Thứ sáu - 05/02/2016 04:58 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Hai đường thẳng cắt nhau. Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. Hình 1. Hai đường thẳng cắt nhauHai đường thẳng cắt nhau. Trong không gian cho hai đường thẳng$d_1$ đi qua điểm $M_1$ và có vector chỉ phương ${\vec u_1}.$ $d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$Khi đó $d_1$ cắt $d_2$ tương đương với các mệnh đề sau$\left( i \right)$ $d_1$ cắt $d_2$ tại duy nhất một điểm; $\left( ii \right)$ hệ phương trình lập nên từ phương trình của $d_1$ và $d_2$ có một nghiệm duy nhất; $\left( iii \right)$ $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$ đồng phẳng, tương đương tích hỗn tạp bằng 0; và ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$ không cùng phương, nghĩa là toạ độ không tỷ lệ.Ví dụ 1. Chứng minh đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = 1 - 2t \hfill \\ z = 3 - 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t'\\ y = - 1 - t'\\ z = 3t' \end{array} \right.$ cắt nhau và tìm giao điểm của chúng.Giải. Cách 1: dùng mệnh đề $\left( b \right)$: $d_1$ cắt $d_2$ khi hệ sau có nghiệm duy nhất $$\left( * \right){\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} 1 + t = 2 + 2t'\\ 1 - 2t = - 1 - t'\\ 3 - 3t = 3t' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t - 2t' = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ 2t - t' = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\\ 3t + 3t' = 3{\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array} \right.$$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $t = 1,t' = 0$, hai giá trị này thoả $\left( 3 \right)$. Suy ra $t = 1,t' = 0$ là nghiệm duy nhất của hệ $\left( * \right)$. Thay $t = 1$ vào phương trình của $d_1$ ta được $x = 2,y = - 1,z = 0 \Rightarrow M\left( {2; - 1;0} \right) = {d_1} \cap {d_2}.$ Cách 2: dùng mệnh đề $\left( c \right)$: Ta có ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ $\Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 9; - 9;3} \right).$ Chọn ${M_1}\left( {1;1;3} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {2; - 1;0} \right) \in {d_2}.$ $$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right).\\ \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 9 \cdot 1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0. \end{array}$$ Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_{{d_1}}},{\vec u_{{d_2}}}$ đồng phẳng. Mặt khác $\vec u_{{d_1}}$ không cùng phương với $\vec u_{{d_2}}$ vì toạ độ không tỷ lệ $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}.$ Vậy $d_1$ cắt $d_2$. Nhận xét. Cách 1 vẫn tỏ ra hiệu quả hơn vì ngắn gọn hơn và cho ra luôn toạ độ giao điểm.Bài tập(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Tổng số điểm của bài viết là: 20 trong 8 đánh giá
Xếp hạng: 2.5 - 8 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh
Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn
Những tin mới hơn
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng (06/02/2016)
Phương trình đường vuông góc chung (06/02/2016)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (06/02/2016)
Toạ độ của một vector theo toạ độ điểm đầu và điểm cuối (27/08/2016)
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng (06/02/2016)
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng (05/02/2016)
Hai đường thẳng chéo nhau (05/02/2016)
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian (05/02/2016)
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng (05/02/2016)
Hai đường thẳng song song (05/02/2016)
Bài viết cùng chuyên mục
Phương trình đường thẳng trong không gian (05/02/2016)
Vector chỉ phương của đường thẳng (05/02/2016)
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (05/02/2016)
Góc giữa hai mặt phẳng (04/02/2016)
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (04/02/2016)
Phương trình mặt phẳng (04/02/2016)
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (04/02/2016)
Ba điểm thẳng hàng - Bốn điểm đồng phẳng (04/02/2016)
Tích có hướng và ứng dụng (04/02/2016)
Hệ toạ độ Decart vuông góc (03/02/2016)
Chương trình
Đại số tổ hợp & Xác suất
Hình học giải tích không gian
Bất đẳng thức
Lượng giác
Tích phân
Hàm mũ & logarit
Khảo sát hàm số
Hình học không gian
Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
Phép biến hình trong mặt phẳng
Hình học giải tích phẳng
Số phức
Toán chuyên đề
Đại số
Thư viện trực tuyến
Đề thi - Đáp án đại học
Sách giáo khoa toán
Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016
Kiến thức mới
06 02.2016
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...
25 08.2016
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...
06 02.2016
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....
05 02.2016
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...
05 02.2016
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...
Thư viện trực tuyến
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
10 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 12
Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 11
Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 6
Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.
