Hàm Số – Hàm Lượng Giác Ngược – Hàm Hyperbol | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

II. hàm lượng giác ngược:

1. Hàm số y = arcsinx.

Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và $x \in \left[- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right] ; y \in [-1;1]$

arcsinx Do đó hàm ngược của y = sinx là $y = arcsinx$ (y là cung mà sin bằng x)

Vậy: $y = arcsinx \Leftrightarrow x = siny$

– Miền xác định: D: $x \in [-1; 1]$

– Miền giá trị: $T = \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$

– Hàm đồng biến trên [-1;1]

Tính chất:

– $arcsin(sinx) = x, - \dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$

– $sin(arcsinx) = x, -1 \le x \le 1$

– $arcsin(-x) = -arcsinx$

Ví dụ:

Vd1. $A = sin \left( \dfrac{\pi}{12} + arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)$

Ta có: $arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ (vì: $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $- \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$ )

Do đó: $A = sin\left( \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4}\right) = sin\left(\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vd2. $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right)$

Ta không thể kết luận $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = \dfrac{2{\pi}}{3}$

Do $\dfrac{2{\pi}}{3} \notin \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$

Tuy vậy: $sin{\dfrac{2{\pi}}{3}} = sin\left(\pi - \dfrac{2{\pi}}{3} \right) = sin\dfrac{\pi}{3}$

Nên: $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = arcsin\left(sin\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{{\pi}}{3}$

2. Hàm số y = arccosx.

Xét hàm số y = cosx trên đoạn $0 \le x \le \pi$ thì hàm số y = cosx là hàm giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

Vậy $y = cosx, (0 \le x \le \pi ; -1 \le y \le 1) \Leftrightarrow x = arccosy$

arccosx Do đó hàm ngược của y = cosx là $y = arccosx$ (y là cung mà cosin bằng x)

Vậy: $y = arccosx \Leftrightarrow x = cosy$

– Miền xác định: D: $x \in [-1; 1]$

– Miền giá trị: $T = [0; \pi]$

– Hàm nghịch biến trên [-1;1]

Tính chất:

– $arccos(cosx) = x, 0 \le x \le \pi$

– $cos(arccosx) = x, -1 \le x \le 1$

– $arccos(-x) = \pi - arccosx$

Ví dụ:

Vd1. $B = arccos\left(cos\dfrac{4{\pi}}{3}\right)$

Ta có: $cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3} \right) = -cos\dfrac{\pi}{3}$

Nên: $B = arccos\left(-cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \pi - arccos\left(cos\dfrac{\pi}{3} \right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

Vd2. $sin(arccos0.4)$

Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , $0 \le y \le \pi$ .

Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

Khi đó: $sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y}$ (do $0 \le y \le \pi$ nên $siny \ge 0$ )

Vậy: $sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} = \sqrt{1-0.4^2} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$

3. Hàm số y = arctanx

Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định $-\infty < x < \infty$ và miền giá trị $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$