Góc Giữa Hai đường Thẳng Chéo Nhau

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Phương pháp xác định góc, tính góc hai đường thẳng chéo nhau. Bài tập minh họa, bài tập áp dụng để học sinh vận dụng tự làm. Tổng hợp các bài tập trong các đề thi thử THPT Quốc Gia, đề thi thử đại học.

Cách xác định góc hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Cách 1:  Từ một điểm trên đường thẳng a, kẻ a’//a

góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a, a’

Cách 2: Từ 1 điểm bất kì, kẻ a’//a, b//b’

góc giữa góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’,b’

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b

Cách tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Nếu α ≤ 900 thì kết luận góc giữa a và b là α

Nếu α > 900 thì kết luận góc giữa a và b là 1800– α

Cách 1: dựng các tam giác chứa góc và sử dụng định  lí hàm số cosin, sin trong tam giác.

Định lí hàm số cosin trong tam giác ABC

Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc

Tính chất

Nhắc lại góc giữa hai véc tơ chung gốc: Góc giữa hai véc tơ là góc dương nhỏ hơn 1800

Chú ý: 

1. Góc giữa hai véc tơ song song cùng chiều : 00

2. Góc giữa hai véc tơ song song ngược chiều: 1800

3. Góc giữa hai véc tơ vuông góc : 900

Bài tập áp dụng tích vô hướng 

 Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính góc giữa các cặp cạnh đối diện

Hướng dẫn giải 

Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD

Cách tính: Sử dụng công thức tích vô hướng của hai véc tơ

Theo giả thiết ta có AB = CD =a. 

Tính tích có hướng

Tính tích có hướng

Ta có tam giác ACD đều cạnh a.

Tính tích có hướng

Ta có tam giác ABC đều cạnh a.

Các cặp cạnh còn lại tương tự. Các bạn học sinh tự làm để hiểu rõ hơn. Kết luận: Góc giữa hai đường thẳng đối diện của tứ diện đều bằng 900

 Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a√2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải toán

 

 (***)

Tam giác  SAC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai véc tơ chung gốc CA, CS  bằng 600

Xét tam giác SBC. Biết độ dài các cạnh và chưa biết góc . Để tính tích vô hướng của hai véc tơ chung gốc sử dụng tính chất tích vô hướng 

Góc giữa hai véc tơ AB và SC là 1200 → Góc hai đường thẳng AB và SC là góc nhọn = 1800 – 1200 = 600

 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a√3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Hướng dẫn giải 

Sử dụng cách 2 để tìm góc giữa hai đường thẳng. Từ một điểm kẻ lần lượt 2 đường thẳng song song 2 đường AB,CD

Gọi I là trung điểm của BD. Ta có:

Xét tam giác IMN có:MI là đường trung bình của tam giác BCD, NI là đường trung bình của tam giác DBA

Góc giữa hai véc tơ AB và CD là 1200 → Góc hai đường thẳng AB và CD là góc nhọn = 1800 – 1200 = 600

 Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC, DA’

Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng  để tính góc giữa hai đường thẳng AC, DA’

Hai véc tơ AD và BC có cùng phương, cùng hướng → góc hai véc tơ AD và BC bằng 00

Tính độ dài AC và A’D

Vì AC và A’D là hai đường chéo của hình vuông có cạnh bằng a. AC = A’D

Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuong ABC ta có

Góc hai đường thẳng AB và CD là góc nhọn = 600

Bài 5:  Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau 

Hướng dẫn giải toán

 

Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√3. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?

Hướng dẫn giải toán

 

Xem thêm

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Bài tập tự luận góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Bài tập trắc nghiệm ( tuyển tập các bài toán trong các đề thi học kì, thi thử THPT Quốc Gia)