Hàm Số Y = Sin^sx Có đạo Hàm Là...
Có thể bạn quan tâm
I. Đạo hàm tại một điểm
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : limx→x0fx−fx0x−x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy f'x0=limx→x0fx−fx0x−x0.
* Chú ý:
Đại lượng ∆x = x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.
Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:y'x0=limΔx→∞ΔyΔx.
2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 tính:
∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) .
+ Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx..
+ Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx.
Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x−3, có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó ΔyΔx bằng bao nhiêu.
Lời giải
Tập xác định của hàm số đã cho là: D=32;+∞.
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:
Δy=f2+Δx−f2=2.2+Δx−3−2.2−3=2Δx+1−1
Khi đó:
ΔyΔx=2Δx+1−1Δx
⇒limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02Δx+1−1Δx=limΔx→02Δx+1−1.2Δx+1+1Δx.2Δx+1+1
=limΔx→02ΔxΔx.2Δx+1+1=limΔx→022Δx+1+1=1
Vậy f’(2) = 1.
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý:
+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.
+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số y=f(x)=−x2 khi x≥0x khi x<0 liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:
4. Ý nghĩa của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).
+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:
y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^3 – 3x^2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.
Lời giải
Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.
Ta có: y(3) = 2.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:
y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.
b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:
+) Vận tốc tức thời:
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).
+) Cường độ tức thời:
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .
Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t^2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.
Lời giải
Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)
⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:
V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)
Chọn A.
II. Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó ta gọi hàm số f’:a;b→ℝ
x↦f'x
là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).
Ví dụ 5. Hàm số y = x^2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng −∞;+∞.
Hàm số y=2x có đạo hàm y'=−2x2 trên các khoảng −∞;0 và 0;+∞.
III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp
1. Định lý 1
Hàm số y = x^n n∈ℕ,n>1 có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (x^n)’ = n.x^n-1.
2. Định lý 2
Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x dương và x'=12x.
Ví dụ 1.
a) Tính đạo hàm y = x^3;
b) Tính đạo hàm tại x = 5.
Lời giải
a) Ta có: y’ = 3x^2;
b) Ta có:y'=12x
Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là:y'5=125.
IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
1. Định lí 3
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:
(u + v)’ = u’ + v’;
(u – v)’ = u’ – v’;
(uv)’ = u’.v + u.v’;
uv'=u'v−u.v'v2v=v(x)≠0.
2. Hệ quả
Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.
Hệ quả 2.1v'=−v'v2.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x^5 – 2x^2 + 3x + 6;
b) y = (x^2 + 1)(2x – 3);
c)y=7x2x−1 .
Lời giải
a) y = x^5 – 2x^2 + 3x
⇒y’ = (x5 – 2x^2 + 3x)’
= (x5)’ – (2x^2)’ + (3x)’
= 5x^4 – 4x + 3.
b) y = (x^2 + x).2x
⇒y’ = (x^2 + x)’.2x + (x^2 + 1)(2x)’
= [(x^2)’ + x’].2x + (x^2 + 1).2
= (2x + 1).2x + 2x^2 + 2
= 4x^2 + 2x + 2x^2 + 2
= 6x^2 + 2x + 2.
c) y=7x2x−1
⇒y=7x2'x3−2x−7x2x3−2x'x3−2x2
=14xx3−2x−7x22x2−2x3−2x2
=14x4−28x2−14x2+14xx3−2x2
=−28x2+14xx3−2x2.
V. Đạo hàm hàm hợp
Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x làux' và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yx' thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: yx'=yu'.ux'.
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y=x2+2x
Lời giải
Đặt u=x2+2x thì y=u
y'=u'2u=x2+2x'2x2+2x=2x+22x2+2x.
VI. Đạo hàm hàm lượng giác
1. Giới hạn sinxx
Định lý 1.
limx→0sinxx=1.
Ví dụ 1. Tính limx→1sinx−1x2−1
Lời giải
Đặt x – 1 = t.
Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.
limt→0sinttt+2=limt→0sintt.1t+2=limt→0sintt.limt→01t+2=1.12=12.
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Định lý 2.
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (sinx)’ = cosx.
Chú ý:
Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32
Lời giải
y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3
y'=4cos2x+3.sin2x+3.
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Định lý 3.
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (cosx)’ = - sinx.
Chú ý:
Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2−x tại x=π3.
Lời giải
Đặt u=π2−x
⇒y'=cosu'=−u'.sinu=−π2−x'sinπ2−x=sinπ2−x.
Thay x=π3 vào y’ ta được:
y'π3=sinπ2−π3=sinπ6=12.
Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Định lý 4.
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x≠π2+kπ,k∈ℤ và (tanx)’ = 1cos2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u'cos2u.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx
Lời giải
Đặt u = 2 + tanx
y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx.
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Định lý 5.
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x≠kπ,k∈ℤ và (cotx)’ = −1sin2x.
Chú ý:
Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = −u'sin2u.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x^2.
Lời giải
y’ = (cot x^2)’ = (x^2)’. −1sinx22= −2xsinx22.
6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:
VII. Đạo hàm cấp hai
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).
Chú ý:
+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).
+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).
f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.
Ví dụ 1. Với y = 7x^4 + 8x + 12. Tính y(5)
Lời giải
Ta có: y’ = 28x^3 + 8, y” = 84x^2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.
Vậy y(5) = 0.
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).
Lấy số gia Δt tại t thì v(t) có số gia tương ứng là Δv.
Tỉ sốΔvΔt được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Δt. Nếu tồn tại: v'(t)=limΔt→0ΔvΔt=γt.
Ta gọi v't=γt là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
Vì v(t) = f’(t) nên: γt=f"t.
Đao hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.
Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do s=12gt2.
Lời giải
Ta có: s'=gt.
Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: γ=s"t=s'(t)=g≈9,8m/s2.
Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là:g≈9,8m/s2.
Từ khóa » đạo Hàm Y=sin^2xcosx
-
Hàm Số Y = Sin^sx Có đạo Hàm Là - Khóa Học
-
Hàm Số Y = Sin2x. Cosx Có đạo Hàm Là:
-
Hàm Số Y = Sin^sx Có đạo Hàm Là
-
Tính đạo Hàm Của Hàm Số \(y = \sin 2x - \cos X\). - HOC247
-
Tín đạo Hàm Của Hàm Số Y=sin2x-cosx Câu Hỏi 958293
-
Tính đạo Hàm Hàm Số Y = Sin2x - Cosx
-
Hàm Số Y = Sin^sx Có đạo Hàm Là
-
Top 14 đạo Hàm Sin2x Cosx
-
Hàm Số Y = Sin^sx Có đạo Hàm Là... - Vietjack.online
-
Giải Toán 11 Bài 3. Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác - Giải Bài Tập
-
Cách Tính đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Cực Hay - Toán Lớp 11