Hàm Số Bậc Hai Là Gì? Hàm Số Bậc Hai Và Các Bài Toán Liên Quan

Số lượt đọc bài viết: 9.506

Lý thuyết về hàm số bậc hai cùng các dạng bài tập là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học với học sinh THCS cũng như THPT. Để giúp bạn nắm vững những kiến thức cần thiết về chủ đề này, bài viết dưới đây của DINHNGHIA.VN sẽ cung cấp cho bạn chủ đề hàm số bậc hai một cách chi tiết nhất, cùng tìm hiểu nhé!. 

MỤC LỤC

• Lý thuyết về hàm số bậc hai
  • Định nghĩa hàm số bậc hai là gì?
  • Hàm số bậc hai đồng biến khi nào?
  • Hàm số bậc hai nghịch biến khi nào?
  • Cực trị của hàm số bậc hai là gì?
  • Cách lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai
  • Hướng dẫn cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai 
• Tìm hiểu về phương trình bậc hai một ẩn
  • Phương trình bậc hai một ẩn là gì?
  • Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
  • Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn
  • Cách giải phương trình bậc hai một ẩn với hai trường hợp 
  • Dấu của nghiệm số trong phương trình bậc hai
• Các dạng toán và phương pháp giải hàm số bậc hai
  • Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai
  • Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai
  • Dạng 3: Đồ thị cho bởi nhiều công thức và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
  • Dạng 4: Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN, GTLN
• Một số bài tập trắc nghiệm hàm số bậc hai thường gặp

Lý thuyết về hàm số bậc hai

Định nghĩa hàm số bậc hai là gì?

• Hàm số bậc hai là hàm số có công thức \(y=ax^2+bx+c\hspace{0.2cm}\left (a\ne0 \right )\) và có miền xác định \(D=\mathbb{R}\)
• Đồ thị của hàm số bậc hai chính là một parabol với đỉnh là điểm \(I\left ( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a} \right )\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\frac{b}{2a}\)
• Parabol có bề lõm quay lên trên nếu như a > 0 và quay xuống nếu như a < 0

Hàm số bậc hai đồng biến khi nào?

• Hàm số \(f\left ( x \right )\) được gọi là đồng biến trên K (K là một khoảng, một đoạn hay nửa đoạn), nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) mà \(x_1<x_2\) thì \(f\left (x_1 \right )<f\left (x_2 \right )\).
• Cho hàm số \(y=f\left (x \right )\) có đạo hàm \(f’\left ( x \right )\) trên K. Nếu \(f’\left ( x \right )\ge0, \forall x\in K, f’\left ( x \right )=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì \(f\left ( x \right )\) đồng biến

Hàm số bậc hai nghịch biến khi nào?

• Hàm số \(f\left ( x \right )\) được gọi là nghịch biến trên K, nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) mà \(x_1<x_2\) thì \(f\left (x_1 \right )>f\left (x_2 \right )\).
• Cho hàm số \(y=f\left (x \right )\) có đạo hàm \(f’\left ( x \right )\) trên K. Nếu \(f’\left ( x \right )\le0, \forall x\in K, f’\left ( x \right )=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì \(f\left ( x \right )\) nghịch biến.

Cực trị của hàm số bậc hai là gì?

• Giả sử hàm số \(y=f\left ( x \right )\) đạt cực trị tại \(x_0\). Khi đó, nếu \(y=f\left ( x \right )\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f’\left ( x_0 \right )=0\).
• Giả sử hàm số \(y=f\left ( x_0 \right )\) liên tục trên khoảng \(\left ( a;b \right )\) chứa \(x_0\) và có đạo hàm trên \(\left ( a;x_0 \right ),\left ( x_0;b \right )\). 

Khi đó: 

• Nếu \(f’\left ( x \right )<0,\forall x\in\left ( a;x_0 \right )\) và \(f’\left ( x \right )>0,\forall x\in\left ( x_0;b \right )\) thì hàm số \(y=f\left ( x \right )\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
• Nếu \(f’\left ( x \right )>0,\forall x\in\left ( a;x_0 \right )\) và \(f’\left ( x \right )<0,\forall x\in\left ( x_0;b \right )\) thì hàm số \(y=f\left ( x \right )\) đạt cực đại tại \(x_0\). 

Giả sử hàm số \(y=f\left ( x \right )\) có đạo hàm cấp một trên \(\left ( a;b \right )\) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại \(x_0\). Khi đó: 

• Nếu \(f’\left ( x_0 \right )=0;f”\left ( x_0 \right )<0\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x_0\)
• Nếu \(f’\left ( x_0 \right )=0;f”\left ( x_0 \right )>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\) 

Lưu ý: Nếu \(f”\left ( x_0 \right )=0\) thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại \(x_0\).

Cách lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính \(y’\). Tìm các điểm tại đó \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

Hướng dẫn cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai 

Để vẽ đường parabol \(y=ax^2+bx+c\hspace{0.2cm}\left ( a\ne0 \right )\), ta thực hiện các bước sau: 

• Xác định tọa độ đỉnh là điểm \(I\left ( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a} \right )\)
• Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng \(x=-\frac{b}{2a}\)
• Xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị. Chẳng hạn, điểm đối xứng với giao điểm của đồ thị với trục tung qua trục đối xứng của parabol.
• Vẽ parabol, dựa vào kết quả trên, chú ý bề lõm của đồ thị khi a > 0, a < 0.

Tìm hiểu về phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: 

\(ax^2+bx+c=0\)

Trong đó \(x\) là ẩn số; \(a,b,c\) là những số cho trước gọi là các hệ số và \(a\ne0\).

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Để giải phương trình bậc hai là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\):

Đặt \(\Delta =b^2-4ac\). Nếu: 

• \(\Delta <0\) thì phương trình vô nghiệm.
• \(\Delta =0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)
• \(\Delta >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

\(\left[\begin{matrix} x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \end{matrix}\right.\)

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn

Đối với phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c\hspace{0.2cm}\left ( a\ne0 \right )\) và \(b=2b’, \Delta’=b’^2-ac\)

• Nếu \(\Delta’>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta’}}{a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}\)
• Nếu \(\Delta’=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\frac{b’}{a}\)
• Nếu \(\Delta'<0\) thì phương trình vô nghiệm

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn với hai trường hợp 

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0\)

• Trường hợp \(c=0\), phương trình có dạng \(ax^2+bx=0\Leftrightarrow x\left ( ax+b \right )=0\)

Phương trình có hai nghiệm \(x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}\)

• Trường hợp \(b=0\), phương trình có dạng \(ax^2+c=0\Leftrightarrow x^2=-\frac{c}{a}\)

Nếu \(a,c\) cùng dấu \(-\frac{c}{a}<0\) phương trình vô nghiệm.

Nếu \(a,c\) trái dấu \(-\frac{c}{a}>0\) phương trình có hai nghiệm \(x_1=-\sqrt{\frac{c}{a}},x_2=\sqrt{\frac{c}{a}}\)

Hệ thức Viet

• Định lí Vi-et: Nếu \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c\hspace{0.2cm}\left (a\ne0 \right )\) thì: 

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.\)

• Nếu hai số bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: \(X^2-SX+P=0\) (Điều kiện để có hai số đó là: \(S^2-4P\ge0\))

Dấu của nghiệm số trong phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\hspace{0.2cm}\left ( a\ne0 \right )\hspace{1.25cm}(1)\)

(1) có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow P<0\)

(1) có hai nghiệm cùng dấu \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta\ge0\\ P>0 \end{matrix}\right.\)

(1) có hai nghiệm dương phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta>0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right.\)

(1) có hai nghiệm âm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta>0\\ P>0\\ S<0 \end{matrix}\right.\)

Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

• Nếu nhẩm được: \(x_1+x_2=m+n;\hspace{0.2cm}x_1x_2=mn\) thì phương trình có nghiệm: \(x_1=m,x_2=n\)
• Nếu \(a+b+c=0\) thì phương trình có nghiệm \(x_1=1,x_2=\frac{c}{a}\)
• Nếu \(a-b+c=0\) thì phương trình có nghiệm \(x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}\) 

Các dạng toán và phương pháp giải hàm số bậc hai

Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai

Phương pháp giải: 

Để xác định hàm số bậc hai ta thực hiện theo các bước như sau: 

• Gọi hàm số cần tìm là \(y=ax^2+bx+c\hspace{0.2cm}\left ( a\ne0 \right )\)
• Dựa theo giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ba ẩn \(a,b,c\)
• Giải hệ phương trình trên để tìm \(a,b,c\), từ đó suy ra hàm số cần tìm.

Ví dụ: Xác định parabol \(\left ( P \right ):y=ax^2+bx+c,\left ( a\ne0 \right )\) biết: 

1. \(\left ( P \right )\) đi qua \(A\left ( 2;3 \right )\) có đỉnh \(I\left ( 1;2 \right )\)
2. \(c=2\) và \(\left ( P \right )\) đi qua \(B\left ( 3;-4 \right )\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\)
3. Hàm số \(y=ax^2+bx+c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x=\frac{1}{2}\) và nhận giá trị bằng 1 khi \(x=1\)
4. \(\left ( P \right )\) đi qua \(M\left ( 4;3 \right )\) cắt \(Ox\) tại \(N\left ( 3;0 \right )\) và P sao cho \(\bigtriangleup INP\) có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3.

Cách giải: 

1. Ta có 

\(A\in\left ( P \right )\) nên \(3=4a+2b+c\) 

Parabol \(\left ( P \right )\) có đỉnh \(I\left ( 1;2 \right )\) nên \(-\frac{b}{2a}=1\Leftrightarrow2a+b=0\) 

\(I\in\left ( P \right )\) suy ra \(2=a+b+c\) 

Từ đó ta có hệ phương trình \(\begin{align} \begin{cases} \nonumber 4a+2b+c &=3 \\ 2a+b &=0 \\ a+b+c &= 2 \end{cases} \end{align}\)\(\Leftrightarrow \begin{align} \begin{cases} \nonumber a &= 1\\ b &=-2\\ c &= 3 \end{cases} \end{align}\)

Vậy parabol cần tìm \(\left ( P \right )\) cần tìm là \(y=x^2-2x+3\).

     2. Ta có \(c=2\) và \(\left ( P \right )\) đi qua \(B\left ( 3;4 \right )\) nên \(-4=9a+3b+2\Leftrightarrow 3a+b=-2\)

\(\left ( P \right )\) có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên \(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow b=3a\) 

Từ đó suy ra: \(a=-\frac{1}{3}\) và \(b=-1\).

Vậy parabol \(\left ( P \right )\) cần tìm là \(y=-\frac{1}{3}x^2-x+2\)

     3. Hàm số \(y=ax^2+bx+c\) nhận giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x=\frac{1}{2}\) nên ta có: \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=0\)

\(\frac{3}{4}=a\left ( \frac{1}{2} \right )^2+b\left ( \frac{1}{2} \right )+c\Leftrightarrow a+2b+4c=3\) và \(a>0\).

Hàm số \(y=ax^2+bx+c\) nhận giá trị bằng 1 khi \(x=1\) nên \(a+b+c=1\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\begin{align} \begin{cases} \nonumber a+b &=0\\ a+2b+4c &=3\\ a+b+c&=1 \end{cases} \end{align}\)\(\Leftrightarrow \begin{align} \begin{cases} \nonumber a&=1\\ b&=-1\\ c&=1 \end{cases} \end{align}\)

Vậy parabol \(\left ( P \right )\) cần tìm là \(y=x^2-x+1\) 

.Vì \(\left ( P \right )\) đi qua \(M\left ( 4;3 \right )\) nên \(3=16a+4b+c\hspace{1cm}\left ( 1 \right )\) 

Mặt khác \(\left ( P \right )\) cắt \(Ox\) tại \(N\left ( 3;0 \right )\) suy ra \(0=9a+3b+c\hspace{1cm}\left ( 2 \right )\)

\(\left ( P \right )\) cắt \(Ox\) tại P nên \(P\left ( t;0 \right ),t<3\).

Theo định lý Vi-ét ta có: \(\begin{align} \begin{cases} \nonumber t+3&=-\frac{b}{a}\\ 3t&=\frac{c}{a} \end{cases} \end{align}\).

Ta có \(S_{\bigtriangleup IBC}=\frac{1}{2}IH.NP\) với H là hình chiếu của \(I\left ( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a} \right )\) len trục hoành.

Do \(IH=\left | -\frac{\Delta}{4a} \right |,NP=3-t\) nên \(S_{\bigtriangleup INP}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left | -\frac{\Delta}{4a} \right |.\left ( 3-t \right )=1\)

\(\begin{align} \nonumber&\Leftrightarrow\left ( 3-t \right )\left | \left ( \frac{b}{2a} \right )^2-\frac{c}{a} \right |=\left | \frac{2}{a} \right |\\ \nonumber&\Leftrightarrow \left ( 3-t \right )\left | \frac{\left ( t+3 \right )^2}{4}-3t \right |=\left |\frac{2}{a} \right |\\ \nonumber&\Leftrightarrow\left ( 3-t \right )^3=\frac{8}{\left | a \right |}\hspace{1cm}\left ( 3 \right ) \end{align}\)

Từ (1) và (2) ta có \(7a+b=3\Leftrightarrow b=3-7a\) suy ra \(t+3=-\frac{3-7a}{a}\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{4-t}{3}\) 

Thay vào (3) ta có \(\left ( 3-t \right )^3=\frac{8\left ( 4-t \right )}{3}\Leftrightarrow 3t^3-27t^2+73t-49=0\)

\(\Rightarrow t=1\)

Suy ra \(a=1\Rightarrow b=-4 \Rightarrow c=3\)

Vậy parabol \(\left ( P \right )\) cần tìm là \(y=x^2-4x+3\).

Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

Phương pháp giải: 

• Xác định tọa độ đỉnh \(I\left ( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a} \right )\) của parabol.
• Xác định trục đối xứng \(x=-\frac{b}{2a}\) và hướng bề lõm của parabol.
• Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn như giao điểm của parabol với các hệ trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng).
• Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Ví dụ: Cho hàm số \(y=x^2-6x+8\)

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên 
2. Sử dụng đồ thị, để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên. 
3. Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương.
4. Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-1;5]

Cách giải: 

1. Ta có \(-\frac{b}{2a}=3, -\frac{\Delta}{4a}=-1\)

Bảng biến thiên: 

Suy ra đồ thị hàm số \(y=x^2-6x+8\) có đỉnh là \(I\left (3;-1 \right )\), nhận đường thẳng \(x=3\) làm trục đối xứng, hướng bề lõm lên trên và đi qua các điểm \(A\left ( 2;0 \right ),B\left ( 4;0 \right )\).

     2. Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có: 

• Với m < – 1 đường thẳng y = m và parabol \(y=x^2-6x+8\) không cắt nhau
• Với m = -1 đường thẳng y = m và parabol \(y=x^2-6x+8\) cắt nhau tại một điểm (tiếp xúc).
• Với m > -1 đường thẳng y = m và parabol \(y=x^2-6x+8\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

    3. Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành 

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi \(x\in \left ( -\infty;2 \right )\cup\left ( 4;+\infty \right )\)

    4. Ta có \(y\left ( -1 \right )=15 , y\left ( 5 \right )=13, y\left ( 3 \right )=-1\), kết hợp với đồ thị hàm số suy ra: 

\(\max_{\left [ -1;5 \right ]}y=15\) khi và chỉ khi x = -1

\(\max_{\left [ -1;5 \right ]}y=-1\) khi và chỉ khi x = 3.

Dạng 3: Đồ thị cho bởi nhiều công thức và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số sau: 

1. \(y=x^2-3\left | x \right |+2\)
2. \(y=\left |x^2-3\left | x \right |+2 \right |\)
3. \(y=\left | x^2-4x-3\left | x-2 \right |+6 \right |-1\)

Cách giải: 

1. Vẽ đồ thị hàm số \(\left ( P \right ):y=x^2-3x+2\) có đỉnh \(I\left ( \frac{3}{2};-\frac{1}{4} \right )\), trục đối xứng \(x=\frac{3}{2}\), đi qua các điểm \(A\left ( 1;0 \right ),B\left ( 2;0 \right ),C\left ( 0;2 \right ),D\left ( 3;2 \right )\) và có phần bề lõm hướng lên trên.

Khi đó đồ thị hàm số \(y=x^2-3\left | x \right |+2\) là \(\left ( P_1 \right )\) gồm phần bên phải trục tung của \(\left ( P \right )\) và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.

    2. Đồ thị hàm số \(y=\left |x^2-3\left | x \right |+2 \right |\) là \(\left ( P_2 \right )\) gồm phần phía trên trục hoành của \(\left ( P_1 \right )\) và phần đối xứng của \(\left ( P_1 \right )\) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

    3. Ta có: \(y=\left | x^2-4x-3\left | x-2 \right |+6 \right |-1=\left | \left ( x-2 \right )^2-3\left | x-2 \right |+2 \right |-1\)

Do đó tịnh tiến \(\left ( P_2 \right )\) sang phải đi hai đơn vị song song với trục hoành ta được đồ thị hàm số \(y=\left | \left ( x-2 \right )^2-3\left | x-2 \right |+2 \right |\), tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta được đồ thị hàm số \(y=\left | \left ( x-2 \right )^2-3\left | x-2 \right |+2 \right |-1\).

Dạng 4: Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN, GTLN

Phương pháp giải: 

Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của hàm số \(y=ax^2+bx+c\left ( a\ne0 \right )\) ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên \(\left [ \alpha;\beta \right ]\) tại điểm \(x=\alpha\) hoặc \(x=\beta\) hoặc \(x=-\frac{b}{2a}\), cụ thể như sau: 

Trường hợp 1: \(a>0\)

• Nếu \(-\frac{b}{2a}\notin\left [ \alpha;\beta \right ]\Rightarrow\min_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=f\left ( -\frac{b}{2a} \right ),\max_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=\max\left \{ f\left ( \alpha \right ),f\left ( \beta \right ) \right \}\)
• Nếu \(-\frac{b}{2a}\notin\left [ \alpha;\beta \right ]\Rightarrow\min_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=\min\left \{ f\left ( \alpha \right ),f\left ( \beta \right ) \right \},\max_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=\max\left \{ f\left ( \alpha \right ),f\left ( \beta \right ) \right \}\)

Trường hợp 2: \(a<0\)

• Nếu \(-\frac{b}{2a}\in\left [ \alpha;\beta \right ]\Rightarrow\max_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=f\left ( -\frac{b}{2a} \right ),\min_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=\min\left \{ f\left ( \alpha \right ),f\left ( \beta \right ) \right \}\)
• Nếu \(-\frac{b}{2a}\notin\left [ \alpha;\beta \right ]\Rightarrow\min_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=\min\left \{ f\left ( \alpha \right ),f\left ( \beta \right ) \right \},\max_{\left [ \alpha;\beta \right ]}f\left ( x \right )=\max\left \{ f\left ( \alpha \right ),f\left ( \beta \right ) \right \}\)

Ví dụ: Cho các số \(x,y\) thỏa mãn \(x^2+y^2=1+xy\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{9}\le x^4+y^4-x^2y^2\le\frac{3}{2}\).

Đặt \(P=x^4+y^4-x^2y^2\)

Ta có \(P=\left (x^2+y^2 \right )^2-3x^2y^2=\left ( 1+xy \right )^2-3x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1\)

Đặt \(t=xy\), khi đó \(P=-2t^2+2t+1\)

Vì \(\begin{align} \begin{cases} \nonumber x^2+y^2&\ge2xy\\ x^2+y^2&\ge-2xy \end{cases} \end{align}\)

nên \(\begin{align} \begin{cases} \nonumber 1+xy&\ge2xy\\ 1+xy&\ge-2xy \end{cases} \end{align}\Leftrightarrow-\frac{1}{3}\le xy\le1\)

Do đó \(-\frac{1}{3}\le t\le1\)

Xét hàm số \(f\left ( t \right )=-2t^2+2t+1\) trên \(\left [ -\frac{1}{3};1 \right ]\)

Ta có \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\), ta có bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên ta có \(\min_{\left [ -\frac{1}{3};12 \right ]}f\left ( t \right )=\frac{1}{9}\le P\le\max_{\left [ -\frac{1}{3};1 \right ]}f\left ( t \right )=\frac{3}{2}\)

Một số bài tập trắc nghiệm hàm số bậc hai thường gặp

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về chủ đề hàm số bậc hai cùng những nội dung liên quan. Mong rằng bạn đã tìm thấy những kiến thức cần thiết cho bản thân qua chủ đề hàm số bậc hai, chúc bạn luôn học tốt!. 

Xem thêm:

• Chuyên đề cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
• Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
• Chuyên đề cách nhận dạng đồ thị hàm số và Bài tập trắc nghiệm
• Chuyên đề Sự tương giao của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập
• Cách tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang của hàm số nhanh nhất!
• Bài toán cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập
• Chuyên đề Các dạng đồ thị hàm số cơ bản và nâng cao [TỔNG HỢP]
• Đồ thị của hàm số y=ax+b và tổng hợp các dạng đồ thị hàm số liên quan

Rate this post Please follow and like us: