Golden Và Bản Tính Của Chân Lý Toán Học - Tạp Chí Tia Sáng

Tư duy có căn bản khoa học trong những học giả nhân văn được khai sáng hiện nay là một phần của văn hoá công cộng và Goldstein là một trong số những nhà văn dẫn đạo. Hiện là giáo sư Triết học tại Trinity College, ở Hartford, Connecticut; từng dạy tại các đại học Barnard, Rutgens, Columbia, và vài đại học khác. Năm 2005, bà được bầu chọn vào Viện Hàn lâm Khoa học & Nghệ thuật của Mĩ. Là tác giả của 5 cuốn tiểu thuyết: The Mind-Body Problem [Vấn đề hồn-xác], The Late-Summer Passion of a Woman of Mind [Đam mê cuối hạ của một người đàn bà trí thức], The Dark Sister [Người chị u huyền], Mazel, Properties of Light [Những tính chất của ánh sáng]; và một tuyển tập truyện ngắn Strange Attractors [Những điểm hấp lực dị kì]. Cuốn sách gần đây nhất Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gôde [Bất toàn: chứng cứ và nghịch lí của Kurt Gdel].

Dưới đây là cuộc trò chuyện giữa bà và tạp chí Edge (Biên thành) ngày 6.8.2005 về việc đi tìm căn gốc của Định lí bất toàn trong toán học của Gdel. Lí luận chân lí số học đúng nhưng không thể chứng minh hiện hữu trong lí luận thời cổ Hy Lạp của Epimenides. Định lí của Godel còn xuất phát từ sự chạm trán giữa các nhà l luận thực chứng học ở Vienna (trong đó có Wittgenstein) với Gode trên lập trường triết học Platon.

Edge: Dường như bà có một bộ sưu tập kì dị về những mối quan tâm: toán học, vật lí và triết học là một phía; và giả tưởng là phía kia. Tại sao một tiểu thuyết gia lại đi dạy khoa học triết học và có đủ quan tâm về toán để viết một cuốn sách về những định lí về bất toàn của Kurt Godel?

Rebecca Goldstein: Đối với tôi những mối tương thuyết ấy là tự nhiên. Đó là vấn đề những dạng thức khác nhau của cái đẹp. Những nhà toán học và những nhà vật lí cũng được hướng dẫn bởi những nguyên lí về thanh tao và cái đẹp chẳng khác gì các tiểu thuyết gia và các nhạc sĩ. Einstein bảo triết gia khoa học Hans Reichenbach rằng ngay cả trước cuộc nhật thực năm 1918 – ủng hộ cho thuyết tương đối của ông, thì ông cũng đã biết là thuyết ấy phải đúng bởi nó quá đẹp. Và Hermann Weyl, người làm việc về cả thuyết tương đối và cơ học lượng tử, nói: “Công việc của tôi đã luôn luôn cố gắng thống nhất cái đúng với cái đẹp, nhưng khi tôi phải chọn cái này hoặc cái kia, tôi thường chọn cái đẹp”. Tôi cũng xin nói cùng điều đó về việc viết tiểu thuyết. Khi bạn dùng các ý tưởng trong toán hoặc vật lí hoặc triết học trong một tác phẩm giả tưởng, câu hỏi đặt ra là bạn có thể bẻ quẹo ý tưởng bao xa để khiến nó làm được việc trong tiểu thuyết, làm được việc như một ẩn dụ. Tôi cố gắng hết sức gần gũi với sự thật trong chừng mức có thể, nhưng khi tôi phải chọn, thì chọn theo cách của Weyl.

Toán học dường như chính là nơi chốn duy nhất bạn không cần phải chọn, nơi cái đúng và cái đẹp luôn luôn thống nhất. Một trong những cuốn sách ưa chuộng mọi lúc của tôi là A Math- ematicians’ Apology [Biện hộ của một nhà toán học] của G.H. Hardy, nó cố gắng chứng minh cho một lớp độc giả phổ thông rằng toán học mật thiết với cái đẹp. Ông đưa ra hai chứng cớ để làm thí dụ, một chứng tỏ rằng không có số nào là số nguyên tố lớn nhất. Đó là những chứng cứ giản dị, dễ nắm bắt và chúng khơi dậy ngạc nhiên trong tâm hồn. Tôi đọc cuốn sách của G. H. Hardy vào mùa hè, sau khi tốt nghiệp cử nhân, ngay trước khi tiếp tục vào trường cao học. Đó cũng là mùa hè tôi đọc cuốn sách mỏng đáng yêu của Newman và Nagel tựa đề là Godel’s Proof [Chứng cứ của Godel]. Đọc hai cuốn sách cùng lúc thật tuyệt vời. Không gì có thể làm tôi xác tín vào quan điểm của Hardy về toán học và cái đẹp hơn sự đồng thời đọc về Chứng cứ của Godel.

Cuốn sách của Hardy không những chỉ hấp dẫn về mặt trí tuệ mà còn gây xúc cảm, thậm chí có tính tụng ca nữa, bởi ông đang để tang cho sự mất đi tính sáng tạo toán học. Ông ta ở tuổi ngũ tuần, và như ông viết, toán học là một trò chơi của thanh niên! Ông viết cuốn sách sau toan tính tự tử lần đầu và trước toan tính thứ nhì – lần [tự tử] thành công. C. P. Snow thuyết phục mãi để ông viết một cuốn sách mô tả những lạc thú đặc biệt của sự sáng tạo toán học cho những người không hề trải nghiệm nó. Cuốn sách có một tác động lớn với tôi, khắc sâu trong tôi sự nông cạn của việc phân nhánh trí tuệ và những đam mê. Trí tuệ là đam mê.

Và dĩ nhiên chính ông Snow là người đã đặt tên gọi cho chúng là hai nửa nền văn hóa – mà nay ông đi thêm bước nữa. Snow cảnh giác rằng một mặt những người thực hành những khoa học toán học và mặt khác những ngành nghệ thuật và nhân văn đang đánh mất khả năng thông hiểu lẫn nhau, khiến cho tất cả cùng nghèo nàn đi. Ý tưởng của ông về việc nối cầu giữa hai nền văn hoá, để sáng tạo một nền văn hoá thứ ba, đi tiếp cận với cây cầu chủ yếu từ phía khoa học. Một số lớn những nhà khoa học của tạp chí Edge mà ông đang tự gắn bó với những loại câu hỏi trong truyền thống vẫn thường được các nhà nhân văn đề đạt, những câu hỏi liên can tới ý nghĩa làm người. Nhưng cũng có một vận động từ phía kia nữa. Có những nghệ sĩ tự sự khác – tôi đang nghĩ đến những nhà tiểu thuyết như Richard Powers, Alan Lightman, Dan Lloyd, và những kịch tác gia như Michael Frayn, và Paul Parnell (họ viết vở kịch QED [Quan- tum Electro namics: Điện động học lượng tử/Quod erat demonstratum: Điều phải chứng minh] về Richard Feynmann) – là những người đang hội nhập những ý tưởng toán học và khoa học vào tác phẩm của mình. Đó là một điểm kì vọng trong nền văn hóa này.

Tôi ưa nghĩ rằng những khía cạnh nông nổi của khung cảnh trí tuệ thuộc thế kỉ vừa qua đã diễn hết trò rồi. Tôi chủ ý nói riêng đến những sự phấn khích vào tính khách quan và tính thuần lí, thường mang dạng những công kích vào khoa học. Không có gì kém hào hứng hơn việc giảm trừ mọi thứ vào những kiến thiết xã hội và vào những quan điểm tủn mủn của con người. Lạc thú của suy nghĩ là trong sự cố gắng ra khỏi tự thân chúng ta – điều này cũng đúng trong các ngành nghệ thuật và nhân văn như là trong toán và khoa học. Có một chút gì anh hùng trong ý tưởng về phía tri thức khách quan. Tri thức càng đưa bạn lìa xa quan điểm cá nhân của riêng bạn bao nhiêu thì tri thức đó càng anh hùng bấy nhiêu. Có thể những ý tưởng mới đang sắp làm sống động lại những ngành nghệ thuật, và nhân văn cũng đang sắp đồng minh với những khoa học. Dĩ nhiên, không phải là tiểu thuyết sẽ đề đạt những chủ đề khoa học – như thế hẳn sẽ hạn chế một cách lố bịch. Nhưng tôi hi vọng rằng tinh thần rộng mở liên kết với sự theo đuổi chân lí khoa học sẽ thấm đẫm vào những ngành nghệ thuật và nhân văn. Những liên hệ này giữa các khoa học và các ngành nhân văn liệu có tương quan như thế nào với Godel? Một trong những điều kì lạ xảy ra trong thế kỉ 20 là những kết quả rút ra từ toán học và vật lí được kết nạp vào cuộc tấn kích lên tính khách quan và tính thuần lí. Tôi chủ chốt nghĩ đến thuyết tương đối và những định lí về bất toàn của Godel.

Mùa hè trước khi bước chân vào ban cử nhân ở đại học tôi có đọc một cuốn sách khá phổ thông lúc đó, của một triết gia ở New York tên là William Barrett, tựa đề là Irrational Man (Con người phi lí tính). Nó mơ hồ đượm màu của chủ nghĩa hiện sinh và nó lập luận khá ráng sức rằng con người kiến thiết mọi chân lí. Nó nói nhiều về Nietzsche và Heidegger, nhưng chỉ có một vài trang về thuyết tương đối và những định lí bất toàn, đưa ra lập luận rằng rốt cuộc của những kết quả này là ngay trong vật lí và toán học cũng không hề có chân lí khách quan và tính thuần lí. Vạn vật đều là tương đối ứng với quan điểm của con người, và rằng những chứng cớ của toán học là bất toàn bởi không có cơ sở nào cho tri thức toán học. Mọi thứ đều bị nhiễm tính chủ quan của con người, để cho chúng ta không có cơ sở nào biện biệt giữa cái thuần lí và cái phi lí. Tôi đọc điều này ngay trước khi bước chân vào đại học và khiến tôi ra khơi mà bao nhiêu cánh buồm đều đói gió. Trước kia tôi từng hăng say học những điều quan trọng nhưng bấy giờ tôi đọc được rằng điều quan trọng duy nhất để học là chẳng có điều gì là quan trọng cả, ít ra cũng chẳng có điều nào mà không phải do chúng ta tạo dựng nên, nó dường như ngầm phá tầm quan trọng của chúng. Tôi cũng từng thích tạo dựng sự việc như bất cứ ai; nói cho cùng, tôi là một kẻ tương lai sẽ viết tiểu thuyết. Tuy vậy, ý nghĩ rằng công chuyện tạo dựng này xâm nhập cả vào toán học đã làm tôi xì hơi.

Và điều trớ trêu là cả hai Einstein và Godel – vốn có một mối kết giao bằng hữu truyền kì khi họ cùng ở Học viện Cao cấp inceton (the Princeton Insti- tute for Advanced Study) – đều đã không tận tụy hơn với ý tưởng về chân lí khách quan. Cả hai đều là những người siêu cấp hiện thực khi xét trong lĩnh vực của họ, Einstein trong vật lí, và Godel trong toán học. Điều trớ trêu càng sâu sắc hơn trong trường hợp Godel bởi không những ông là một nhà hiện thực toán học, tin tưởng rằng chân lí toán học có cơ sở trong thực tại, mà còn trớ trêu hơn nữa, là chính sự xác tín siêu toán học này đã thực sự làm động cơ thúc đẩy những chứng cứ nổi tiếng của ông.

Godel là một nhà hiện thực toán học, một người theo chủ nghĩa Platon. Ông tin rằng cái làm cho toán học chân thực là bởi nó mang tính mô tả – dĩ nhiên, không phải về thực tại kinh nghiệm, mà là về một thực tại trừu tượng. Trực giác toán học là một cái gì tương hợp với một loại tri giác cảm quan. Trong luận văn của ông mang tên: “What Is Cantor’s Continuum Hypothesis?” [Giả thuyết liên tục của Cantor là gì?], Gdel viết rằng chúng ta không thể nhìn thấy những sự vật mà chúng tình cờ chân thực, mà chúng ta đang nhìn thấy những sự vật mà chúng phải là chân thực. Thế giới của những thực thể trừu tượng là một thế giới thiết yếu, đó là lí do chúng ta có thể diễn kịch những mô tả của chúng ta về nó qua lí tính thuần túy (pure reason).

Một trong những điều lí thú về Godel là ông trở nên đắm say với chủ nghĩa Platon khi là sinh viên, một sinh viên ban cử nhân ở Đại học Vienna. Ông theo một giảng khóa triết học của Heinrich Comperz. Khi tôi đọc những trang bản thảo của Godel trong tầng hầm của thư viện irestone ở Đại học Princeton, tôi khám phá ra rằng về cuối đời ông được người ta gửi tới một bản câu hỏi về những ảnh hưởng triết học. Những nhà xã hội học đã liệt kê một nhóm các triết gia nặng kí, và Godel xao lãng hầu như toàn bộ họ- (mặc dù ông nói rằng Kant có chút xíu ảnh hưởng). Theo Gdel, ảnh hưởng lớn nhất lên đời ông là giáo sư Comperzs, người đã giới thiệu ông vào lập trường triết học, chủ nghĩa Platon. Đáp ứng của Godel là mạnh mẽ. Ông chuyển môn chọn từ vật lí sang toán học, chuyên môn nhất về lí thuyết số, bởi ông nghĩ rằng chính đó là nơi ông đã tìm ra những kết quả thân thiết với trái tim theo Platon của ông. Điều này cho bạn thấy định hướng triết học làm động cơ cho công cuộc của ông. Dường như Godel đã ấp ủ một cao vọng táo bạo ngay khi còn là một sinh viên trẻ tuổi: sản sinh một kết quả toán học có những hàm nghĩa siên toán học, những hàm nghĩa, hoặc ít nhất là những gợi ý, về bản tính của tự thân toán học. Nó như thể một họa sĩ tạo tác một bức tranh có nói được một điều gì về bản tính của cái đẹp, không chừng còn có một điều gì để nói về sự tại sao cái đẹp lại làm ta xúc động. Toán học nêu lên những câu hỏi siêu tính (meta-questions), bởi vì nó là tiên nghiệm (a priori), là miễn dịch với sự xét lại trải nghiệm, là thiết yếu. Làm sao chúng ta lại có được tri thức loại này? Nó là về cái gì? Những sự thật chúng ta học được về cõi không gian, thời gian rốt ráo ra đều mang tính trải nghiệm; và chúng là ngẫu nhiên. Chúng không miễn dịch với sự xét lại trải nghiệm, đó là lí do vật lí đòi hỏi những thiết bị đắt tiền để trắc nghiệm những tiên đoán của nó đối với thế giới. Những nhà toán học thì rẻ tiền; vậy nên họ đáng giá trong so sánh phí tổn và hiệu quả ở các đại học – đó cũng là một cách khác để nói rằng toán học là tiên nghiệm. Nhưng tính tiên nghiệm và tính thiết yếu này trình ra những vấn đề. Những chân lí tiên nghiệm, thiết yếu, có thể là về cái gì? Không chừng chúng chẳng là về cái gì cả, ngoại trừ những hệ thống dạng thức mà chúng ta kiến thiết, thuần là những hậu quả của việc thao tác những biểu tượng theo quy luật, như thể trong trò chơi cờ vua. Chủ nghĩa Platon chối bỏ câu trả lời này. Nó tuyên xưng rằng toán học là mô tả về những thực thể trừu tượng, về số và tập hợp, chúng tồn tại riêng biệt khỏi nỗ lực của chúng ta, đang tìm hiểu chúng qua những hệ thống toán học của chúng ta.

Chủ nghĩa Platon đã luôn luôn có một hấp lực lớn đối với các nhà toán học, bởi nó làm cơ sở cho cảm quan của họ rằng họ đang khám phá hơn là đang phát minh ra những sự thật. Khi Godel đem lòng yêu chủ nghĩa Platon, theo tôi, nó trở thành cốt lõi cho đời sống của ông. Ông tình cờ đã kết hôn rồi, nhưng mối tình chân thực của đời ông là chủ nghĩa Platon, và ông mắc vào cái vòng tình ái, như rất đông trong chúng ta, khi ông là một sinh viên chưa tốt nghiệp.

Vào thời của Godel, chủ nghĩa Platon là một lập trường ít phổ thông. Hầu hết các nhà toán học, chẳng hạn như David Hilbert, gương mặt vời vợi trong thế hệ trước của những nhà toán học và còn sống khi Gdel ở tuổi thanh niên, đều là những người theo chủ nghĩa hình thức. Chương trình của Hilbert là hình thức hoá mọi ngành toán học. Chính bản thân Hilbert đã làm xong việc hình thức hóa hình học, tùy thuộc vào việc số học được hình thức hóa. Và điều mà chứng cớ lẫy lừng của Godel chứng tỏ là số học không thể hình thức hóa được. Bất cứ hệ thống hình thức về số học nào cũng sẽ hoặc là bất nhất (inconsistent) hoặc là bất toàn (incomplete).

Vào ngày 7 tháng 10 năm 1931, khi 24 tuổi, ông loan báo kết quả của mình, một chứng cứ bày tỏ rằng bất cứ hệ thống hình thức nào đủ phong phú để biểu hiện số học cũng sẽ có một mệnh đề là đúng và không thể chứng minh. Ông thực sự còn bày tỏ cách kiến thiết, trong mỗi hệ thống hình thức nhất trí, một mệnh đề số học chân thực mà không thể chứng minh. Điều này nghe ra nghịch lí, bởi nếu ông bày tỏ rằng nó chân thực, thì không phải là ông đã chứng minh nó chân thực rồi sao? Nhưng nó không nghịch lí. Chứng cứ này lướt bên mép bờ của nghịch lí.

Một phần hậu cảnh tiếp ngay với Chứng cứ của Godel không chỉ là Chương trình của Hilbert, mà còn là thủ đô Viên [Vienna] trong những năm cuối thập niên 1920 và đầu thập niên 1930. Khi còn là sinh viên, Godel đã được một trong những giáo sư của mình là Hans Hahn, mời tham dự những buổi gặp mặt truyền kì của những nhà thực chứng luận lí (logical positivists), là những người sau này được biết đến như Nhóm Viên (the Vienna Circle). Đôi khi Gdel được xếp loại như là một nhà thực chứng luận lí là bởi sự liên kết thời trẻ này. Đúng là Godel đã không tranh luận với họ khi tham dự những buổi họp tổ chức tại một căn phòng u ám trước tầng hầm của Đại học Viên. Nhưng chính bởi ông chọn cách không tranh luận không có nghĩa là ông chẳng bất đồng với họ một cách kịch liệt. Một người say mê chủ nghĩa Platon ắt phải so le một cách sâu xa với những nhà thực chứng luận lí.

Godel không tin vào khả năng truyền thông của chúng ta. Ông nghĩ rằng ngôn ngữ tự nhiên là không chính xác, và chúng ta thường không hiểu nhau. Godel muốn minh chứng một định lí toán học, nó sẽ có toàn bộ sự chính xác của toán học – là ngôn ngữ duy nhất có thể tuyên xưng ít nhiều về sự chính xác – nhưng với tầm vóc triết học. Ông muốn một định lí toán học có thể đáp ứng những để xuất của siêu toán học (meta-mathematics). Và hai điều phi thường đã xảy ra. Một là ông thực sự đã tạo tác ra một định lí như thế. Một nữa là những thành phần sinh động hơn trong cõi văn hóa trí thức đã thông giải định lí đó về mặt triết học, và nói lên ngay cái điều đối nghịch với điều ông chủ ý để nói bằng chính định lí đó. Godel chủ ý chứng tỏ rằng tri thức toán học của chúng ta vượt quá những chứng cứ hình thức của chúng ta. Ông không có ý muốn lật đổ quan niệm rằng chúng ta có được tri thức toán học khách quan, hoặc cũng không có ý tuyên xưng rằng không có chứng cứ toán học – hoàn toàn trái lại. Ông tin rằng chúng ta tất nhiên là có tiếp cận với một thực tại toán học độc lập. Những hệ thống hình thức của chúng ta là bất toàn bởi có nhiều thực tại toán học hơn là có thể chứa trong bất cứ hệ thống hình thức nào của chúng ta. Chính xác hơn, điều ông bày tỏ là toàn thể những hệ thống hình thức của chúng ta đủ mạnh cho số học thì hoặc là bất nhất hoặc là bất toàn. Vậy mà một hệ thống bất nhất thì hoàn toàn vô giá trị bởi vì những hệ thống bất nhất cho phép bạn dẫn xuất những mâu thuẫn. Và một khi bạn có một mâu thuẫn thì bạn có thể tha hồ chứng minh bất cứ điều gì.

Bà có nghĩ rằng chứng cứ của Godel phơi mở một điều gì về tương quan giữa ngôn ngữ và thực tại?

Chứng cứ của Godel không xem ngôn ngữ mang tính kiến thiết thực tại. Đúng hơn ngôn ngữ lệ thuộc vào thực tại. Nhưng điều đó không có nghĩa là ngôn ngữ không quan trọng trong chứng cứ, là không có điều gì đó mê huyền diễn ra trong những ngôn ngữ, có thể bảo rằng, được nói lên trong chứng cứ. Thực vậy, chứng cứ đó là một sự xếp tầng nhiều loại ngôn ngữ, và cung cách theo đó chứng cứ liên kết những tầng lớp này là cốt tuỷ chiến lược của chứng cứ.

Có ngôn ngữ toán học thuần túy, và rồi có ngôn ngữ siêu toán học, nó mô tả tự thân những hệ thống hình thức, những quy luật của những hệ thống hình thức. Cái khéo khôn là ở ch ỗ ông khiến những câu vốn nói một điều gì thẳng băng về số học cũng đồng thời nói một điều gì đó về chính chúng. Những câu này xoay xở để nói lên trên hai bình diện, và sự nói nước đôi (double-speak) này được hoàn tất qua cái ngày nay chúng ta gọi là đánh số Godel (Gdel numbering). Mỗi thành tố trong hệ thống đều có một số, và bạn cũng có thể ủy thác những con số cho những công thức hoàn thiện (well- formed formulas) gồm những thành tố kia, và cho những chuỗi của các công thức hoàn thiện – vốn là thực chất của các chứng cứ – bằng những quy luật tổ hợp (combinatorial rules). Cho sẵn bất cứ dây kí hiệu nào (string of symbols) bạn có thể dẫn xuất con số duy nhất đi cùng với dây đó, và đảo lại. Bởi có sự đánh số của Godel, những mệnh đề kia vừa nói một điều gì thẳng băng về số học nhưng cũng đồng thời nói một điều gì về chính chúng, một điều gì về những tính chất hình thức của riêng chúng. Đó là cung cách theo đó tính tự thân quy chiếu (self-referentiality) được sử dụng trong chứng cứ.

Tính tự thân quy chiếu, vốn đã sản sinh nhiều vấn đề luận lí quỷ quái – nhà luận lí học Raymond Smullyan đã viết rất hay về chúng trong những cuốn sách lí thú của ông – có cội nguồn từ thời Hi Lạp cổ đại, khi Epimenides, một người dân đảo Crete, nói rằng mọi người dân đảo Crete đều nói dối. Đây là một nghịch lí. Nói cho ngay, trong phát ngôn của Epimenides không có gì nghịch lí nhưng nó ắt dẫn tới câu sau đây, lại lẫy lừng mang tính nghịch lí: “Câu này sai”. Điều Epimenides nói được triển khai là: “Tôi là một người dân đảo Crete; mọi điều người dân đảo Crete nói là sai; ngay điều tôi nói đây là sai”. Và câu phát biểu cuối cùng thực sự nghịch lí. Bởi vì nếu nó đúng thì ắt nó sai, và nếu nó sai thì ắt nó đúng.

Và tâm trí đổ sụp. Godel đã chiếm hữu dạng thức cổ đại nghịch lí này để sản xuất ra một mệnh đề mà chúng ta có thể thấy là nó đúng chính bởi vì chúng ta có thể thấy là nó không thể chứng minh. Mệnh đề này có một ý nghĩa toán học thuần tuý, thẳng băng nhưng nó cũng là một mệnh đề nói về tự thân. Mệnh đề này, thực sự, là: “Chính mệnh đề này không thể chứng minh được”. Nó đúng, hay nó sai? Nếu nó sai, ắt sự phủ định mệnh đề đó là đúng. Sự phủ định mệnh đề đó nói rằng mệnh đề có thể chứng minh. Vậy, giả định là hệ thống nhất trí, nếu mệnh đề nói nước đôi, vấn nạn này là sai, ắt sự phủ định của nó là đúng, điều đó có nghĩa là tự thân mệnh đề vấn nạn kia như thế có thể chứng minh được. Vậy là nếu nó sai, nó không thể là sai được. Nếu nó sai ắt là nó đúng. Vậy nên nó phải đúng. Nhưng không thể chứng minh được.

Đó là cung cách ông thực hiện. Đó là mệnh đề vừa đúng vừa không thể chứng minh được. Và hãy nhớ rằng nó còn có một ý nghĩa số học nghiêm ngặt nữa. Điều đó được hoàn tất qua sự đánh số Godel. Vậy là ông đã chứng tỏ rằng trong bất cứ hệ thống hình thức nhất trí nào về số học sẽ có những mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh được. Một hệ thống hình thức về số học hoặc phải là bất nhất, hoặc là bất toàn. Định lí bất toàn thứ nhì, vốn tiếp theo khá thẳng băng từ định lí thứ nhất, chứng minh rằng một trong những điều bạn không thể chứng minh trong một hệ thống hình thức về số học là tính nhất trí của chính hệ thống đó. Vậy nên đang khi bạn làm việc trong một hệ thống bạn không thể chứng minh từ bên trong hệ thống đó là nó nhất trí. Và dĩ nhiên là một hệ thống bất nhất thì vô giá trị bởi lẽ bạn có thể chứng minh bất cứ điều gì trong một hệ thống bất nhất.

Nguyễn Tiến Văn dịch và giới thiệu (Kỳ sau còn tiếp) Tia Sáng