Góc Giữa 2 đường Thẳng Trong Không Gian - Ehoidap

Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian là 1 đơn vị kiến thức quan trọng thuộc bậc THPT, xuất hiện trong đề thi thử khá nhiều.

Mục lục

Toggle

• Cơ sở lý thuyết
• Bài tập vận dụng có lời giải

Cơ sở lý thuyết

Giả sử hai đường thẳng trong không gian có phương trình lần lượt là: ax + by + c = 0 và a’x + b’y + c = 0

Gọi vecto chỉ phương của hai đường thẳng theo thứ tự là $\vec u$ = (a, b, c) và $\vec u’$ = (a’, b’, c’)

Công thức tổng quát Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian:

\[{cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}} = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}\left( 1 \right)}\]

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là Δ: 3x + 2y – 5 = 0 và Δ’: – 2x + 5y – 1 = 0. Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng này trong không gian Oxyz.

Lời hướng dẫn

Theo đề:

• Vecto chỉ phương của Δ: 3x + 2y – 5 = 0 có dạng $\vec u$ = (3; 2; – 5)
• Vecto chỉ phương của Δ: – 2x + 5y – 1 = 0 có dạng $\vec u$ = ( – 2; 5; – 1)

Áp dụng công thức (1) ta tìm được:

$\begin{array}{l} cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}}\\ = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}\\ = \frac{{\left| {3.\left( { – 2} \right) + 2.5 + \left( { – 5} \right).\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( 5 \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 0,267\\ \Rightarrow \varphi = 74,{54^0} \end{array}$

Góc giữa hai đường thẳng là φ = 74,540.

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là Δ: 3x + 2y – 5 = 0 và Δ’: – 2x + 5y – 1 = 0. Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng này trong không gian Oxyz.

Lời hướng dẫn

Theo đề:

• Vecto chỉ phương của Δ: 3x + 2y – 5 = 0 có dạng $\vec u$ = (3; 2; – 5)
• Vecto chỉ phương của Δ: – 2x + 5y – 1 = 0 có dạng $\vec u$ = ( – 2; 5; – 1)

Áp dụng công thức (1) ta tìm được:

$\begin{array}{l} cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}}\\ = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}\\ = \frac{{\left| {3.\left( { – 2} \right) + 2.5 + \left( { – 5} \right).\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( 5 \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = 0,267\\ \Rightarrow \varphi = 74,{54^0} \end{array}$

Góc giữa hai đường thẳng là φ = 74,540.

Bài tập 2: Đường thẳng d: – x + 7y + 3 = 0 và d’: 4x – 3y – 6 = 0. Hãy tìm góc giữa hai đường thẳng này trong không gian Oxyz.

Lời hướng dẫn

Theo đề:

• Vecto chỉ phương của d: – x + 7y + 3 = 0 có dạng $\vec u$ = ( – 1; 7; 3)
• Vecto chỉ phương của Δ: 4x – 3y – 6 = 0 có dạng $\vec u$ = ( 4; – 3; – 6)

Áp dụng công thức (1) ta tìm được:

$\begin{array}{*{20}{l}} {cos\varphi = \frac{{|\vec u.\vec u’|}}{{|\vec u|.|\vec u’|}}}\\ { = \frac{{|aa’ + bb’ + cc’|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{a’}^2} + {{b’}^2} + {{c’}^2}} }}}\\ { = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).4 + 7.\left( { – 3} \right) + 3.\left( { – 6} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {7^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( 4 \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2}} }} = 0,7168}\\ { \Rightarrow \varphi = 44,{{21}^0}} \end{array}$

Góc giữa hai đường thẳng là φ = 74,540.

Trên đây là lý thuyết và bài tập về đường thẳng. Hy vọng nó hữu ích với ban.