Hàm Rect – Wikipedia Tiếng Việt

Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:[1]

rect ⁡ ( t ) = ⊓ ( t ) = { 0 khi  | t | > 1 2 1 2 khi  | t | = 1 2 1 khi  | t | < 1 2 . {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{khi }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{khi }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:[2]

r e c t d ⁡ ( t ) = { 1 khi  | t | ≤ 1 2 0 khi  | t | > 1 2 . {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{khi }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}

Biến đổi Fourier

[sửa | sửa mã nguồn]

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:

F { rect ⁡ ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t = sin ⁡ ( π f ) π f = s i n c ( π f ) = s i ( f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (\pi f)=\mathrm {si} (f).\end{aligned}}}

và:

F { rect ⁡ ( t ) } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t ) ⋅ e − i ω t d t = 1 2 π ⋅ s i n c ( ω 2 π ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right).}

Mối quan hệ với hàm tri

[sửa | sửa mã nguồn]

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

t r i ( t ) = r e c t ( t ) ∗ r e c t ( t ) . {\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t).\,}

Ứng dụng trong xác suất

[sửa | sửa mã nguồn]

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với a , b = − 1 2 , 1 2 {\displaystyle a,b=-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}} .

Hàm đặc trưng:

φ ( k ) = sin ⁡ ( k / 2 ) k / 2 , {\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},\,}

Hàm sinh mômen:

M ( k ) = s i n h ( k / 2 ) k / 2 , {\displaystyle M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}},\,}

với s i n h ( t ) {\displaystyle \mathrm {sinh} (t)} là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ

[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ:

⊓ ( t ) = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 {\displaystyle \sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}}

Chứng minh

[sửa | sửa mã nguồn]

• Trường hợp | t | < 1 2 {\displaystyle |t|<{\frac {1}{2}}} . Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝.

Suy ra: lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = 1 0 + 1 = 1 , | t | < 1 2 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}}

• Trường hợp | t | > 1 2 {\displaystyle |t|>{\frac {1}{2}}} . Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝.

Suy ra: lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = 1 + ∞ + 1 = 0 , | t | > 1 2 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}}

• Trường hợp | t | = 1 2 {\displaystyle |t|={\frac {1}{2}}} .

Dễ dàng ta có: lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 1 2 n + 1 = 1 1 + 1 = 1 2 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}}

Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:

∴ r e c t ( t ) = ⊓ ( t ) = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = { 0 if  | t | > 1 2 1 2 if  | t | = 1 2 1 if  | t | < 1 2 . ◼ {\displaystyle \therefore \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\blacksquare \\\end{cases}}}

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Weisstein, Eric W. (ngày 15 tháng 8 năm 2011). "Rectangle Function". Wolfram MathWorld. Wolfram. Truy cập ngày 15 tháng 8 năm 2011.
2. ^ (bằng tiếng Đức)Signalübertragung (ấn bản thứ 6.). Springer Verlag. 1995. tr. 2. ISBN 3-540-54824-6. {{Chú thích sách}}: |first= thiếu |last= (trợ giúp)