Giới Hạn Của Dãy đơn điệu. Định Lý Weierstrass - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo án - Bài giảng >
3. Cao đẳng - Đại học >

Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.7 KB, 26 trang )

như dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là+∞(−∞).1Ví dụ 1.3.1 Chứng minh rằng dãy số (xn ) = (1 + n )n (n ∈ N) có giới hạn hữu hạn. Giớihạn này được kí hiệu là e.Chứng minh. Như ta đã biết dãy (xn ) trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theođịnh lý Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạnlim (1 +n→∞1 n) = e.nChú ý. Số e là số siêu việt (không phải là số đại số). Nó không là nghiệm của đa thứcvới hệ số nguyên có bậc n1. Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi là số Neperhay số Ơle.1.4Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số1.4.1Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy sốBài 1.4.1 Tìm giới hạn I = limn→∞n3n2− 2n+1 n +1.Giải.1−1n2 (n2 + 1) − n3 (n + 1)n2 − n3nI = lim= lim= lim1n→∞n→∞ (n + 1)(n2 + 1)n→∞ (1 + )(1 +(n + 1)(n2 + 1)n1)n2= −1.(n + 1)4 − (n − 1)4.n→∞ (n2 + 1)2 − (n2 − 1)2Bài 1.4.2 Tìm giới hạn I = limGiải.(n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1)2 + (n − 1)2 )2n(n2 + 1)= lim= ∞.n→∞n→∞(n2 + 1 − n2 + 1)(n2 + 1 + n2 − 1)n2I = lim1√.2 − 1 − n)n→∞ n( nBài 1.4.3 Tìm giới hạn I = limGiải.√n2 − 1 + nI = lim= limn→∞ n(n2 − 1 − n2 )n→∞1−1n2+1= −2.−1√n2 + 1 − nBài 1.4.4 Tìm giới hạn I = lim √√ .n→∞n+1− n7Giải.√√(n2 + 1 − n2 )( n + 1 + n)√I = lim= limn→∞ (n + 1 − n)( n2 + 1 + n)n→∞1n+1n21+1n+1n2= 0.+1√n2 + 1 − nBài 1.4.5 Tìm giới hạn I = lim √√ .n→∞n3 + 1 − n nGiải.√√(n2 + 1 − n2 )( n3 + 1 + n n)√I = lim= limn→∞ (n3 + 1 − n3 )( n2 + 1 + n)n→∞n+1n31++1n2√n= ∞.+1√4√n3 + n − n√Bài 1.4.6 Tìm giới hạn I = lim.n→∞ n + 2 +n+1Giải.4I = limn→∞1.4.21n1++2n1n31n−+1n+= 0.1n2Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy sốĐịnh lý 1.4.1 Nếu ynxnzn ,∀n > n0 và lim yn = lim zn = a thì lim xn = a.n→∞n→∞n→∞Bài 1.4.7 Tìm giới hạn1 + 22 + . . . + nn.n→∞nnlimGiải.Đặtan =1 + 22 + . . . + nn.nnKhi đó ta có1=Vìnnnnann1 + n2 + . . . + nnnn+1 − nnn − 1 nn==. , ∀n ∈ N.4122Do đó 0 < √ < . Mặt khác lim = 0 nên I = 0.n→∞ nnn!8Bài 1.4.9 I = lim√nn→∞nGiải.Theo công thức nhị thức Newton ta có√√√n(n + 1) √n = (1 + ( n n − 1))n = 1 + n( n n − 1) +( n n − 1)2 + . . . + ( n n − 1)n .2Với mọi ∀n > 1 ta có n >n(n+1) √( n n−1)2 .2Do đó với mọi ∀n > 1, 0 1 ta có a > n( n a − 1). Do đó 0 < n a − 1 < . Mặt khác limn→∞ nn√lim n a − 1 = 0 hay I = 1.n→∞Bài 1.4.11 I = lim q n , |q| < 1.n→∞Giải.Nếu q = 0 thì I = 0.Nếu q = 0 thì ta có11> 1, do đó= 1 + h, h > 0. Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli|q||q|ta có11= (1 + h)n > 1 + nh > nh ⇒ 0 < |q|n 1.n→∞ aMặt khác limn→∞Giải.Theo công thức nhị thức Newton ta cóan = (1 + (a − 1))n = 1 + n(a − 1) +Với a > 1 ta có an >n(n+1)(a2n(n + 1)(a − 1)2 + . . . + (a − 1)n .2− 1)2 . Do đó 0 0 ta có(−1)nnα−1nα1nα−11= lim α = 0 nên I = 0.αn→∞ nn→∞ nMặt khác limSử dụng giới hạn cơ bản lim q n = 0, |q| < 1 để tìm giới hạn1.4.3n→+∞của dãyBài 1.4.14 Tìm giới hạn của dãy an =1 + 7n+23 − 7nGiải.Chia tử số và mẫu số cho 7n ta có1+ 727n3−17nan =1+ 727nn→∞ 3 − 17nDo đó lim an = limn→∞1= 0.n→∞ 7n= −49 vì lim2n+2 + 3n+3n→∞2n + 3nBài 1.4.15 Tìm giới hạn limGiải.Chia tử số và mẫu số cho 3n ta cóan =Do đó lim an =n→∞4.2nnlim 3 nn→∞ 2n34.2n3n2n3n+ 33+1+ 332n= 27 vì lim n = 0.n→∞ 3+15.2n − 3.5n+1n→∞ 100.2n + 2.5nBài 1.4.16 Tìm giới hạn limGiải.Chia tử số và mẫu số cho 5n ta cóan =Do đó lim an =n→∞5.2n− 3.55nlim 100.2nn→∞+25n5.2n− 3.55n100.2n+25n152n=−vì lim n = 0.n→∞ 5210(−1)n .6n − 5n+1n→∞ 5n − (−1)n .6n+1Bài 1.4.17 Tìm giới hạn limGiải.Chia tử số và mẫu số cho (−6)n ta có1−an =1−5.5n(−6)n5n−6Do đó lim an = limn→∞n→∞(−6)n=−5.5n(−6)n5n(−6)n−615nvì lim= 0.n→∞ (−6)n62n + 3−nn→∞ 2−n − 3nBài 1.4.18 Tìm giới hạn limGiải.Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có2n+ 91n3n1−16nan =Do đó lim an =n→∞2n1n + nlim 3 1 9n→∞ n − 162n11= lim n = lim n = 0.n→∞ 3nn→∞ 9n→∞ 6= 0 vì lim(−1)nαn→+∞ nSử dụng giới hạn cơ bản lim1.4.4= 0, α > 0 để tìm giới hạncủa dãy1(−1)n + nBài 1.4.19 Tìm giới hạn lim 1n→∞ 2 − (−1)nnGiải.Chia tử số và mẫu số cho (−1)n ta cóan =Do đó lim an = limn→∞1.4.5n→∞1+(−1)nn(−1)nn2−11+(−1)nn(−1)nn2−1(−1)n(−1)n= lim= 0.n→∞n→∞nn2= −1 vì limDùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơnđiệuĐịnh lý 1.4.2 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R bị chặn trên (dưới): x1...xn...y (x1x2...xn...x2z), thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếunhư dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là+∞(−∞).11Bài 1.4.20 Chứng minh rằng dãy an =111+ ... + nhội tụ.+ 25+1 5 +15 +1Giải.Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vìan+1 = an +15n+1+1nên an+1 > an .Dãy an bị chặn trên. Thật vậyan =111111+ 2+ ... + n< + 2 + ... + n =5+1 5 +15 +15 55151− 5n+11=141− 51−15n1< .413n1< .2Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.Bài 1.4.21 Chứng minh rằng dãy an =111+ 2+ ... + nhội tụ.3+1 3 +23 +nGiải.Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vìan+1 = an +3n+11+n+1nên an+1 > an .Dãy an bị chặn trên. Thật vậy111111an =+ 2+ ... + n< + 2 + ... + n =3+1 3 +23 +n3 33131− 3n+11=121− 31−Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.Bài 1.4.22 Chứng minh rằng dãy an =2nhội tụ và tìm giới hạn của nó.n!Giải.Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vìan+1=an2n+1(n+1)!2nn!=2< 1, ∀n > 1.n+1nên an+1 < an .Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặndưới nên nó hội tụ.Giả sử lim an = a. Ta có an+1 =n→∞2an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khin+1n → ∞ ta được2. lim an .n→∞ n + 1 n→∞lim an+1 = limn→∞2n= 0.n→∞ n!Do đó a = 0.a ⇒ a = 0. Vậy lim12Bài 1.4.23 Cho dãy a1 =√2, an+1 =√2an . Chứng minh rằng dãy (an ) hội tụ và tìm giớihạn của nó.Giải.Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < . . . .Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2.√√√Thật vậy, a1 = 2, a2 = 2a1 < 2.2 = 2.√Giả sử đã chứng minh được rằng an 2. Ta sẽ chứng minh an+1√2an2.2 = 2. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 2, ∀n ∈ N2. Thật vậy, an+1 =Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.√Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = 2an ⇒ a2 = 2an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thứcn+1n→∞này khi n → ∞ ta đượclim a2 = 2. lim an .n+1n→∞Do đó a2 = 2.a ⇒ a = 0Bài 1.4.24 Cho dãy x1 =a = 2. Vì an >√a,x2 =n→∞√2 nên a = 2. Vậy lim an = 2.n→∞a+√a, . . . , xn =a+a + ... +√a,a > 0.n dấu cănChứng minh rằng dãy (xn ) hội tụ và tìm giới hạn của nó.Giải.Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < . . . .√Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trên bởi a + 1.√√√√√√Thật vậy, x1 = a < a+1, x2 = a + a < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a+1.√√Giả sử đã chứng minh được rằng xna + 1. Ta sẽ chứng minh an+1a + 1. Thật√√√√vậy, an+1 = a + xn < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1. Vậy theo nguyên lý qui√a + 1, ∀n ∈ Nnạp ta có xnNhư vậy, dãy xn đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.√Giả sử lim xn = x. Ta có xn+1 = a + xn ⇒ x2 = a + xn . Lấy giới hạn 2 vế của đẳngn+1n→∞thức này khi n → ∞ ta đượclim x2 = a + lim xn .n+1n→∞√√√1 − 1 + 4a1 + 1 + 4a1 + 1 + 4a2Do đó x = a + x ⇒ x =x=. Vì an > 0 nên x =.222√1 + 1 + 4aVậy lim xn =.n→∞2n→∞13Bài 1.4.25 Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau:0 < a1 < 1, an+1 = an (2 − an ), ∀n1.Giải.Đầu tiên ta sẽ chứng minh an bị chặn, cụ thể là 0 < an < 1.Thật vậy, ta có 0 < a1 < 1.Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an < 1. Ta sẽ chứng minh 0 < an+1 < 1. Thật vậy,an+1 = an (2 − an ) = 1 − (1 − an )2 . Do 0 < (1 − xn )2 < 1 nên 0 < an+1 < 1. Vậy theo nguyênlý qui nạp ta có 0 < an+1 < 1, ∀n ∈ NBây giờ ta sẽ chứng minh dãy an đơn điệu tăng. Thậy vậy an+1 = an (2 − an ) ⇒an+1=an2 − an > 1. Từ đó an+1 > an , ∀n ∈ NNhư vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = an (2 − an ). Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khin→∞n → ∞ ta đượclim an+1 = lim an . lim (2 − an ).n→∞Do đó a = a.(2 − a) ⇒ a = 0n→∞n→∞a = 1. Vì an > a0 > 0 và an đơn điệu tăng nên a = 1. Vậylim an = 1.n→∞Bài 1.4.26 Cho dãy a1 =√k5, an+1 =√k5an , k ∈ N. Chứng minh rằng dãy (an ) hội tụ vàtìm giới hạn của nó.Giải.Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < . . . .√Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi k−1 5.√√√111Thật vậy, a1 = k 5, a2 = k 5a1 = 5 k + k2 < 5 k−1 = k−1 5.√k−1Giả sử đã chứng minh được rằng an5. Ta sẽ chứng minh an+1√11√1an+1 = k 5an 5 k + k(k−1) = 5 k−1 = k−1 5.√k−1Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an5, ∀n ∈ N√k−15. Thật vậy,Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.√Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = k 5an ⇒ ak = 5an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thứcn+1n→∞này khi n → ∞ ta đượclim ak = 5. lim an .n+1n→∞Do đó ak = 5.a ⇒ a = 0a=√k−1n→∞5. Vì an >√k145 nên a =√k−15. Vậy lim an =n→∞√k−15.Bài 1.4.27 Chứng minh rằng dãy an =n!hội tụ và tìm giới hạn của nó.nnGiải.Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vìan+1=an(n+1)!(n+1)n+1n!nn=nn< 1,(n + 1)nnên an+1 < an .Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặndưới nên nó hội tụ.Giả sử lim an = a. Ta có an+1 =n→∞nn.an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi(n + 1)nn → ∞ ta đượcnn. lim an .n→∞ (n + 1)n n→∞lim an+1 = limn→∞n!= 0.n→∞ nnDo đó a = e−1 .a ⇒ a = 0. Vậy lim1.4.61Tìm giới hạn của dãy số dùng giới hạn cơ bản lim (1+un ) un =n→∞e, biết rằng khi n → ∞ thì un → 0.Bài 1.4.28 Tìm giới hạn limn→∞Giải.limn→∞11+n+kn= limn→∞Bài 1.4.29 Tìm giới hạn limn→∞Giải.limn→∞11−n+1n= limn→∞Bài 1.4.30 Tìm giới hạn limn→∞Giải.limn→∞11+2nn= limn→∞n→∞limn→∞2n + 12n2n= limn→∞,nn+1= e.n.n−(n+1). −(n+1)11−n+11+12n11+ n2n.n2n. 2n1= e2 .2n + 12nk∈Nn(n+k). n+k11+n+k11+2nBài 1.4.31 Tìm giới hạn limn11+n+k2n.2n= e.15= e−1 .1.4.7Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãysố để chứng minh dãy số phân kỳĐịnh lý 1.4.3 Nếu dãy (xn ) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (xn ) đều bằng nhau vàbằng giới hạn của dãy số (xn ).Chú ý. Để chứng minh dãy (xn ) phân kỳ ta làm như sau:Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.Bài 1.4.32 Chứng minh rằng dãy an = (−1)n2n + 3phân kỳ.3n + 1Giải.Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta cóa2k = (−1)2k2.2k + 32→ ,3.2k + 13a2k+1 = (−1)2k+122.(2k + 1) + 3→ − khi n → ∞.3.(2k + 1) + 13Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.16Chương 2GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ2.1Giới hạn của hàm số tại một điểmCho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là 1 số cố định nào đó.Định nghĩa 2.1.1 Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số(xn ) ⊂ X \ a hội tụ về điểm a này xn → a.Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp số X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tậphợp X.Định nghĩa 2.1.2 (theo Côsi) Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a,nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn|x − a| < δ luôn có |f (x) − A| < ε.Định nghĩa 2.1.3 (theo Gene)Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a, nếu như với mọi dãy∀(xn ) ⊂ X \a hội tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f (xn ) → A.2.2Giới hạn của hàm số từ một phíaCho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là 1 số nào đó. Xét tập hợp+−Xa = {x ∈ X \ x > a} và Xa = {x ∈ X \ x < a}.Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp+−Xa (Xa ).17

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1 CÓ ĐÁP ÁN
  • 26
  • 14,200
  • 576

Tải bản đầy đủ (.pdf) (26 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(275.7 KB) - BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1 CÓ ĐÁP ÁN-26 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×