Hàm Lồi Chính Thường – Wikipedia Tiếng Việt

Trong giải tích toán học (đặc biệt là giải tích lồi) và tối ưu hóa, hàm lồi chính thường (proper convex function) là một hàm f {\displaystyle f} lấy giá trị trong trục số thực mở rộng sao cho

f ( x ) < + ∞ {\displaystyle f(x)<+\infty }

tại ít nhất một giá trị x {\displaystyle x} và

f ( x ) > − ∞ {\displaystyle f(x)>-\infty }

với mọi x {\displaystyle x} . Điều đó có nghĩa là, một hàm lồi là chính thường nếu nó có miền hữu hiệu khác rỗng và không bao giờ đạt giá trị − ∞ {\displaystyle -\infty } .[1][2] Hàm lồi không có tính chính thường được gọi là hàm lồi phi chính thường (improper convex function).[3]

Hàm lõm chính thường là một hàm g {\displaystyle g} sao cho f = − g {\displaystyle f=-g} là hàm lồi chính thường.

Tính chất

Với mọi hàm lồi chính thường f {\displaystyle f} trên R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , thì tồn tại b {\displaystyle b} thuộc R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} và β {\displaystyle \beta } thuộc R {\displaystyle \mathbb {R} } sao cho

f ( x ) ≥ x ⋅ b − β {\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta }

với mọi x {\displaystyle x} .

Tổng của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi, nhưng có thể không phải là một hàm chính thường.[2][4] Ví dụ, với hai tập lồi khác rỗng A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} và B ⊂ X {\displaystyle B\subset X} trong không gian vectơ X {\displaystyle X} , hai hàm chỉ thị I A {\displaystyle I_{A}} và I B {\displaystyle I_{B}} đều là hàm lồi chính thường, nhưng nếu A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\emptyset } thì I A + I B {\displaystyle I_{A}+I_{B}} luôn bằng + ∞ {\displaystyle +\infty } .

Tổng chập infimal của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi nhưng chưa hẳn là một hàm chính thường.[2][5]

Tham khảo

1. ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (ấn bản thứ 3). Springer. tr. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
2. ^ a b c Đỗ Văn Lưu; Phan Huy Khải (2000). Giải tích lồi. Hà Nội: Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật. tr. 38, 47–49.
3. ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. tr. 24. ISBN 978-0-691-01586-6.
4. ^ Boyd, Stephen (2004). Convex Optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press. tr. 79. ISBN 978-0-521-83378-3.
5. ^ Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications, quyển 6, North-Holland, tr. 168, ISBN 9780080875279.

Bài viết liên quan đến giải tích toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

• x
• t
• s