Hàm Nấc đơn Vị ( Unit Step Function ). By OpenStax (Page 4/7) | Jobilize

Có thể bạn quan tâm

A 

(2.32)

Với f  0, tích phân này bị giới hạn bởi

Với f = 0 tích phân sẽ ?

* Vì tích phân định nghĩa biến đổi Fourrier và tích phân để tính biến đổi ngược thì tương tự, nên ta có thể phỏng đoán rằng biến đổi của một hằng là 1 xung lực. Đó là vì, một xung lực biến đổi thành một hằng, vậy một hằng sẽ biến đổi thành một xung lực.

Ta hãy tìm biến đổi ngược của một xung.

(f) 

= 1(2.33)

Như vậy, điều phỏng đoán của ta là đúng! Biến đổi ngược của (f) là một hằng, vậy ta có:

A  A(f)(2.34)

* Nếu ta biến đổi ngược 1 xung lực bị dời, ta khai triển cặp biến đổi sau:

Aej2fot  A ( f - f0 ) (2.35)

Ví dụ 6: Tìm biến đổi Fourrier của s(t) = cos2f0t

Giải: Dùng công thức Euler, để khai triển hàm cosin:

Cos2f0t =

ej2fot +

e - j2fot

Biến đổi Fourrier của s(t) là tổng các biến đổi của 2 hàm expo. Từ (2.34)

Cos2f0t « 1 2 d ( f − f 0 ) + 1 2 d ( f + f 0 ) size 12{« { {1} over {2} } d \( f-f rSub { size 8{0} } \) + { {1} over {2} } d \( f+f rSub { size 8{0} } \) } {}

(2.36)

-f0f01/21/2s(f)fBiến đổi này được vẽ:

Hình 2.8 Biến đổi Fourier của cos2f0t.

Hàm nấc đơn vị ( unit step function ).

Một cặp biến đổi khác mà ta sẽ nói đến, là hàm nấc đơn vị. Ở đây, một lần nữa, ta lại gắn hàm vào định nghĩa của phép biến đổi, tích phân không hội tụ. Ta lại dùng đến kỷ thuật phỏng đoán. Và do sự không liên tục của hàm nấc, kỷ thuật này trở nên có nhiều hy vọng. Phép biến đổi thì tương đối dễ tính khi ta thực hiện như sau:

u(t) =

(2.37)

Trong đó, hàm Sgn được định nghĩa bởi:

1/21/2U(t)/2-1/2ttt+=11/2sign (t)/2Sgn (t)

(2.38)

Hình 2.9 Tín hiệu của hàm dốc.

Biến đổi của

là

(t).

Biến đổi của hàm Sgn(t) có thể tính bằng cách xem nó như là một giới hạn của hàm expo.

a0Sgn(t) = lim [ e-at Sgn(t) ]

1-1te-at-eat

Hình 2.10 Hàm sgn(t).

Ta có:a0 F [ Sgn(t) ] = lim F [ e-at Sgn(t) ](3.39)

a0= lim

Biến đổi của hàm nấc đơn vị được cho bởi phương trình (2.40)

u(t)  1 j2pf + 1 2 d ( f ) size 12{ { {1} over {j2pf} } + { {1} over {2} } d \( f \) } {}

(2.40)

Phép chồng (convolution)

Phép chồng 2 hàm r(t) và s(t) được định nghĩa bởi thuật toán tích phân:

r(t) * s(t) = ∫ -¥ ¥ r ( t ) s ( t − t ) dt = ∫ -¥ ¥ s ( t ) r ( t − t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {r \( t \) s \( t-t \) dt} = Int cSub { size 8{"-¥"} } cSup { size 8{¥} } {s \( t \) r \( t-t \) dt} } {} (2.41)

Ký hiệu * thì được qui ước và đọc “ r(t) chồng với s(t) “.

Tích phân thứ hai là kết quả từ sự đổi biến số và chứng tỏ rằng phép chồng có tính giao hoán vậy:

r(t) * s(t) = s(t) * r(t).

Nhớ là phép chồng 2 hàm của t là một hàm của t.  là một biến số giả do tích phân mà ra.

Một cách tổng quát, tích phân của phương trình (2.41) thì rất khó tính.

Ví dụ 7: Tính phép chồng của r(t) với s(t). Trong đó, r(t) và s(t) là những xung vuông được vẽ như hình.

r(t)s(t)11-11-22ttHình 2.11 Dạng tín hiệu r(t) và s(t).

Giải:

Các hàm có thể viết dưới dạng:

r(t) = u ( t + 1) - u ( t - 1)

s(t) = u ( t + 2) - u ( t - 2)

Trong đó, u(t) là hàm nấc định nghĩa bởi: