Giới Hạn Của Hàm Số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A/ LÝ THUYẾT

I/ Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số

+ Với ${{x}_{n}}\in K\backslash ({{x}_{0}})$ và khi ${{x}_{n}}$ dần tới ${{x}_{0}}$ thì ta có $f({{x}_{n}})$ dần về một số L xác định.

+ Kí hiệu: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$

+ Số L được gọi là giới hạn của hàm số $y=f({{x}_{0}})$ khi x dần tới ${{x}_{0}}$ với dãy $({{x}_{n}})$ bất kì.

+ Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $({{x}_{0}};b)$ , số L được gọi là giới hạn phải của hàm số $y=f(x)$ khi x tiến tới ${{x}_{0}}$ nếu với dãy số $({{x}_{n}})$ bất kì, ${{x}_{0}}{{x}_{o}}>{{x}_{n}}$ và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ , thì ta có $f({{x}_{n}})\to L$

       Kí hiệu: $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$

II/ Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

1/ Giới hạn hữu hạn

a/ Giới hạn đặc biệt

+ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,x={{x}_{o}}$

+ $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,c=c$ (c là một hằng số)

b/ Định lý

+ Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=M$ thì:

       $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right]=L+M$

       $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)g(x) \right]=L-M$

       $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]=LM$

       $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]=\frac{L}{M}$ $\left( M\ne 0 \right)$

+ Nếu $f(x)\ge 0$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$

+ Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left| f(x) \right|=\left| L \right|$

c/ Giới hạn một bên

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$

2/ Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

a/ Giới hạn đặc biệt

+ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty $

+ \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \] nếu k chẵn; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=-\infty \] nếu k lẻ

+ $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,c=c$ (c là một hằng số)

+ $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{{{x}^{k}}}=0$ (c là một hằng số)

+ $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=-\infty $ ; $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=+\infty $

+ $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left| x \right|}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left| x \right|}=+\infty $

b/ Định lý

+ Nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\ne 0$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\pm \infty $ thì:

              $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)g(x)=+\infty $ khi L và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)$ cùng dấu

              $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)g(x)=-\infty $ khi L và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)$ trái dấu

              $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=0$ nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\pm \infty $

              $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty $ nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$ và $L.g(x)>0$

              $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=-\infty $ nếu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$ và $L.g(x) A đúng

B.$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{x+2}=\frac{5}{4}$ => B đúng

C.$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{6}}-5{{x}^{5}}+x}{{{(1-x)}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{(x-1)}^{2}}(4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1)}{{{(1-x)}^{2}}}$

    $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( 4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1 \right) \right]=10$ => C đúng

D.$\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}+x-20}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+5)}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x+5}=\frac{8}{9}$  => D sai

Đáp án D

VD 2: Kết quả nào dưới đây là sai?

A.$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-1}=\frac{3}{2}$

B.$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}-27}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+3}=-\frac{36}{5}$

C.$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=5$

D.$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{5}}+1}{{{x}^{3}}+1}=\frac{5}{3}$

Giải:

Hướng dẫn cách bấm CASIO

A.Các em nhập vào máy $\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-1}$ để ý vì đây là x tiến với 1 nên ta CALC và cho x = 0,9999999999 hoặc 2,00000001 đều được, máy sẽ báo kết quả là 1,5

=> A đúng

B.Tương tự các em nhập vào $\frac{{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}-27}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+3}$ để ý vì đây x tiến tới 3 nên ta CALC và cho x bằng 2,999999999 hoặc 3,00000001 ta thu được kết quả là $-7,2=-\frac{36}{5}$

=> B đúng

C.Tương tự như hai đáp án trên thì nhập vào $\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$sau đó CALC với x bằng 0,0000001 thì ta thu được kết quả là 6

Ta chọn đáp án C

Nếu muốn chắc chắn hơn thì các em thử đáp án D ra kết quả là -3

VD 3: Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+7}+x-4}{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}$

A.$\frac{4}{15}$

B.$\frac{2}{5}$

C.$-\frac{4}{15}$

D.$-\frac{2}{5}$

Giải:

*Cách tự luận:

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+7}+x-4}{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{2x+7}-3)+(x-1)}{(x-1)({{x}^{2}}-3x-3)}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{2x-7}-3)(\sqrt{2x+7}+3)}{(x-1)({{x}^{2}}-3x-3)(\sqrt{2x-7}+3)}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{(x-1)({{x}^{2}}-3x-3)}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2(x-1)}{(x-1)({{x}^{2}}-3x-3)(\sqrt{2x+7}+3)}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}-3x-3}$

$=-\frac{1}{15}-\frac{1}{5}=-\frac{4}{15}$

Đáp án C

*Cách CASIO

Nhập vào máy $\frac{\sqrt{2x+7}+x-4}{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}$ sau có CALC với x bằng 0,99999999 hoặc 1,0000001 ta đều thu được kết quả $-0,266666666666=-\frac{4}{15}$

VD 4: Tính $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x-7}}{{{x}^{2}}-3x+2}$

A.$\frac{7}{54}$

B.$\frac{1}{9}$

C.$\frac{4}{27}$

D.$\frac{1}{6}$

Giải:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x-7}}{{{x}^{2}}-3x+2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{8x+11}-3}{{{x}^{2}}-3x+2}-\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-7}-3}{{{x}^{2}}-3x+2}$

$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{8(x-2)}{(x-2)(x-1)\left[ {{\left( \sqrt[3]{8x+11} \right)}^{2}}+3\sqrt[3]{8x+11}+9 \right]}-\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{(x-2)(x-1)\left( \sqrt{x+7}+3 \right)}$ $=\frac{8}{27}-\frac{1}{6}=\frac{7}{54}$

Đáp án A

C/ BÀI TẬP

Bài 1: Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[4]{2x-1}+\sqrt[5]{x-2}}{x-1}$

A.$\frac{3}{10}$

B.$\frac{5}{10}$

C.$\frac{7}{10}$

D.$\frac{9}{10}$

Bài 2: Tính $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-{{x}^{3}}} \right)$

A.1

B.-1

C.2

D.-2

Bài 3: Tính $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{x}^{2}}-3x-2}+\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6} \right)$

A.-2

B.2

C.1

D.-1

Bài 4: Tính $\lim (\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}-x)$

A.3

B.$-\frac{5}{2}$

C.$-\frac{5}{3}$

D.-3

Bài 5: Tính $\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}x+\sin x-1}{2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1}$

A.3

B.-3

C.$\frac{1}{3}$

D.$-\frac{1}{3}$

Bài 6: Tính $\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\tan }^{3}}x-3\tan x}{\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)}$

A.12

B.-12

C.24

D.-24

Bài 7: Tính $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (a+2x)-2\sin (a+x)+\sin a}{{{x}^{2}}}$

A.$\sin a$

B.$-\sin a$

C.$\cos a$

D.$-\cos a$

Bài 8: Tính $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x.\cos 2x.\cos 3x}{1-\cos x}$

A.12

B.16

C.14

D.18

Bài 9: Tính $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos 3x.\cos 5x.\cos 7x}{{{\sin }^{2}}7x}$

A.$\frac{83}{49}$

B.$\frac{83}{98}$

C.$\frac{81}{49}$

D.$\frac{81}{98}$

Bài 10: Tính $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}{1-\cos x}$

A.2

B.-2

C.1

D.-1

 

 

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	B	A	B	B	D	B	C	B	B

 

Bài viết gợi ý:

1. Giới Hạn Của Dãy Số

2. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

3. Nhị Thức Newton

4. Quy Tắc Đếm