Hàm Số Siêu Giải Tích Trên Mặt Phẳng Phức - 123doc

Nhiều tính chất thú vị của hàm chỉnh hình đã được nghiêncứu trong Giáo trình hàm số một biến phức.. Trong những năm 50-60 của thế kỷ 20, khái niệm hàm chỉnh hìnhmột biến phức đã được mở

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

****************

BÙI THỊ THÙY

HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH

TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS Hà Tiến Ngoạn

Hà Nội, 2013

Trang 2

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Bùi Thị Thùy

Trang 3

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn,luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Hàm số siêugiải tích trên mặt phẳng phức” được hoàn thành bởi nhận thức củabản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Bùi Thị Thùy

Trang 4

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH 5

1.1 Hàm chỉnh hình 5

1.1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 5

1.1.2 Các tính chất của hàm chỉnh hình 6

1.2 Hàm siêu phức 7

1.2.1 Số siêu phức 7

1.2.2 Hàm số siêu phức 9

1.2.3 Toán tử D 9

1.3 Hàm siêu giải tích 10

1.3.1 Khái niệm hàm số siêu giải tích 10

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm sinh của hàm siêu giải tích 11

1.3.3 Công thức tích phân Cauchy đối với hàm siêu giải tích 14

Chương 2 HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH SUY RỘNG 18

2.1 Toán tử Pompieu siêu phức 18

2.1.1 Các định nghĩa và định lý 18

2.1.2 Toán tử Pompieu siêu phức 21

2.1.3 Các tính chất cơ bản của toán tử Pompieu siêu phức 24

2.2 Hàm số siêu giải tích suy rộng Định lý Liouville 28

2.2.1 Hàm số siêu giải tích suy rộng 28

2.2.2 Không gian L p,ν (C) 29

2.2.3 Định lý Liouville 38

Trang 5

2.3 Công thức tích phân Cauchy đối với hàm số siêu giải tích suy

rộng 40

2.3.1 Công thức tích phân Cauchy 40

2.3.2 Các kết quả về tính trơn của nghiệm 46

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 53

Trang 6

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết hàm số chỉnh hình một biến phức đã được hình thành và pháttriển từ lâu Nhiều tính chất thú vị của hàm chỉnh hình đã được nghiêncứu trong Giáo trình hàm số một biến phức

Trong những năm 50-60 của thế kỷ 20, khái niệm hàm chỉnh hìnhmột biến phức đã được mở rộng và khái quát thành hàm vectơ siêu giảitích và sau nữa là hàm vectơ siêu giải tích suy rộng Nhiều tính chất củahàm số loại này tương tự của các hàm chỉnh hình đã được chứng minh

Vì vậy chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sĩ của mình là “Hàm sốsiêu giải tích trên mặt phẳng phức.”

Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 1 của tài liệu[2]

Bố cục của luận văn gồm 2 chương :

Chương 1 trình bày các khái niệm, tính chất của các hàm chỉnh hình,hàm siêu phức và hàm siêu giải tích Công thức tích phân Cauchy đốivới hàm siêu giải tích

Chương 2 trình bày về toán tử Pompieu, khái niệm hàm siêu giải tíchsuy rộng, định lý Liouville và công thức tích phân Cauchy đối với hàmsiêu giải tích suy rộng và các định lý về sự tồn tại và tính trơn của hàmsiêu giải tích suy rộng

Trang 7

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả lý thuyết hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức, các tính chất

cơ bản của các hàm số này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tổng quan lý thuyết hàm chỉnh hình một biến phức;

• Đưa ra khái niệm hàm siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng;

• Phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của các hàm số trên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hàm số siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng của một biến số phức,công thức tích phân Cauchy đối với các hàm số loại này

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết : thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp đểđược một nghiên cứu tổng quan về hàm số chỉnh hình một biến phức và

lý thuyết hàm siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Tổng quan về lý thuyết hàm siêu giải tích và siêu giải tích suy rộng

Trang 8

Chương 1 HÀM SỐ SIÊU GIẢI TÍCH

Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω thì ta nói f chỉnh hình trên Ω.Nếu ta đặt z = x + iy, thì z = x − iy là liên hợp của số phức z.Hàm số f (z) là chỉnh hình khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình

∂y) là toán tử Cauchy-Riemann.

Nếu ta đặt f = u + iv, trong đó u và v lần lượt là phần thực vàphần ảo của f, thì phương trình (1.1) tương đương với hệ phương trình

Trang 9

Cauchy-Riemann sau đây

là miền tùy ý trong C còn f là ánh xạ từ Ω vào C bởi phép nghịch đảo.Như vậy khi z0 hữu hạn còn f (z0) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu1

f chỉnh hình tại z0, còn khi z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu f (

1

z)chỉnh hình tại 0

1.1.2 Các tính chất của hàm chỉnh hình

Định lý 1.1 Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnhhình trên Ω Khi đó

(i) H(Ω) là một không gian véctơ trên C;

(ii) H(Ω) là một vành;

(iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) 6= 0, ∀z ∈ H(Ω) thì 1

f ∈ H(Ω);

(iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi

Chứng minh Ta chỉ chứng minh (iv), vì f chỉ nhận giá trị thực nên

Trang 10

Định lý 1.2 (về hàm hợp) Nếu f : Ω −→ Ω∗ và g : Ω∗ −→ C là cáchàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω∗ tương ứng là các miền trong mặt phẳng(z) và (ω), thì hàm g ◦ f : Ω −→ C cũng chỉnh hình.

Định lý 1.3 Giả sử chuỗi lũy thừa

Trang 11

số siêu phức là một đại số là giao hoán Dễ thấy

|ab| ≤ |a||b| và |a + b| ≤ |a| + |b|

Nếu a0 6= 0, khi đó số siêu phức a có nghịch đảo

Trang 12

trong đó A là phần lũy linh của a.

Trang 13

Khi q = 0 thì toán tử D chính là toán tử Cauchy-Riemann Do đó toán

tử D được gọi là toán tử Cauchy-Riemann suy rộng

Từ tính lũy linh của e và từ (1.4), (1.6) ta suy ra công thức sau

1.3.1 Khái niệm hàm số siêu giải tích

Định nghĩa 1.3 Hàm siêu phức w ∈ C1(Ω) là nghiệm của phương trình

được gọi là một hàm số siêu giải tích trong miền Ω

Khái niệm hàm siêu giải tích là sự mở rộng khái niệm hàm chỉnh hình.Hai tính chất sau của hàm siêu giải tích có thể dễ dàng kiểm tra : giả

sử u và v là các hàm siêu giải tích Khi đó

(i) D(uv) = uDv + vDu và do đó hàm uv cũng là siêu giải tích;(ii) Nếu u =

Trang 14

và do đó wpz = 0 vì wm ≡ 0 với m ≤ p − 1 Vì vậy wp là giải tích trong

Ω và do đó các không điểm của nó bị cô lập (chú ý rằng cực điểm cũng

bị cô lập)

Bây giờ chúng ta giới thiệu khái niệm nghiệm sinh

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm sinh của hàm siêu giải tích

Cho Bk(Ω) là không gian các hàm siêu phức liên tục và bị chặn cùng vớicác đạo hàm tới cấp k trong Ω

Cho Bk,α(Ω) là không gian các hàm siêu phức thuộc Bk(Ω) và có đạohàm cấp k của nó liên tục H¨older với chỉ số α trong Ω

Trang 15

trong đó ζ = ξ + iη Hai tính chất sau của JΩf là rất cần thiết :

(i) Nếu f ∈ Bn,α(Ω) với 0 < α < 1, n ≥ 0, và f ∈ Lp(Ω) với

1t(ζ) − t(z)

|ζ − z|, ζ 6= z. (1.9)

Trang 16

Nhớ lại rằng 1

t(ζ) − t(z) là ký hiệu khác (t(ζ) − t(z))

−1

Nghịch đảo nàytồn tại cùng với ζ − z, phần phức của t(ζ) − t(z) là (ζ − z) và khác 0.Bất đẳng thức (1.9) dễ suy ra từ

1t(ζ) − t(z)

Trang 35

|z| − 1

(π)p01|v, C0|p

= M (q, p)

1

|z| − 1



|v, C0|ptheo Bất đẳng thức H¨older Từ phần (i) ta có

Trang 36

sử dụng Định lý Fubini được thay bởi đánh giá sau

≤ M (q, p)|v, C|p,2

Z Z

C

|Dφ(ζ)tζ(ζ)|dξdη,như đã chỉ ra trong phần (i) Vì supp φ là compact nên ta có kết quảcần chứng minh

Hệ quả 2.6 Nếu w ∈ L1loc(C), v ∈ Lp,2(C), 2 < p < ∞, và v = Dwtrong C thì w = Φ + Jv, với Φ là hàm siêu giải tích

Chứng minh Vì D(w − J v) = v − v = 0

Định lý 2.13 (Gilbert và Hile, 1974)

Cho w, v và wv ∈ L1loc(Ω) và Dw, Dv ∈ Lp(Ω), 2 < p < ∞ Khi đó

D(wv) = wDv + vDw

Trang 37

w = Φ + JΩ1(Dw), v = Ψ + JΩ1(Dv)trong Ω1, trong đó Φ và Ψ là các hàm siêu giải tích.Từ Định lý 2.7,

JΩ1(Dw) và JΩ1(Dv) là thuộc B0,p−2p (C), và do đó trong Ω1,

D(wv) = ΦDv + ΨDw + D[JΩ1(Dw) · JΩ1(Dv)]

Điều này đủ để chứng minh quy tắc tích cho D[JΩ1(Dw) · JΩ1(Dv)] Cótồn tại dãy hàm ψn ∈ C∞(Ω1) sao cho ψn → JΩ1w trong Lp(Ω1), và theoĐịnh lý 2.5, JΩ1ψn(z) ∈ C1(Ω1) Từ những điều ta đã biết ở trên với

φ ∈ Cc1(Ω),

Z Z

Ω

tz[φ(ψnJΩ1(Dv) + (JΩ1ψn)Dv) + Dφ(JΩ1ψn · JΩ1(Dv))]dxdy = 0.Theo Định lý 2.7 (i), JΩ1ψn → JΩ1(Dw) đều trên C, cũng vậy, theo định

... Cơng thức tích phân Cauchy hàm siêu giải tích? ?ịnh lý 1.6 (Douglis, 1953)(Cơng thức tích phân Cauchy hàmsiêu giải tích)

Cho Ω, ∂Ω, t Định lý 1.5 Cho u ∈ C1(Ω) hàm siêu phức vàcho... JΩ(Dw), Φ(z) l? ?hàm siêu phức Ω liên tục Ω Chú ý rằng, JΩ(Dw) siêugiải tích C \ Ω triệt tiêu vô hạn, ta kết luận Φ có dạng

đã cho

Hệ 2.5 Nếu ψ hàm siêu giải tích bên ngồi... 31

2.2 Hàm số siêu giải tích suy rộng Định lý Liouville

2.2.1 Hàm số siêu giải tích suy rộng

Ta xét phương trình sau có dạng mở