Hàm Số Bậc Hai – Chuyên đề đại Số 10 - Tài Liệu Học Tập

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).. – Căn cứ vào tính đối xứng, bề l[r]

§3: HÀM SỐ BẬC HAI

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y ax2 bx c a 0

2 Sự biến thiên

TXĐ: D

Khi a 0 hàm số đồng biến trên ;

2

b

a , nghịch biến trên ; 2

b

a và có giá trị nhỏ nhất là 4a khi 2

b x

a Khi a 0 hàm số đồng biến trên ; 2

b

a , nghịch biến trên 2 ;

b

giá trị lớn nhất là

4a khi 2

b x

a

Bảng biến thiên

x

2

b

a

2

(a 0 ) 4a

3 Đồ thị

Khi a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là ;

b I

Khi a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là ;

b I

Đồ thị nhận đường thẳng

2

b x

a làm trục đối xứng

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI

1 Phương pháp giải

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

x

2

b

a

2

(a 0 )

4a

2

b a

−

x

y

x

y

0

a 

0

a 

2

b a

−

Gọi hàm số cần tìm lày ax2 bx c a, 0 Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn , ,a b c , từ đó suy ra hàm số cần tìm

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Xác định parabol P : y ax2 bx c , a 0 biết:

a) P đi qua A(2; 3) có đỉnh I(1;2)

b) c 2 và P đi qua B 3; 4 và có trục đối xứng là 3

2

c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 3

4 khi

1 2

x và nhận giá trị bằng 1 khix 1

d) P đi qua M(4; 3) cắt Ox tại N(3; 0) và P sao cho INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P

nhỏ hơn 3

.Lời giải

a) Vì A P nên 3 4a 2b c (1)

Mặt khác P có đỉnh I(1;2) nên 1 2 0

2

b

Từ (1), (2) và (3) ta có

Vậy P cần tìm là y x2 2x 3

b) Ta có c 2 và P đi qua B 3; 4 nên 4 9a 3b 2 3a b 2 (4)

P có trục đối xứng là 3

2

3

b

1

3

Vậy P cần tìm là 1 2

2 3

c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng 3

4 khi

1 2

x nên ta có

1

0

b

2

Hàm số y ax2 bx c nhận giá trị bằng 1 khix 1 nên a b c 1(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có

Vậy P cần tìm là y x2 x 1

d) Vì P đi qua M(4; 3) nên 3 16a 4b c (8)

Mặt khác P cắt Ox tại N(3; 0) suy ra 0 9a 3b c (9), P cắt Ox tại P nên P t;0 ,t 3

Theo định lý Viét ta có 3

3

b t

a c t a

2

IBC

b I

a a lên trục hoành

Do

4

IH

a , NP 3 t nên

1

INP

a

2 2

3 3

t

Từ (8) và (9) ta có 7a b 3 b 3 7a suy ra 3 3 7 1 4

3

t

3

t

Vậy P cần tìm là y x2 4x 3

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.29: Xác định phương trình của Parabol (P): y x2 bx c trong các trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm A 1; 0 và B 2; 6

b) (P) có đỉnh I 1; 4

c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S 2; 1

Bài 2.30: Tìm Parabol y ax2 3x 2 , biết rằng Parabol đó :

a) Qua điểm A 1; 5

b) Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Có trục đối xứngx 3

d) Có đỉnh 1; 11

Bài 2.31: Xác định phương trình Parabol:

a) y ax2 bx 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng 3

2

b) y ax2 bx 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = − 2

c) y ax2 bx c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)

➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI

1 Phương pháp giải

Để vẽ đường parabol y ax2 bx c ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh ;

b I

– Xác định trục đối xứng

2

b x

a và hướng bề lõm của parabol

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y x2 3x 2 b) y x2 2 2x

Lời giải

,

b

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y x2 3x 2 có đỉnh là

;

I , đi qua các điểm A 2;0 , B 1;0 ,C 0;2 , D 3;2

x

3

2

y x x

1

y

I

-3

2

Nhận đường thẳng 3

2

trên

b

Bảng biến thiên

x 2

2 2 2

2

các điểm O 0;0 ,B 2 2;0

Nhận đường thẳng x 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Ví dụ 2: Cho hàm số y x2 6x 8

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y m và đồ thị hàm số trên c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 1;5

Lời giải

b

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y x2 3x 2 có đỉnh là

3; 1

I , đi qua các điểm A 2;0 , B 4;0

lên trên

b) Đường thẳng y m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có

Với m 1 đường thẳng y m và parabol y x2 6x 8 không cắt nhau

x 3

1

x

y

2

x

y

y=m

-1

m

2

Với m 1 đường thẳng y m và parabol y x2 6x 8 cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc)

Với m 1 đường thẳng y m và parabol y x2 6x 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x ;2 4;

d) Ta có y 1 15,y 5 13,y 3 1, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra

1;5

maxy 15 khi và chỉ khix 1

1;5

miny 1 khi và chỉ khi x 3

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.32: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y x2 3x 2 b) y 2x2 4x

Bài 2.33: Cho hàm số y x2 2x 3

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y m tại hai điểm phân biệt

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 3;1

➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau

y

Lời giải

y

+ Vẽ đường thẳng y x 2 đi qua A 2; 0 , B 0; 2 và lấy phần nằm

y

+ Parabol y x2 2x có đỉnh I 1;2 , trục đối xứng x 1, đi qua các điểm O 0;0 ,C 2;0 và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x 2

b) Vẽ parabol P của đồ thị hàm số y x2 x 2 có đỉnh

;

I , trục đối xứng 1

2

x , đi qua các điểm 1;0 , 2;0 , 0; 2 , 1; 2

Khi đó đồ thị hàm số y x2 x 2 gồm

+ Phần parabol P nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của P nằm dưới trục hoành qua trục

hoành

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số sau

Lời giải

;

I

a) Vẽ đồ thị hàm số P :y x2 3x 2 có đỉnh

, trục đối xứng 3

2

x , đi qua các điểm 1;0 , 2;0 , 0;2 , 3;2

trục tung của P và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung

hoành qua trục hoành

c) Đồ thị hàm số y x2 3 x 3 là P có được từ việc 3 tịnh tiến 1

P đi một đơn vị lên phái trên song song với trục tung

x

y

x

y

-1

2

2 -2 O 1

x

y

-1

2

2

x

y

3

d) Ta có

2

Do đó tịnh tiến P sang phải đi hai đơn vị song song với trục hoành ta được đồ thị hàm số 1

2

y x x , tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta được đồ thị

2 Bài tập luyện tập

Bài tập 2.34: Vẽ đồ thị của hàm số sau

a)

2

2

1

y

Bài 2.35: Vẽ đồ thị của hàm số sau

2 2

y

➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

1 Phương pháp giải

Dựa vào đồ thị(bảng biến thiên) của hàm số y ax2 bx c a ( 0) ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên ; tại điểm x hoặc x hoặc

2

b x

a Cụ thể:

TH 1: a 0

* Nếu

; min ( ) ( ); max ( ) max ( ), ( )

* Nếu

; min ( ) min ( ), ( ) ; max ( ) max ( ), ( ) 2

b

a

TH 2: a 0: * Nếu b ; max ( )f x f( b ); min ( )f x min f( ), ( )f

x

y

4 3 2 -1

O 1

* Nếu

; min ( ) min ( ), ( ) ; max ( ) max ( ), ( ) 2

b

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 2 m 3 x m2 3 0, m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x và 1, 2 P 5(x1 x2) 2x x giá trị lớn nhất 1 2

Lời giải

Theo định lý Viét ta có 1 2 2

1 2

3

Xét hàm số y 2x2 10x 24 với x 2;

Bảng biến thiên

2 2 2

12 Suy ra

Vậy m 2 là giá trị cần tìm.y

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 3 x4 2x2 1 33 x2 1 1

Lời giải

Đặt t 3 x2 1,t 1 t2 3 x4 2x2 1

Khi đó hàm số trở thành y t2 3t 1 với t 1

Bảng biến thiên

x

1 3

2

1

5

4

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 x4 2x2 1 33 x2 1 1 là 5

4 khi và chỉ khi

3 2

t hay

1

Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x4 4x2 1 trên 1;2

Lời giải

Đặt t x2 Với x 1;2 ta có t 0;4

Hàm số trở thành f t t2 4t 1 với t 0;4

Bảng biến thiên

t 0 2 4

1 1

1

Suy ra

4

t

t hay

0 2

x

1;2

1;2

miny minf t 1 khi t 2 hay x 2

Ví dụ 4: Cho các số thực ,a b thoả mãn ab 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Lời giải

Đặt t a b

t

Ta có P t2 2 t 1 t2 t 1

Xét hàm số f t( ) t2 t 1 với t ; 2 2;

Bảng biến thiên

t 2 1 2

2

5 1

; 2 2;

minP min f t( ) 1 khi t 2 hay 2 a b a b

Ví dụ 5: Cho các số x y, thoả mãn: x2 y2 1 xy

Chứng minh rằng 1 4 4 2 2 3

Lời giải

Đặt P x4 y4 x y 2 2

Ta có P (x2 y2 2) 3x y2 2 1 xy 2 3x y2 2 2x y2 2 2xy 1

Đặt t xy , khi đó P 2t2 2t 1

Vì

2 2

1

xy



 +  −

3 t

Xét hàm số f t( ) 2t2 2t 1 trên 1

;1 3

b

a

− = , ta có bảng biến thiên

3

1

2 1

2

3

2

1

9 1

Từ bảng biến thiên ta có

Suy ra điều phải chứng minh

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.36: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

a) y x4 2x2 trên 2;1

b) y x4 2x3 x trên [ 1;1 ]

Bài 2.37:Cho x y, là các số thực thoả mãn: 2(x2 y2) xy 1

Chứng minh rằng : 18 4 4 2 2 70

Bài 2.38: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 4x2 3y 4y2 3x 25xy