt hình chữ nhật η = 1,2; tiết diện hình ống mỏng η = 2.n liM2z⇒ Khi thanh chịu xoắn: U3 = ∑ ∫ 2GJ dzi =1 0p(10-5)⇒ Tỉng qu¸t thế năng biến dạng ®μn hồi :n liN2U = ∑ ∫ 2EF dz +i =1 0n liln iM2Q2∑ ∫ 2EJ dz + ∑ ∫ η 2GF dz +i =1 0i =1 0n liM2∑ ∫ 2GJz dz (10-6)i =1 0p⇒ Ðối với bài toán phẳng, trên các MCN của thanh chỉ có 3 thành phầnnội lực: N, Q, M nên:n liN2dz +U = ∑ ∫ 2EFi =1 0n liln iM2Q2∑ ∫ 2EJ dz + ∑ ∫ η 2GF dzi =1 0i =1 0(10-7)2. Xác định chuyển vị trực tiếp theo thế năng biến dạng đàn hồi⇒ Phương pháp này chỉ sử dụng khi trên hệ có một lực tác dụng, ví dụ lựcP. u cầu xác định chuyển vị Δ có vị trí và phương tương ứng với lực P:Ang =1PΔ = U2Δ=2UP(10-8)⇒ Chú ý đến (10-7), ta có thể xác định Δ theo cơng thức sau:ln lin li⎤M2Q22U 2 ⎡ n i N 2dz + ∑ ∫dz + ∑ ∫ ηdz ⎥Δ== ⎢∑ ∫PP ⎢ i =1 0 2EF2GF ⎥i =1 0 2EJ xi =1 0⎣⎦⇒ Ví dụ 10.1. Xác định độ võng tại đầu tựdo của dầm cho trên hình 10-1. Bỏ qua ảnhhưởng của lực cắt và lực dọc.Trong trường hợp này ta có:ll(10-9)zPlPl 32 M21 (Pz)2Δ= ∫dz = ∫dz =P 0 2EJP 0 EJ3EJH×nh 10.12 2. Xác định chuyển vị theo định lý Castigliano⇒ Định lý Castigliano: “Ðạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồitheo một lực nào đó bằng chuyển vị theo phương tác dụng của lực đặt tạiđiểm đó”.∂UΔk =(10-10)∂Pk⇒ Chứng minh (hình 10-2)⇒ Giả sử tăng lượng Pk lênP1P2… Pkmột lượng vơ cùng bé dPk thìđộ võng của dầm tại các điểmΔ1Δ2Δkđặt lực sẽ tăng lên các lượngdΔ1, dΔ2,...,dΔk,...,dΔn ⇒ thếnăng biến dạng đàn hồi cũng sẽH×nh 10-2tăng lên một lượng là dU.⇒ Nếu vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi thì thế năngmột hàm của tải trọng, do đó dU cũng là một hàm của tải trọng.U = f(Pi) => dU = df(Pi)⇒ Thế năng biến dạng U sẽ tăng một lượng là:∂UdU =dPk∂PkPnΔnbiến dạng là(10-11)⇒ Sau khi biến dạng, lực dPk thực hiện một công là: dA = dPk .Δk⇒ Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng: dA = dU ⇒ (đpcm)⇒ Giả sử trên dầm có mơmen tập trung tác dụng, tương tự ta có biểu thứccủa định lý Castigliano viết cho góc xoay tại vị trí mơmen tập trung là:∂Uθk =(10-12)∂M kVới U biểu diễn trong (10-7), ta có:n in iN ∂NM ∂MQ ∂QΔk = ∑ ∫dz + ∑ ∫dz + ∑ ∫ ηdzEF ∂PkEJ x ∂PkGF ∂Pki =1 0i =1 0i =1 0n lill(10-13)n in in i∂UN ∂NM ∂MQ ∂Qθk == ∑∫dz + ∑ ∫dz + ∑ ∫ ηdz (10-14)∂M k i =1 0 EF ∂M kGF ∂M ki =1 0 EJ x ∂M ki =1 0lll⇒ Chú ý: định lý Castigliano chỉ xác định được độ võng và góc xoay ởđiểm có đặt lực tập trung và mômen tập trung ⇒ muốn xác định độ võng vàgóc xoay tại một điểm bất kỳ khơng có lực tập trung và mơmen tập trung thìta đặt vào đó lực tập trung giả tạo Pgt=0 và mômen tập trung giả tạo Mgt=0.3 ⇒ Ví dụ 10.2: xác định độ võng và góc xoay tại đầu B của dầm chịu lựcnhư hình 10.3. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.Giải: vì khơng kể đến ảnh hưởng của lực cắt Q nên:lM ∂MPĐộ võng: Δ B = ∫ EJ ∂P dz .Mgt0A∂MEJ= −zDo M= -P.z =>GF∂PzBlThay vào biểu thức trên ta được độPl 3võng: Δ B =3EJH×nh 10.3Ðể tính góc xoay ta thêm vào mơmen giả tạo Mgt.∂M=1Ta có: M = Mgt - P.z∂M gt∂UM ∂M1Pl 2θB ==dz = ∫M gt − P.z .1.dz = −∂M gt ∫ EJ ∂M gtEJEJ ; vì Mgt = 0.00ll()Dấu (-) chứng tỏ góc xoay tại B ngược chiều Mgt .Ghi chú: nếu kể đến ảnh hưởng của lực cắt Q thì:llM ∂MQ ∂QΔB = ∫dz + ∫ ηdz .EJ ∂PGF ∂P00∂QPl 3Pl= 1 ⇒ ΔB =+ηVới Q = P P3EJGFiii. tính chuyển vị theo nguyên lý cÔNG KHả Dĩ3.1. Công khả dĩ của ngoại lực, nội lực, nguyên lý di chuyển khả dĩ3.1.1 Chuyển vị khả dĩ Chuyển vị khả dĩP1P2Mhoặc biến dạng khả dĩđợc hiểu l bất cứ mộtBdạng chuyển vị hay biến A12dạng no đảm bảo đợccác điều kiện liên kếtHình 10-4của hệ (các điều kiệnbiên hình học của hệ). Ví dụ với hệ hình 10.4, những chuyển vị theo đờng đn hồithoả mÃn điều kiện l độ võng tại hai gối tựa bằng không l nhữngchuyển vị khả dĩ.4 3.1.2 Công khả dĩ của ngoại lực⇒ Công khả dĩ là công sinh ra bởi các lực trên các chuyển vị và biến dạngkhả dĩ do một nguyên nhân bất kỳ gây ra (có thể là tải trọng, nhiệt độ, …).⇒ Xét một hệ đàn hồi tuyến tính ứng với hai trạng thái “k” chịu lực Pk và“m” chịu lực Pm như hình 10.5.“k”PkPm“m”dzdzΔkmH×nh 10-5⇒ Ký hiệu Δkm là chuyển vị khả dĩ tương ứng với lực Pk (có vị trí vàphương tương ứng với lực Pk) donguyên nhân ở trng thỏi m gõyĐờng đn hồi do lực Pk tác dơngra.Pk⇒ Ví dụ trên hình 10.6: Δkk làPmchuyển vị theo phương của lực PkΔkkdo lực Pk gây ra chuyển vị này.Δmm là chuyển vị theo phương củaΔmmΔkmlực Pm do lực Pm gõy ra chuyn vĐờng đn hồi do lực Pk vμ Pm t¸c dơngnày.ng⇒ Ký hiệu A km là cơng khả dĩH×nh 10-6của ngoại lực ở trạng thái “k” sinhra trên các chuyển vị tương ứng ở trạng thái “m”. Ta có:A ng = Pk .Δ km(10-16)km⇒ Trong trường hợp có nhiều lực tác dụng, cơng khả dĩ của ngoại lực códạng:A ng = ∑ Pik .Δ kmkm(10-17)i3.1.3 Nguyên lý công khả dĩ⇒ Nếu hệ biến dạng đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của các lực thì tổngngcơng khả dĩ A km của các ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ tương ứngnvà công khả dĩ của các nội lực A km trên những biến dạng đàn hồi khả dĩtương ứng phải bằng khơng, có nghĩa:A ng + A n = 0 haykmkm∑Pik.Δ km + A n = 0km(10-18)i5 3.1.4 Cơng khả dĩ của nội lực⇒ Tính cơng khả dĩ của nội lực trên toàn chiều dài của hệ: tách khỏi hêmột đoạn chiều dài dz và biểu diễn các thành phần nội lực như trên hình 10.7“k”Δdϕ“m”QkMmMkNkNkMkNmγtbMmNmQmQma)dzdz+Δdzdzdzb)Qkc)d)ΔdsH×nh 10.7⇒ Ở trạng thái “k”, trên phân tố có các lực dọc Nk, mơmen uốn Mk, lực cắtQk (hình 10.7a). Đối với phân tố đang xét các thành phần này là ngoại lực.⇒ Ở trạng thái “m” tại vị trí tương đương cũng tách ra phân tố có chiềudài dz. Các thành phần nội lực ký hiệu là Nm, Mm, Qm chúng gây ra các biếndạng khả dĩ (hình 10.7b,c,d).⇒ Cơng khả dĩ phân tố của các lực ở trạng thái “k” trên các biến dạng khảdĩ tương ứng ở trạng thái “m” là:Q Q dz ⎤⎡ N N dz M M dzdA ng = N k Δdz + M k Δdϕ + Q k Δds = ⎢ k m + k m + η k m ⎥kmEJGF ⎦⎣ EF(10-19)⇒ Theo (10-18), ta có:dA ng = −dA n(10-20)kmkm⇒ Do đó cơng khả dĩ phân tố của các nội lực:Q Q dz ⎤⎡ N N dz M M dzdA n = − ⎢ k m + k m + η k m ⎥kmEJGF ⎦⎣ EF(10-21)⇒ Trên tồn hệ, cơng khả dĩ của nội lực sẽ là:N N dzM M dzQ Q dz ⎤⎡A n = − ⎢∑ ∫ k m + ∑ ∫ k m + ∑ ∫ η k m ⎥kmEFEJGF ⎦⎣(10-22)⇒ Từ (10-22), (10-20) và (10-17) ta có:∑Piki.Δ km = ∑ ∫N k N m dzM M dzQ Q dz+∑∫ k m +∑∫η k mEFEJGF(10-22)⇒ Công thức trên biểu thị sự cân bằng giữa công khả dĩ của ngoại lực tácdụng lên hệ ở trạng thái “k” trên những chuyển vị khả dĩ tương ứng ở trạngthái “m” với công khả dĩ của nội lực ở trạng thái “k” trên những biến dạngkhả dĩ tương ứng ở trạng thái “m”.6 3.2 Các định lý tương hỗ3.2.1 Định lý Betti về sự tương hỗ của công khả dĩ của ngoại lực (1872)⇒ Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “k” trên các chuyển vị khả dĩtương ứng ở trạng thái “m”:∑ Pik .Δ km = ∑ ∫iN k N m dzM M dzQ Q dz+∑∫ k m +∑∫η k mEFEJGF(a)⇒ Công khả dĩ của các ngoại lực ở trạng thái “m” trên các chuyển vị khảdĩ tương ứng ở trạng thái “k”:∑Pjjm .Δ mk = ∑ ∫N m N k dzM M dzQ Q dz+∑∫ m k +∑∫η m kEFEJGF(b)⇒ So sánh (a) và (b) ta được:∑Piki.Δ km = ∑ Pjm .Δ mk(10-24)j⇒ “Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, cơng khả dĩ của ngoại lực tác dụng lênhệ ở trạng thái “k” trên những chuyển vị khả dĩ ở trạng thái “m” sẽ bằngcông khả dĩ của ngoại lực tác dụng lên hệ ở trạng thái “m” trên nhữngchuyển vị khả dĩ ở trạng thái “k”.3.2.2 Định lý Maxwell về sự tương hỗ của các chuyển vị đơn vị (1864)⇒ Nếu hệ ở trạng thái “k” ta chỉ đặt một lực đơn vị theo phương k, kýhiệu Pk = 1 và nhận đượcPk=1chuyển vị δmk theo phương m.Nếu hệ ở trạng thái “m” ta chỉ ABδmkđặt một lực đơn vị Pm = 1 theophương m và nhận đượcchuyển vị δkm theo phương kPm=1(hình 10-8).BA⇒ Theo định lý Betti ta có:δkmδkm = δmk(10-25)⇒ Như vậy chuyển vị đơnH×nh 10-8vị theo phương của lực Pk dolực Pm = 1 gây ra bằng chuyểnvị đơn vị theo phương của lực Pm do lực Pk gây ra.⇒ Dựa vào thế năng biến dạng đàn hồi người ta có thể giải được nhiều bàitốn sức bền vật liệu như tính chuyển vị của các hệ thanh phức tạp, giải hệsiêu tĩnh, xác định lực tới hạn trong ổn định... Các phương pháp giải trênđược gọi chung là phương pháp năng lượng.7 3.3. Cơng thức MAXWELL - MOHR⇒ Bài tốn phẳng: trạng thái chịu lực của khung như đã cho là trạng thái“m”, lực và chuyển vị của trạng thái này có kèm theo chỉ số m (hình 10.9).⇒ Xác định chuyển vị theoqphương k của trọng tâm MCN tạiPA. Muốn vậy tạo một trạng thái“m”“k”chịu lực “k” mới bằng cách bỏ tấtAcả ngoại lực ban đầu tác dụng lênAhệ và đặt theo phương k một lực PkkPkcó giá trị và chiều tuỳ ý. Để đơngiản ta thường chọn Pk = 1 vàtrạng thái này được gọi là trạngHình 10.9thái đơn vị.⇒ Công Akm của lực Pk trên chuyển vị Δkm là:Akm = Pk .Δ km = ∑ ∫N k N m dzM M dzQ Q dz+∑∫ k m +∑∫η k mEFEJGF(10-26)⇒ Chia cả hai vế của biểu thức này cho Pk, đồng thời ký hiệu:Nk =QkMkNk; Mk =; Qk = PPkPkktrong đó N k , Mk , Q k - nội lực do Pk = 1 gây ra ở trạng thái “k”.⇒ Cơng thức tổng qt tính chuyển vị hệ đàn hồi tuyến tính:N k N m dzM k M m dzQ Q dzΔ km = ∑ ∫+∑∫+∑∫η k m(10-27)EFEJGFCông thức Mo giúp ta xác định chuyển vị theo các phương của thanh códạng bất kỳ. Muốn xác định chuyển vị thẳng tại một điểm nào đó của trụcthanh, ta đặt tại điểm đó một lực tập trung đơn vị, cịn muốn xác định chuyểnvị góc (góc xoay) thì ta đặt mômen tập trung đơn vị.⇒ Muốn xác định chuyển vị tương đối giữaMk=1các điểm hoặc giữa các mặt cắt khác nhau củaPk=1thanh, ta đặt hai lực đơn vị có phương trùng vớiđường thẳng nối hai điểm đó nhưng ngược chiềunhau. Muốn xác định góc xoay tương đối giữaPk=1hai mặt cắt đó thì ta đặt hai mơmen đơn vị ngượcchiều nhau, các lực đơn vị trong trường hợp nàyMk=1được gọi là lực đơn vị tổng quát, các chuyển vịtương đối gọi là chuyển vị tổng quát (hìnhHình 10.1010.10).8 ⇒ Tóm lại, chuyển vị của thanh theo cơng thức Mo xác định như sau:1. Viết biểu thức nội lực Mm , Nm, Qm do tải trọng gây ra trên thanh2. Ðặt các lực đơn vị theo các phương cần tính chuyển vị. Nếu chuyển vịcần tính là chuyển vị thẳng thì lực đơn vị là lực tập trung, nếu chuyển vị cầntính là góc xoay thì lực đơn vị là mômen tập trung.3. Viết biểu thức nội lực N k , Mk , Q k do lực đơn vị gây ra (tại các MCNtương ứng với các MCN đã tính Mm, Nm, Qm)4. Thay các biểu thức Mm , Nm, Qm , N k , Mk , Q k vào cơng thức (10-27) tatính được các chuyển vị cần tìm.5. Nếu Δkm dương thì chiều của chuyển vị trùng với chiều của lực đơn vị,nếu Δkm âm thì ngược lại.⇒ Ðối với bài tốn khơng gian, nếu trên MCN của thanh có đầy đủ 6thành phần nội lực thì cơng thức Mo sẽ có dạng:M yk M ym dzN zk N zm dzM xk M xm dzΔ km = ∑ ∫+∑∫+∑∫+EFEJ xEJ yQ yk Q ym dzQ Q dz++ ∑ ∫ ηx xk xm + ∑ ∫ ηyGFGFM zk M dz∑ ∫ GJ zmp(10-28)Mym , Mxm , Mzm , Nzm , Qxm , Qym là các nội lực trên MCN do tải trọng gâyra còn N zk , M xk ,M yk , M zk , Qxk ,Qyk là các nội lực do tải trọng đơn vị gây ra.Ví dụ 10.3: cho dầm chịu lực như hình 10.11. Xác định độ võng ở giữanhịp. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.qGiải: trạng thái chịu lực của dầm như đãcho là trạng thái “m”. Biểu thức mômenz1M m = q(lz − z 2 )uốn tại MCN:ql/2Pk=12Để tính độ võng tại giữa nhịp ta tạo ratrạng thái “k” bằng cách đặt tại đó lực Pk =z1 theo chiều chuyển vị cần tính. Biểu thức 1/2l/2l1Mk = zmơmen uốn:2H×nh 10.11Thay vào (10-27), ta được (bỏ qua lựcl/21 15 ql 4⎛1⎞2 1dọc, cắt): y ⎜ 2 ⎟ = Δ km = 2 ∫ EJ . 2 q(l.z − z ) 2 z.dz = 384 EJ⎝ ⎠0(Phải lấy tích phân từ 0l/2 và từ l/2l, nhưng do hai tích phân nàybằng nhau nên lấy một tích phân rồi nhân cho 2).9 IV. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ÐỒ VÊRÊSAGHIN⇒ Xác định chuyển vị của các thanh có độG,Fcứng khơng đổi, theo cơng thức Mo khá phứcG(z)tạp. Đối với hệ thanh thẳng, ta thấy ít nhấtmột hàm nội lực dưới dấu tích phân là bậcdΩnhất hoặc hằng số.C⇒ Nếu một trong hai hàm số dưới dấu tíchΩphân có dạng bậc nhất thì ta có thể thay cáchgiải tích phân trên bằng phương pháp nhân O zzdzbiểu đồ của Vêrêsaghin.zCF(z)=az+b⇒ Giả thiết trên đoạn chiều dài l nào đócủa thanh, hàm số G(z) có dạng bất kỳ cịnF(z) có dạng bậc nhất: F(z) = (az + b)F(zC)M k M m dz= ∫ F(z).G(z)dz ,⇒ Tích phân ∫OEJztrong đó F(z) = M k cịn G(z) =lMm.EJHình 10-12⇒ Tích phân I của hai hàm số F(z) và G(z):ll00I = ∫ F(z).G(z)dz = ∫ (az + b).G(z)dzvới dΩ = G(z)dz là một diện tích vơ cùng nhỏ của biểu đồ G(z), ta có tíchphân theo biến mới: I = ∫ (az + b)dΩ = a ∫ zdΩ + b ∫ dΩ = a ∫ zdΩ + bΩΩ⇒ Ta có∫ zdΩ = zΩCΩΩΩΩ , trong đó zC là hồnh độ trọng tâm của diện tích Ω.Khi đó tích phân I sẽ là: I = az C Ω + bΩ = Ω(az C + b)⇒ Theo hình 10-12, ta có azC + b = F(zC) – tung độ của hàm F(z) ứng với(10.30)hoành độ zC ⇒ I = ΩF(zC)⇒ Từ kết quả trên ta suy ra: nếu các biểu đồ nội lực Mm, Nm, Qm do tảitrọng gây ra có dạng bất kỳ, cịn các biểu đồ N k , M k , Q k do tải trọng đơn vịcó dạng bậc nhất thì:Δ km = ∑111Ω(M m )M k (C) + ∑ Ω(N m )N k (C) + ∑ ηΩ(Q m )Q k (C) (10.31)EJEFGFΩ(Mm), Ω(Nm), Ω(Qm) là diện tích các biểu đồ Mm, Nm, Qm.M k (C), N k (C),Q k (C) là các giá trị của biểu đồ M k ,N k ,Q k tạinhững vị trí tương ứng với trọng tâm của diện tích các biểu đồ Mm, Nm, Qm.trong đó10 Cần chú ý rằng:- Nếu F(z) và G(z) đều là bậc nhất thì phép nhân trên có tính hốn vị.- Nếu chỉ có một biểu đồ là bậc nhất thì giá trị tung độ tương ứng tại trọngtâm bắt buộc phải lấy ở biểu đồ có dạng bậc nhất đó.- Nếu đồ thị bậc nhất bị gãy khúc thì phải chia chiều dài lấy tích phânthành từng đoạn, trên mỗi đoạn đồ thị này là một đường thẳng trơn, để thựchiện phép nhân, sau đó lấy tổng kết quả phép nhân trong các đoạn.- Nếu các biểu đồ có dạng phức tạp thì khi nhân ta chia chúng ra nhiềuhình đơn giản, sau đó ta cộng các kết quả lại với nhau.- Kết quả của phép nhân mang dấu (+) khi diện tích và tung độ đều cùngdấu hoặc cùng nằm về một phía của đường chuẩn.- Kết quả của phép nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản đối xứng sẽbằng khơng.C1Ω2Ω1C2y1Ω3Ω1C1y2Ω2C2C1 Ω1C3C2 Ω2y2y1y2 y3a)y1b)c)Hình 10-13Bảng 10.1 - diện tích và hồnh độ trọng tâm của một số hình thường gặpBậc 2113Ω = hl ; z1 = l z 2 = l344hz2z1Bậc nlΩ=11n +1hl ; z1 =l ; z2 =ln +1n+2n+2Bậc 2Ω=hz2z1l235hl ; z1 = l z 2 = l388Bậc nΩ=nn +13n + 1hl ; z1 =l ; z2 =ln +13n + 2n+211 Ví dụ 10.4: Tìm độ võng tại B và góc xoay tại A của dầm chịu lực như trênhình 10.14a (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt).GiảiTrạng thái ″m″ là trạng thái a)chịu lực của dầm (hình 10.14a).Biểu đồ mơmen uốn do tải trọnggây ra Mm biểu diễn trên hình10.14b.Để tìm độ võng tại B ta tạo lên b)trạng thái ″k″ (hình 10.14c), biểuđồ mơmen MB được biểu diễnktrên hình 10.14d.MmỞ đây ta thấy trong hai đoạnAB và BC biểu đồ MB được c)kbiểu diễn bằng những đườngthẳng khác nhau, vì vậy để tínhđộ võng dùng phương pháp nhân d)biểu đồ Vêrêsaghin ta phải chiabiểu đồ Mm theo 2 phần từ A đếnB và từ B đến C. Phép nhânVêrêsaghin cho kết quả như sau:e)12 ql 2 l 5 lyB =2. .. . . =EJ x 3 8 2 8 4MBk5 ql 4=384 EJ xf)Để tìm góc xoay tại A ta sẽ tạotrạng thái ″k″ như hình 10.14e.ABiểu đồ M k được biểu diễn nhưhình 10.14f. Theo phép nhân Vêrêsaghin ta có:θ A = Δ kmMAkHình 10.141 ⎛ 2 ql 2 1 ⎞ql 2.⎜ − ..l. ⎟ = −=EJ x ⎝ 3 8 2 ⎠24EJ xKết quả mang dấu (-) chứng tỏ là góc xoay tại A có chiều ngược lại vớichiều của Mk đã chọn.12 Ví dụ 10.5: Tìm độ võng tại B của dầm chịu lực như trên hình 10.15a (bỏqua ảnh hưởng của lựccắt).GiảiBiểu đồ mơmen củatrạng thái ″m″ được biểudiễn trên hình 10.15b. Đểđơn giản khi nhân biểuđồ ta có thể xem biểu đồMm trong khoảng AC làtổng cộng của một biểuđồ bậc nhấ và một đườngbậc 2 (hình 10.15c). Điềuđó cũng giống như chúngta xem rằng trạng thái″m″ là tổng cộng của haitrạng thái: trạng thái chỉcó một mình lực P tácdụng và trạng thái chỉ cómột mình lực q tác dụng(hình 10.15d).Để tìm chuyển vị tại Bta tạo ra trạng thái ″k″như trên hình 10.15e,biểu đồ mơmen cũngđược biểu diễn trên hìnhđó.Với cách đó ta có thểthực hiện phép nhân biểuđồ Vêrêsaghin một cáchdễ dàng:Hình 10.15y B = Δ km =11 ⎛ 1 l l 2 l 1 l 2 l 2 ql 2 1 l ⎞=( Ω1y1 + Ω2 y2 + Ω3 y3 ) = ⎜ P . . + P .l. − . .l. ⎟EJ xEJ x ⎝ 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 8 2 3 ⎠4Pl 3ql 4=−81EJ x 72EJ x13 Ví dụ 10.6: Tìm chuyển vị ngang tại A, D (điểm giữa AB) và góc xoaytương đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa B và C của khung chịu lực như hình10.16a. Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt đến chuyển vị của khung.GiảiTa xem trạng thái chịu lực của khung là trạng thái ″m″. Biểu đồ Mm đượcbiểu diễn trên hình 10.16b.Hình 10.16Để tìm chuyển vị ngang tại A ta lập trạng thái ″k″ như trên hình 10.16c.Chuyển vị ngang tại A:M My A = Δ km = ∑ ∫ k m dzEJ x1 ⎛ 1 ql 2 2 2 ql 2 5 ⎞ 3ql 4yA =.l. l + ..l. l ⎟ =⎜ .EJ x ⎝ 2 2 3 3 2 8 ⎠ 8EJ xĐể tìm góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt B và C ta tao nên trạng thái″k″ như hình 10.16d. Bằng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin ta có:M MθBC = Δ km = ∑ ∫ k m dzEJ x1 ⎛ 1 ql 22 ql 2 ⎞ 7ql 3θBC =.l + l.⎜ .⎟=EJ x ⎝ 2 23 2 ⎠ 12EJ x14 Để tính chuyển vị ngang tại D ta tạo nên trạng thái ″k″ như hình 10.16e.Ta nhận thấy phép nhân biểu đồ trong đoạn AB sẽ trở nên phức tạp, vì taphải chia biểu đồ Mm đó thành hai phần trên hai đoạn AD và DB mà trọngtâm của mỗi phần ta chưa xác định. Để tránh khó khăn này ta xem biểu đồMm trên đoạn AB như tổng hai biểu đồ như trên hình 10.16e. Với cách đó tathực hiện được phép nhân Vêrêsaghin một cách dễ dàng:M My D = Δ km = ∑ ∫ k m dzEJ x1 ⎡ 1 ql 2 2 lql 2 1 2 l l ⎛ ql 2 2ql 2 ⎞ 1 l l+yD =.l. . + 2... . +⎜. +⎢⎟EJ x ⎣ 2 2 3 22 23 2 2 ⎝ 28 ⎠2 2 22 ql 2 l l 2 ql 2 l 5 l ⎤ 89ql 4+. +. =3 8 2 2 3 8 2 8 2 ⎥ 384EJ x⎦Ví dụ 10.7: Cho khung chịu lực như hình vẽ (10.17a). Tính độ dịch gầntương đối giữa các trọng tâm MCN A và B. Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọcvà lực cắt; EJx=constGiảiBiểu đồ Mm như hình vẽ 10.17b.Hình 10.17Ðể tìm chuyển vị thẳng tương đối Δkm giữa A và B, đặt hệ lực đơn vị Pk =1 ngược chiều nhau như trên hình 10.17c. Biểu đồ mơmen uốn Mk như trênhình 10.17dnM111Pa 3Δ km = ∑ M m k dz = − Pa.a. 0, 707a.= −0,118EJ x23EJ xEJ xi =1Dấu (-) ở đây chứng tỏ sau biến dạng các điểm A và B xa nhau hơn so vớivị trí ban đầu của chúng (ngược chiều với các lực Pk=1).15