Hàm Số – Hàm Lượng Giác Ngược – Hàm Hyperbol

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-106

I. Các khái niệm cơ bản:

1. Định nghĩa hàm số 1 biến:

Cho D \subset R Hàm số f từ tập hợp D vào  R là một ánh xạ (quy tắc) tương ứng với mỗi giá trị x \in D với duy nhất 1 giá trị y \in R . Ký hiệu

\begin{array}{ccc} f: D \subset R & \to & R \\ x & \mapsto & y = f(x) \\ \end{array}

– D được gọi là miền xác định của hàm số. Tập hợp tất cả cá giá trị y ( thỏa y = f(x) ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Ký hiệu: T = \{y \in R: y = f(x), \forall x \in D \}

2. Đơn ánh:

– Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x \in X sao cho y = f(x) thì f được gọi là đơn ánh (ánh xạ 1-1).

Nghĩa là: f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2 (x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

Cho hàm số y = f(x) , x \in D

1. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tăng nghiêm ngặt (đồng biến) trên D khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

2. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số giảm nghiêm ngặt (nghịch biến) trên D khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên X được gọi là hàm đơn điệu trên X.

4. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không giảm trên X khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)

5. Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số không tăng (nghịch biến) trên X khi và chỉ khi:

\forall x_1 , x_2 \in D: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

– Tập X đối xứng qua 0: D được gọi là tập đối xứng qua 0 nếu: \forall x \in D \Rightarrow -x \in X

Ví dụ: X = (-1;1) \ \{0\} là tập đối xứng qua 0.

Thật vậy: \forall x \in X \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < x < 1 \\ x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} -1 < -x < 1 \\ -x \ne 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow -x \in X

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn trên D nếu: D đối xứng qua 0 và f(-x) = f(x), \forall x \in D

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ trên D nếu: X đối xứng qua 0 và f(-x) = - f(x), \forall x \in D

– Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung; đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

5. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D nếu tồn tại số T khác 0 sao cho: f(x+T) = f(x) , \forall x \in D (*)

Số dương bé nhất trong số các giá trị T thỏa mãn (*) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.

Ví dụ: y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π. Hàm số y = c = const (hằng số) là 1 hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ

6. Hàm số bị chặn:

– Hàm số y = f(x) bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại a \in R sao cho

f(x) \ge a, \forall x \in D

Hàm số y = f(x) bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại b \in R sao cho

f(x) \le b, \forall x \in D

Hàm số y = f(x) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M \in R sao cho

|f(x) | \le M, \forall x \in D

7. Hàm số hợp:

Cho ánh xạ \begin{array}{rl} f: X & \to Y \\ x & \mapsto y = f(x) \\ \end{array} \begin{array}{rl} g: Y & \to Z \\ y & \mapsto z =g(y) \\ \end{array}

Khi đó, nếu miền giá trị T_f của f thuộc miền xác định D_g của g thì hàm số g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g và f. Ký hiệu: g_of(x) = g(f(x))

Ví dụ: f(x) = sinx ; g(x) = \sqrt{x}

Khi đó: g_of(x) = g(f(x)) = g(sinx) = \sqrt{sinx}

f_og(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = sin(\sqrt{x})

Nhận xét: f_og \ne g_of

8. Hàm số ngược:

a. Ảnh ngược: Từ hàm số y = f(x) với y là hàm theo biến số x, ta biểu diễn x theo y, giả sử x = g(y) thì ánh xạ g được gọi là ảnh ngược của y cho bởi ánh xạ f. Khi đó, ta ký hiệu: g = f^{-1}

– Để ảnh ngược x = f^{-1}(y) là một hàm số thì ứng với mỗi giá trị y chỉ tương ứng với 1 giá trị x.

– Khi đó, xét hàm số y = f^{-1}(x) thì hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm y = f(x)

Ví dụ: Ta có: y = e^x \Rightarrow x = lny . Khi đó, hàm số y = lnx  là hàm ngược của hàm số y = e^x

– Ta có: y = 2x^3 + 4 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{y-4}{2}} . Khi đó, hàm số y = \sqrt[3]{\dfrac{x-4}{2}} là hàm ngược của hàm số y = 2x^3 + 4

b. Định nghĩa hàm số ngược: Hàm số g gọi là hàm ngược của hàm số f và kí hiệu là f^{-1} nếu:

f(g(x)) = x với mọi x thuộc miền xác định của g

g(f(x)) = x với mọi x thuộc miền xác định của f

Lưu ý: f^{-1}(x) \ne \dfrac{1}{f(x)}

– Rõ ràng, y = lnx là hàm ngược của y = e^x vì: e^{lnx} = x ; ln(e^x) = xlne = x

c.Tính chất:

– Hàm số g là hàm ngược của f khi và chi khi f là hàm ngược của g.

– Hàm ngược là một đơn ánh.

– Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm số ngược.

– Hàm ngược của hàm số (nếu có) là duy nhất.

Ví dụ: Hàm y = x^2 không là hàm đơn điệu trên toàn bộ miền xác định, vì có ảnh ngược x = \pm \sqrt{y} không duy nhất nên không có hàm số ngược. Tuy nhiên, hàm số y = x^2 , x \ge 0 là 1 đơn ánh và có ảnh ngược là x = \sqrt{y} nên hàm số y = x^2, x \ge 0 có hàm ngược y = \sqrt{x}

d.Đồ thị hàm số ngược: Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Nói cách khác: Điểm (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm ngược y = f^{-1}(x)

Thật vậy, nếu (a;b) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì f(a) = b. Khi đó: f^{-1}(b) = f^{-1}(f(a)) = a . Vậy a = f^{-1}(b) Hay điểm (b;a) thuộc đồ thị hàm số y = f^{-1}(x)

II. hàm lượng giác ngược:

1. Hàm số y = arcsinx.

Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và x \in \left[- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right] ; y \in [-1;1]

arcsinxDo đó hàm ngược của y = sinx là y = arcsinx (y là cung mà sin bằng x)

Vậy: y = arcsinx \Leftrightarrow x = siny

– Miền xác định: D: x \in [-1; 1]

– Miền giá trị: T = \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]

– Hàm đồng biến trên [-1;1]

Tính chất:

arcsin(sinx) = x, - \dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}

sin(arcsinx) = x, -1 \le x \le 1

arcsin(-x) = -arcsinx

Ví dụ:

Vd1. A = sin \left( \dfrac{\pi}{12} + arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)

Ta có: arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4} (vì: sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} )

Do đó: A = sin\left( \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4}\right) = sin\left(\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Vd2. arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right)

Ta không thể kết luận arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = \dfrac{2{\pi}}{3}

Do \dfrac{2{\pi}}{3} \notin \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]

Tuy vậy: sin{\dfrac{2{\pi}}{3}} = sin\left(\pi - \dfrac{2{\pi}}{3} \right) = sin\dfrac{\pi}{3}

Nên: arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = arcsin\left(sin\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{{\pi}}{3}

2. Hàm số y = arccosx.

Xét hàm số y = cosx trên đoạn 0 \le x \le \pi thì hàm số y = cosx là hàm  giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

Vậy y = cosx, (0 \le x \le \pi ; -1 \le y \le 1) \Leftrightarrow x = arccosy

arccosxDo đó hàm ngược của y = cosx là y = arccosx (y là cung mà cosin bằng x)

Vậy: y = arccosx \Leftrightarrow x = cosy

– Miền xác định: D: x \in [-1; 1]

– Miền giá trị: T = [0; \pi]

– Hàm nghịch biến trên [-1;1]

Tính chất:

arccos(cosx) = x, 0 \le x \le \pi

cos(arccosx) = x, -1 \le x \le 1

arccos(-x) = \pi - arccosx

Ví dụ:

Vd1. B = arccos\left(cos\dfrac{4{\pi}}{3}\right)

Ta có: cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3} \right) = -cos\dfrac{\pi}{3}

Nên: B = arccos\left(-cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \pi - arccos\left(cos\dfrac{\pi}{3} \right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}

Vd2. sin(arccos0.4)

Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , 0 \le y \le \pi .

Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

Khi đó: sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} (do 0 \le y \le \pi nên siny \ge 0 )

Vậy: sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} = \sqrt{1-0.4^2} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}

3. Hàm số y = arctanx

Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định -\infty < x < \infty và miền giá trị -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}

y = arctanx \Leftrightarrow x = tany, -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}

arctan(tanx) = x, -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}

tan(arctanx) = x, -\infty < x < \infty

4. Hàm số y = arccotgx

Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm y = cotgx. Hàm ngược y = arccotgx có miền xác định -\infty < x < \infty và miền giá trị 0 < y < \pi

y = arccotgx \Leftrightarrow x = cotgy, 0 < y < \pi

arccotg(cotgx) = x, 0 < x < \pi

cotg(arccotgx) = x, -\infty < x < \infty

5. Một số tính chất của hàm lượng giác ngược:

arccosx + arcsinx = \dfrac{\pi}{2}

arctanx + arccotgx = \dfrac{\pi}{2}

arctanx = arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right), -\infty < x <\infty

arcsinx = arctan\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right), -1 \le x \le 1

arctanx + arctany = arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right), (xy < 1)

6. Bài tập áp dụng:

1. \sin\left(\dfrac{\pi}{12} + arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)

2. tan\left(arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)

3. arcsin\left(\dfrac{1}{2arccos0.5}\right)

4.tan\left(\dfrac{1}{2}arcsin\left(\dfrac{5}{13}\right)\right)

5. tan\left(arcsin\dfrac{1}{3}+arcsin\dfrac{1}{4}\right)

6. cos\left(2arctan\dfrac{1}{4} + arccos\dfrac{3}{5}\right)

7. sin\left(arctan\dfrac{x}{2}\right)

8. cos\left(2arccotg\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Thảo luận

37 bình luận về “Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol

  1. thầy ơi cho e hỏi hàm ngược của y=cosx tanx cotx là gì ạ?

    ThíchThích

    Posted by Kiên Koy | 11/10/2016, 09:56 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Từ khóa » Bài Tập Hàm Lượng Giác Ngược