Hàm Số – Hàm Lượng Giác Ngược – Hàm Hyperbol

Có thể bạn quan tâm

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-106

I. Các khái niệm cơ bản:

1. Định nghĩa hàm số 1 biến:

Cho $D \subset R$ Hàm số f từ tập hợp D vào R là một ánh xạ (quy tắc) tương ứng với mỗi giá trị $x \in D$ với duy nhất 1 giá trị $y \in R$ . Ký hiệu

$\begin{array}{ccc} f: D \subset R & \to & R \\ x & \mapsto & y = f(x) \\ \end{array}$

– D được gọi là miền xác định của hàm số. Tập hợp tất cả cá giá trị y ( thỏa y = f(x) ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Ký hiệu: $T = \{y \in R: y = f(x), \forall x \in D \}$

2. Đơn ánh:

– Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x $\in$ X sao cho y = f(x) thì f được gọi là đơn ánh (ánh xạ 1-1).

Nghĩa là: $f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2$ ( $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Cho hàm số $y = f(x) , x \in D$

1. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tăng nghiêm ngặt (đồng biến) trên D khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

2. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số giảm nghiêm ngặt (nghịch biến) trên D khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên X được gọi là hàm đơn điệu trên X.

4. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không giảm trên X khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$

5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không tăng (nghịch biến) trên X khi và chỉ khi:

$\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

– Tập X đối xứng qua 0: D được gọi là tập đối xứng qua 0 nếu: $\forall x \in D \Rightarrow -x \in X$

Ví dụ: $X = (-1;1) \ \{0\}$ là tập đối xứng qua 0.

Thật vậy: $\forall x \in X \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < x < 1 \\ x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < -x < 1 \\ -x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow -x \in X$

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D nếu: D đối xứng qua 0 và $f(-x) = f(x), \forall x \in D$

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D nếu: X đối xứng qua 0 và $f(-x) = - f(x), \forall x \in D$

– Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

5. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D nếu tồn tại số T khác 0 sao cho: $f(x+T) = f(x) , \forall x \in D$ (*)

Số dương bé nhất trong số các giá trị T thỏa mãn (*) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.

Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ

6. Hàm số bị chặn:

– Hàm số y = f(x) bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại $a \in R$ sao cho

$f(x) \ge a, \forall x \in D$

– Hàm số y = f(x) bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại $b \in R$ sao cho

$f(x) \le b, \forall x \in D$

– Hàm số y = f(x) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại $M \in R$ sao cho

$|f(x) | \le M, \forall x \in D$

7. Hàm số hợp:

Cho ánh xạ $\begin{array}{rl} f: X & \to Y \\ x & \mapsto y = f(x) \\ \end{array}$ và $\begin{array}{rl} g: Y & \to Z \\ y & \mapsto z =g(y) \\ \end{array}$

Khi đó, nếu miền giá trị $T_f$ của f thuộc miền xác định $D_g$ của g thì hàm số g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g và f. Ký hiệu: $g_of(x) = g(f(x))$

Ví dụ: $f(x) = sinx ; g(x) = \sqrt{x}$

Khi đó: $g_of(x) = g(f(x)) = g(sinx) = \sqrt{sinx}$

$f_og(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = sin(\sqrt{x})$

Nhận xét: $f_og \ne g_of$

8. Hàm số ngược:

a. Ảnh ngược: Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f. Khi đó, ta ký hiệu: $g = f^{-1}$

– Để ảnh ngược $x = f^{-1}(y)$ là một hàm số thì ứng với mỗi giá trị y chỉ tương ứng với 1 giá trị x.

– Khi đó, xét hàm số $y = f^{-1}(x)$ thì hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm $y = f(x)$

Ví dụ: Ta có: $y = e^x \Rightarrow x = lny$ . Khi đó, hàm số $y = lnx$ là hàm ngược của hàm số $y = e^x$

– Ta có: $y = 2x^3 + 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{y-4}{2}}$ . Khi đó, hàm số $y = \sqrt[3]{\dfrac{x-4}{2}}$ là hàm ngược của hàm số $y = 2x^3 + 4$

b. Định nghĩa hàm số ngược: Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là $f^{-1}$ nếu:

$f(g(x)) = x$ với mọi x thuộc miền xác định của g

$g(f(x)) = x$ với mọi x thuộc miền xác định của f

Lưu ý: $f^{-1}(x) \ne \dfrac{1}{f(x)}$

– Rõ ràng, $y = lnx$ là hàm ngược của $y = e^x$ vì: $e^{lnx} = x ; ln(e^x) = xlne = x$

c.Tính chất:

– Hàm số g là hàm ngược của f khi và chi khi f là hàm ngược của g.

– Hàm ngược là một đơn ánh.

– Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm số ngược.

– Hàm ngược của hàm số (nếu có) là duy nhất.

Ví dụ: Hàm $y = x^2$ không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có ảnh ngược $x = \pm \sqrt{y}$ không duy nhất nên không có hàm số ngược. Tuy nhiên, hàm số $y = x^2 , x \ge 0$ là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là $x = \sqrt{y}$ nên hàm số $y = x^2, x \ge 0$ có hàm ngược $y = \sqrt{x}$

d.Đồ thị hàm số ngược: Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Nói cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm ngược $y = f^{-1}(x)$

Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì f(a) = b. Khi đó: $f^{-1}(b) = f^{-1}(f(a)) = a$ . Vậy $a = f^{-1}(b)$ Hay điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm số $y = f^{-1}(x)$

II. hàm lượng giác ngược:

1. Hàm số y = arcsinx.

Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và $x \in \left[- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right] ; y \in [-1;1]$

arcsinx Do đó hàm ngược của y = sinx là $y = arcsinx$ (y là cung mà sin bằng x)

Vậy: $y = arcsinx \Leftrightarrow x = siny$

– Miền xác định: D: $x \in [-1; 1]$

– Miền giá trị: $T = \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$

– Hàm đồng biến trên [-1;1]

Tính chất:

– $arcsin(sinx) = x, - \dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$

– $sin(arcsinx) = x, -1 \le x \le 1$

– $arcsin(-x) = -arcsinx$

Ví dụ:

Vd1. $A = sin \left( \dfrac{\pi}{12} + arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)$

Ta có: $arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ (vì: $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $- \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$ )

Do đó: $A = sin\left( \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4}\right) = sin\left(\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vd2. $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right)$

Ta không thể kết luận $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = \dfrac{2{\pi}}{3}$

Do $\dfrac{2{\pi}}{3} \notin \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$

Tuy vậy: $sin{\dfrac{2{\pi}}{3}} = sin\left(\pi - \dfrac{2{\pi}}{3} \right) = sin\dfrac{\pi}{3}$

Nên: $arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = arcsin\left(sin\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{{\pi}}{3}$

2. Hàm số y = arccosx.

Xét hàm số y = cosx trên đoạn $0 \le x \le \pi$ thì hàm số y = cosx là hàm giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

Vậy $y = cosx, (0 \le x \le \pi ; -1 \le y \le 1) \Leftrightarrow x = arccosy$

arccosx Do đó hàm ngược của y = cosx là $y = arccosx$ (y là cung mà cosin bằng x)

Vậy: $y = arccosx \Leftrightarrow x = cosy$

– Miền xác định: D: $x \in [-1; 1]$

– Miền giá trị: $T = [0; \pi]$

– Hàm nghịch biến trên [-1;1]

Tính chất:

– $arccos(cosx) = x, 0 \le x \le \pi$

– $cos(arccosx) = x, -1 \le x \le 1$

– $arccos(-x) = \pi - arccosx$

Ví dụ:

Vd1. $B = arccos\left(cos\dfrac{4{\pi}}{3}\right)$

Ta có: $cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3} \right) = -cos\dfrac{\pi}{3}$

Nên: $B = arccos\left(-cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \pi - arccos\left(cos\dfrac{\pi}{3} \right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

Vd2. $sin(arccos0.4)$

Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , $0 \le y \le \pi$ .

Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

Khi đó: $sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y}$ (do $0 \le y \le \pi$ nên $siny \ge 0$ )

Vậy: $sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} = \sqrt{1-0.4^2} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$

3. Hàm số y = arctanx

Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định $-\infty < x < \infty$ và miền giá trị $-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}$