H=215t-16t2 - Gauthmath

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Question

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Solution

Aquí están las respuestas para las preguntas: Pregunta 1a: (X) designa el número en la cara superior del dado. Pregunta 1b: La distribución de (X) es uniforme con (P(X = x) = \frac{1}{6}). Pregunta 1c: El valor esperado de (X) es (3.5). Pregunta 1d: La varianza de (X) es (\frac{35}{12}).

☆Pregunta 1a: Step 1: Definir la variable aleatoria (X). La variable aleatoria (X) designa el número que aparece en la cara superior del dado después de ser lanzado. Por lo tanto, (X) puede tomar los valores (1, 2, 3, 4, 5) o (6).

La respuesta es: (X) designa el número en la cara superior del dado.

☆Pregunta 1b: Step 1: Identificar la distribución probabilística de (X). Dado que el dado es balanceado, cada uno de los seis resultados posibles tiene la misma probabilidad de ocurrir. La distribución probabilística de (X) es uniforme, y se puede expresar como:

[ P(X = x) = \frac{1}{6} \quad \text{para } x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. ]

La respuesta es: La distribución de (X) es uniforme con (P(X = x) = \frac{1}{6}).

☆Pregunta 1c: Step 1: Calcular el valor esperado de (X). El valor esperado (E(X)) se calcula como:

[ E(X) = \sum_{x=1}^{6} x \cdot P(X = x) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}. ]

Calculando:

[ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5. ]

La respuesta es: El valor esperado de (X) es (3.5).

☆Pregunta 1d: Step 1: Calcular la varianza de (X). La varianza (Var(X)) se calcula como:

[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2. ]

Step 2: Calcular (E(X^2)). [ E(X^2) = \sum_{x=1}^{6} x^2 \cdot P(X = x) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}. ]

Step 3: Sustituir en la fórmula de varianza. [ Var(X) = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}. ]

Step 4: Encontrar un común denominador y calcular. El común denominador entre (6) y (4) es (12):

[ Var(X) = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}. ]

La respuesta es: La varianza de (X) es (\frac{35}{12}).

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