HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ - Phần 2 - Vinastudy

Ngày đăng: 30/06/2020

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP)

1. A. Kiến thức cần nhớ
2. 1. Lập phương của một tổng

${{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}$

2. 2. Lập phương của một hiệu

${{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$

3. 3. Tổng hai lập phương

${{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)$

4. 4. Hiệu hai lập phương

${{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$

1. B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Áp dụng hằng đẳng thức để tính

Phương pháp giải

Sử dụng 3 hằng đẳng thức ở phần A để tính, khai triển biểu thức

Bài tập vận dụng

Bài 1. Thực hiện phép tính

$A={{\left( x-1 \right)}^{3}}-x{{\left( x-3 \right)}^{2}}+1$	$D=x\left( x+2 \right)\left( 2-x \right)+\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)\left( x+3 \right)$
$B={{\left( x+2 \right)}^{3}}-{{x}^{2}}\left( x+6 \right)$	$E={{\left( x-2 \right)}^{3}}-x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+6x\left( x-3 \right)$
$C=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-{{\left( x-1 \right)}^{3}}+7$	$F=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)$

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích của hai đa thức:

a) $27-{{x}^{3}}$	d)  ${{a}^{6}}-{{b}^{3}}$
b) $8{{x}^{3}}+0,001$	e) $8{{y}^{3}}-27$
c) $\frac{{{x}^{3}}}{64}-\frac{{{y}^{3}}}{125}$	f) ${{x}^{3}}+125{{z}^{3}}$

 

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái.

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau ${{\left( a+b \right)}^{3}}-{{\left( a-b \right)}^{3}}=2b\left( 3{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

Bài giải

Cách 1: Sử dụng 2 hằng đẳng đẳng thức là lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu

Ta có: $VT={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}-\left( {{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}} \right)$

$\Leftrightarrow VT={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}-{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b-3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$

$\Leftrightarrow VT=6{{a}^{2}}b+2{{b}^{3}}=2b\left( 3{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$(đpcm)

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương

Ta có: $VT=\left[ \left( a+b \right)-\left( a-b \right) \right]\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}+\left( a+b \right)\left( a-b \right)+{{\left( a-b \right)}^{2}} \right]$

$\Leftrightarrow VT=\left( a+b-a+b \right)\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)$

$\Leftrightarrow VT=2b\left( 3{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$(đpcm)

Bài tập vận dụng

Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau

1. a) ${{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)$
2. b) ${{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}-3ab\left( a-b \right)$
3. c) ${{\left( a+b+c \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$
4. d) ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)$
5. e) ${{\left( a+b+c \right)}^{3}}-{{\left( b+c-a \right)}^{3}}-{{\left( c+a-b \right)}^{3}}-{{\left( a+b-c \right)}^{3}}=24abc$

Bài 2. Chứng minh rằng biểu thức sau được viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:

${{x}^{2}}+2{{\left( x+1 \right)}^{2}}+3{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4{{\left( x+3 \right)}^{2}}$

Bài 3. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

Dạng 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng một trong bảy hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn.

Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $A={{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+48x+64$ tại $x=6$

Bài giải

Ta có $A={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.4+3.x{{.4}^{2}}+{{4}^{3}}={{\left( x+4 \right)}^{3}}$

Tại $x=6$thì $A={{\left( 6+4 \right)}^{3}}={{10}^{3}}=1000$

Vậy tại $x=6$thì $A=1000$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức

$A={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x$ tại $x=29$

$B={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x+10$ tại $x=22$

$C=64-\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+16 \right)$ tại $x=-\frac{1}{2}$

Bài 2. Cho $x+y=1$. Tính giá trị của biểu thức ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3xy$

Bài 3. Cho $x-y=1$. Tính giá trị của biểu thức ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}-3xy$

Bài 4.

1. a) Tính ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ biết $a+b=7$ và $ab=3$
2. b) Cho $x+y=2$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10$. Tính giá trị của biểu thức ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$
3. c) Cho $a+b=1$. Tính giá trị của biểu thức $M={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( a+b \right)$

Bài 5. Rút gọn biểu thức

$A={{\left( a+b+1 \right)}^{3}}-{{\left( a+b-1 \right)}^{3}}-6{{\left( a+b \right)}^{2}}$

$B=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$

$C={{\left( a+b \right)}^{3}}+{{\left( b+c \right)}^{3}}+{{\left( c+a \right)}^{3}}-3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$

Dạng 4: Điền vào chỗ trống các hạng tử thích hợp

Phương pháp giải

Bước 1: Dựa vào một số hạng tử đã cho để nhận dạng hằng đẳng thức cần sử dụng

Bước 2: Dự vào các hạng tử đã biết để tính các hạng tử chưa biết.

Ví dụ: Điền vào dấu * các hạng tử thích hợp

1. a) $\left( 3x+y \right)\left( *-*+* \right)=27{{x}^{3}}+{{y}^{3}}$
2. b) $\left( 2x-* \right)\left( *-10x+* \right)=8{{x}^{3}}-125$

Bài giải

1. a) Ta có $VP={{\left( 3x \right)}^{3}}+{{y}^{3}}$

Suy ra $27{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=\left( 3x+y \right)\left[ {{\left( 3x \right)}^{2}}-3xy+{{y}^{2}} \right]=\left( 3x+y \right)\left( 9{{x}^{2}}-3xy+{{y}^{2}} \right)$

1. b) Ta có $VP={{\left( 2x \right)}^{3}}-{{5}^{3}}$

Suy ra $8{{x}^{3}}-125=\left( 2x-5 \right)\left[ {{\left( 2x \right)}^{2}}+2x.5+{{5}^{2}} \right]=\left( 2x-5 \right)\left( 4{{x}^{2}}-10x+25 \right)$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Điền vào chỗ * để có được hằng đẳng thức đúng

1. a) $\left( 2a+3b \right)\left( *-*+* \right)=8{{a}^{3}}+27{{b}^{3}}$
2. b) $\left( 5x-* \right)\left( *+20xy+* \right)=125{{x}^{3}}-64{{y}^{3}}$

Dạng 5: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức $A={{\left( x+3 \right)}^{3}}-\left( x+9 \right)\left( {{x}^{2}}+27 \right)$không phụ thuộc vào x

Bài giải

Ta có $A={{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+27x+27-\left( {{x}^{3}}+27x+9{{x}^{2}}+243 \right)$

$\Leftrightarrow A={{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+27x+27-{{x}^{3}}-27x-9{{x}^{2}}-243$

$\Leftrightarrow A=-216$

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x

Bài tập vận dụng

Bài 1.

1. a) Giá trị của biểu thức ${{\left( x+2 \right)}^{3}}-{{\left( x-2 \right)}^{3}}$ có phụ thuộc vào biến hay không?
2. b) Giá tri của biểu thức $A=8\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-\left( 2x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)$ có phụ thuộc vào biến hay không?

Bài 2. Giá tri của mỗi đa thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?

1. a) $P={{\left( x+2 \right)}^{3}}+{{\left( x-2 \right)}^{3}}-2x\left( {{x}^{2}}+12 \right)$
2. b) $Q={{\left( x-1 \right)}^{3}}-{{\left( x+1 \right)}^{3}}+6\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$

Dạng 6: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước

Phương pháp giải

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái của đẳng thức và đưa về dạng

$ax=b\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm x, biết

1. a) ${{\left( x+1 \right)}^{3}}-{{x}^{2}}\left( x+3 \right)=2$
2. b) ${{\left( x-2 \right)}^{3}}-x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+6{{x}^{2}}=5$
3. c) $\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+9 \right)-x\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)=5$

Bài 2. Tìm x, biết

1. a) ${{\left( x-2 \right)}^{3}}-\left( x+5 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+25 \right)+6{{x}^{2}}=11$
2. b) $\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+9 \right)+x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=1$
3. c) ${{\left( x+1 \right)}^{3}}-{{\left( x-1 \right)}^{3}}-6{{\left( x-1 \right)}^{2}}=-10$

 

Tác giả: Vinastudy

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/