Hai điểm đối Xứng Qua đường Thẳng Y = X

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Đề bài: Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng nhau qua đường thẳng $(d):y=x-1$

Lời giải

Hai điểm $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $(d)$.$\Leftrightarrow AB\bot (d)$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $(d)$.*Vì $AB$ vuông góc với $(d)$ nên $(AB):y=-x+m$.Hoành độ giao điểm $A,B$ là nghiệm của phương trình:$\frac{x^{2}}{x-1}=-x+m \Leftrightarrow g(x)=2x^{2}-(m+1)x+m=0 $ (1)Để $A,B$ tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khi:$\Delta_{g} >0 \Leftrightarrow (m+1)^{2}-8m>0 \Leftrightarrow m^{2}-6m+1>0$$\Leftrightarrow m>3+\sqrt{8}$ hoặc $mKhi đó,giả sử $x_{A},x_{B}$ là các nghiệm của (1) thì:$\begin{cases} x_{A}+x_{B}=\frac{m+1}{2} \\ x_{A}.x_{B}=\frac{m}{2}\end{cases} $Gọi $I$ là trung điểm của $AB$,ta có:$I: \begin{cases} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\y_{I}=-x_{I}+m\end{cases} \Leftrightarrow I: \begin{cases} x_{I}=\frac{m+1}{4}\\ y_{I}=\frac{3m-1}{4}\end{cases} $*Điểm $I \in (d)$  nên:$\frac{3m-1}{4}=\frac{m+1}{4}-1 \Leftrightarrow m=-1$Với $m=-1$ phương trình (1) có dạng:$2x^{2}-1=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_{A}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\x_{B}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} A(\frac{1}{\sqrt{2}};-1-\frac{1}{\sqrt{2}})\\ B(-\frac{1}{\sqrt{2}};-1+\frac{1}{\sqrt{2}})\end{cases} $

Dạo này bận bịu trông con nên không viết được bài nào hẳn hoi, chủ yếu là upload các đề thi thử thpt quốc gia 2016 của các trường thpt trong cả nước cho các bạn ngồi ngâm cứu. Hôm nay có chút thời gian, làm được ít việc cá nhân xong rồi thì ngồi nghĩ không biết viết gì cho blog.

Chat với bác google thì được cho biết, các trò của chúng ta cũng tìm kiếm khá nhiều dạng bài toán Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d nên quyết định xuất bản bài viết này.

Tổng quát:

Cho hàm số $y=f_{(x)}$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng $d: y=g_{(x)}$ cho trước.

Phương pháp:

Cách 1:

• Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cực tiểu, cực đại. Giả sử là A và B.
• Tìm tọa độ 2 điểm A và B theo m.
• Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
• Giải điều kiện: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot \Delta\end{array}\right.$

Cách 2:

• Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cực tiểu, cực đại. Giả sử là A và B.
• Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm cực tiểu, cực đại.
• Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tìm tọa độ của I .
• Giải điều kiện: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot \Delta\end{array}\right.$

Phương pháp thì là như thế đó, nhưng khi nào thì tìm tọa độ của hai điểm cực trị, khi nào thì viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, áp dụng cụ thể vào bài toán thì sẽ như thế nào. Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số bài toán dạng này để hiểu rõ hơn.

Bài 1: Cho hàm số  $y=x^3-3mx^2+4m^3$ (m là tham số) có đồ thị là ($C_m$).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=1$.

2) Xác định m để ($C_m$) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$

Hướng dẫn:

Ta có:

$y=x^3-3mx^2+4m^3\Leftrightarrow y’=3x^2-6mx$

$y’=0\Leftrightarrow 3x^2-6mx=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=0\\x=2m\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Do đó $m\neq 0$

Giả sử gọi A và B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta sẽ có: $A(0;4m^3); B(2m;0); \vec{AB}=(2m;-4m^3)$

Gọi I là trung điểm của AB thì $I(m;2m^3)$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\vec{u}=(1;1)$

Để 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d thì: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot AB\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} I\in d\\\vec{u}.\vec{AB}=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 2m^3=m\\2m-4m^3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow m^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy với $m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì $(C_m)$ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x$

Tham khảo bài giảng:

Bài 2: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx$ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=0$.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $d: x-2y-5=0$ .

Hướng dẫn:

Ta có:

$y=x^3-3x^2+mx \Leftrightarrow y’=3x^2-6x+m$

$y’=0\Leftrightarrow 3x^2-6x+m=0$

$\Delta=9-3m$

Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 9-3m>0\Leftrightarrow m0.⇔ (m +1)2 – 8m >0 ⇔ m2 – 6m + 1 > 0⇔m>3+8hoặc m < 3 -8Khi đó, giả sử xA, xB là các nghiệm của (1) thì:m +1x+x=AB2x . x = mAB2Gọi I là trung điểm của AB ta có:I:x A + xBx=I2y =− 1 x +mIIa⟺ I:m +1xI =4y = 3m −1I4Điểm I ϵ (d) ⟺3m − 1 m + 1=−144⟺ m = -1.Với m = -1 :(1) ⟺2 x2 −1 = 0⇔1x=A2x = − 1B2⟺  11 , −1 −A ÷2  2B  − 1 , −1 + 1 ÷22 x2 − 2x + 2 y = x − 2 x + 2x −1x −12Bài 2.(ĐH-ThủyLợi-99). Cho hàm số(C)Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm A, B đối xứng nhau quađường thẳng d1: y = x + 3.GiảiĐường thẳng d cắt (C) tại hia điểm A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình:x2 − 2 x + 2x −1⟺⟺⟺=−x + m(1)g ( x; m) = 2 x 2 − (3 + m) x + 2 + m = 05x − y + 3 = 0⇔(2) có hai nghiệm khác 1 ∆ = (3 + m) 2 − 8(2 + m) > 0 g (1; m) = 2 − 3 − m + 2 + m = 1 ≠ 0m 2 − 2m − 9 > 0⟹m < 1 − 10hoặcm > 1 + 10(*)Gọi I là trung điểm của AB thì:x1 + x2 3 + m xI = 2 = 4 y = − x + m = m − 3 + m = 3m − 3144•Để A, B đối xứng với nhau qua d thì I phải thuộc d:3m − 3 3 + my I = xI + 3 ⇒=+344⇔ 2m = 18 ⇔ m = 9•Với m = 9 thì (2) trở thành:© 6 − 146 − 1412 − 14ªx =→ y1 =+9=ª 1ª222⇔ 2 x 2 − 12 x + 11 = 0 ⇒ ªªª x = 6 + 14 → y = 6 + 14 + 9 = 12 + 14ª 22ª«222Vậy 6 − 14 12 − 14 A ,÷÷22và 6 + 14 12 + 14 B ,÷÷22Bài 3.(HVKTQS-2001). Cho hàm số:x 2 + (m − 2) x + m + 1y=x +1Tìm m để trên (Cm) có hai điểm A, B sao cho :5xA − yA + 3 = 0Tìm m để A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng(Cm)và5 xB − y B + 3 = 0x + 5y + 9 = 0..GiảiTừ giả thiết ta thấy tọa độ A, B thõa mãn phương trình:A, B nằm trên đường thẳng d1:B là giao điểm của d1 và Cm⟹⟹y = 5x + 35x − y + 3 = 0. Có nghĩa là. Nhưng A, B lại nằm trên Cm cho nên A, x 2 + (m − 2) x + m + 1= 5 x + 3  g ( x, m) = 4 x 2 − (m − 10) x − m + 2(1)⇔x +1 y = 5x + 3 y = 5x + 3 ∆ = m2 − 4m + 68 > 0⇔ ∀m ∈ Rg(−1;m)=4+m−10−m+2=−2≠0x1 + x2 m − 10x==I28 yI = 5 xI + 3 = 5  m − 10 ÷+ 3 = 5m − 268 8 •Gọi I là trung điểm của AB :•Nếu A, B đối xứng nhau qua d:tính chất d1 vuông góc với d rồi).x + 5y + 9 = 0, thì I phải thuộc d ( Thõa mãn⇔m − 10 5 ( 5m − 26 )34++9= 0⇒ m=8813m=Vậy với3413thì thõa mãn điều kiện bài toán.