Hệ Phương Trình đẳng Cấp: Các Dạng Toán Và Cách Giải

Số lượt đọc bài viết: 46.923

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình thường gặp trong chương trình Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp là gì? Khái niệm về hệ phương trình đẳng cấp bậc 2? Cách giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

MỤC LỤC

• Hệ phương trình đẳng cấp là gì?
• Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
• Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 
• Hệ phương trình đẳng cấp lớp 10 
  • Dạng bài biến đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp
  • Dạng bài hệ phương trình có một phương trình đẳng cấp
  • Dạng bài hệ phương trình có tích hai vế đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm \( 2 \) phương trình \( 2 \) ẩn mà ở mỗi phương trình thì bậc của mỗi ẩn là bẳng nhau :

\(\left\{\begin{matrix} f(x;y)=a_1\\ g(x;y)=a_2 \end{matrix}\right.\) với \( f,g \) là các hàm số có bậc của hai biến \( x;y \) bằng nhau

Ví dụ:

\(\left\{\begin{matrix} x^2+3xy-2y^2=3\\ x^2-xy+y^2=4 \end{matrix}\right.\)

Ở ví dụ trên thì đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc \( 2 \)

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài toán: Giải phương trình

\(\left\{\begin{matrix} f(x;y)=a_1\\ g(x;y)=a_2 \end{matrix}\right.\) với \( f,g \) là các hàm số có bậc của hai biến \( x;y \) bằng nhau

Nhìn chung để giải phương trình đẳng cấp thì chúng ta tiến hành các bước sau đây:

• Bước 1: Nhân phương trình trên với \( a_2 \) và phương trình dưới với \( a_1 \) rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do
• Bước 2: Đặt \( x=ky \). Thay vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình có dạng :
  • \( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 \)
• Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường hợp \(\left[\begin{array}{l} y=0\\y \neq 0 \end{array}\right.\). Với trường hợp \( y \neq 0 \) thì giải ra \( k \)
• Bước 4: Thay \( x=ky \) vào một trong hai phương trình, giải ra \( y \) rồi từ đó giải ra \( x \)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\\ x^2-2xy+y^2=1 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Phương trình đã cho tương đương với :

\(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\\ 3x^2-6xy+3y^2=3 \end{matrix}\right.\)

Trừ hai vế hai phương trình ta được :

\( 2x^2+4y^2-6xy =0 \)

Đặt \( x=ky \). Thay vào phương trình trên ta được :

\( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 \)

\(\Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 \;\;\;\;\; (1) \)

• Trường hợp \( y=0 \)

Thay vào hệ ta được:

\(\left\{\begin{matrix} x^2=3\\ x^2=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại )

• Trường hợp \( y \neq 0 \)

Từ phương trình \( (1) \Rightarrow k^2+3k-2 =0 \)

 \(\Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=1\\ k=2 \end{array}\right.\)

Nếu \( k=1 \) thay vào hệ phương trình ta được :

\(\left\{\begin{matrix} 0=3\\0=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại )

Nếu \( k=2 \) thay vào hệ phương trình ta được :

\(\left\{\begin{matrix} 3y^2=3\\y^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y^2=1 \Leftrightarrow y=\pm 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) \)

Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 

Hệ phương trình đẳng cấp bậc \( 2 \) là hệ phương trình có dạng :

\(\left\{\begin{matrix} a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{matrix}\right.\)

Đây là dạng toán thường gặp trong phần hệ phương trình đẳng cấp lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài này thì ngoài cách trên ta có thể sử dụng một cách khác như sau :

• Bước 1: Từ hai phương trình, nhân hệ số thích hợp để hệ số của \( x^2 \) ở hai phương trình là bằng nhau:
• Bước 2: Trừ hai vế của hai phương trình, ta được phương trình dạng :
  • \( Ay^2+Bxy=C \)
  • \(\Rightarrow x=\frac{C-Ay^2}{By}\)
• Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình rồi giải tìm ra \( x;y \)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=8\\ x^2+xy-3y^2=3 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

\(\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=8\\ 2x^2+2xy-6y^2=6 \end{matrix}\right.\)

Trừ hai vế hai phương trình ta được :

\( 5y^2-3xy =2 \)

• Nếu \( y=0 \) thay vào hệ phương trình đã cho ta được:

\(\left\{\begin{matrix} 2x^2=8\\x^2=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại )

• Nếu \( y \neq 0 \) thì ta có:

\(x= \frac{5y^2-2}{3y}\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\(2.(\frac{5y^2-2}{3y})^2-y.\frac{5y^2-2}{3y}-y^2=8\)

\(\Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2\)

\(\Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2=4\\y^2=\frac{1}{13} \end{array}\right.\)

Thay vào ta được : hệ phương trình đã cho có \( 4 \) cặp nghiệm :

\((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-\frac{111}{2197};\frac{1}{13});(\frac{111}{2197};-\frac{1}{13})\)

Hệ phương trình đẳng cấp lớp 10 

Trong chương trình toán 10 thì bài toán hệ phương trình sẽ nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh cần có thêm một vài kĩ năng biến đổi để xử lý.

Dạng bài biến đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp

Trong những bài toán này, hệ phương trình ban đầu bài toán đưa ra sẽ không phải là những phương trình đẳng cấp. Nhưng chúng ta sẽ biến đổi, đặt ẩn phụ để đưa hệ đã cho trở thành hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2+2y=9\\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Ta sẽ biến đổi để đưa phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp

Phương trình đã cho tương đương với :

\(\left\{\begin{matrix} x^2-(y^2-2y+1)=8\\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-(y-1)^2=8\\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 \end{matrix}\right.\)

Đặt \( z=y+1 \), phương trình đã cho trở thành :

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-z^2=8\\ x^2+xz+z^2=13 \end{matrix}\right. \;\;\;\;\; (1) \)

Đây là phương trình đẳng cấp bậc \( 2 \) với hai ẩn \( x;z \)

Hệ phương trình trên tương đương với :

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 13x^2-13z^2=104\\ 8x^2+8xz+8z^2=104 \end{matrix}\right.\)

Trừ hai vế của hai phương trình ta được :

\(5x^2-8xz-21z^2=0\)

Đặt \( x=tz \). Thay vào ta được :

\( z^2(5t^2-8t-21) =0 \)

Nếu \( z=0 \) thay vào hệ \( (1) \) ta được :

\(\left\{\begin{matrix} x^2=8\\ x^2=13 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại )

Nếu \( z \neq 0 \) thì ta có :

\( 5t^2-8t-21 =0 \)

\(\Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=3\\t=-\frac{5}{7} \end{array}\right.\)

Nếu \( t=3 \) , thay vào ta được :

\(8z^2=8 \Leftrightarrow z= \pm 1\)

\(\left[\begin{array}{l} z=1 \Rightarrow x=3; y=2\\ z=-1 \Rightarrow x=-3; y=0\end{array}\right.\)

Nếu \( t=-\frac{5}{7} \) thay vào ta được :

\(-\frac{24}{49}z^2=8\Leftrightarrow z^2=-\frac{49}{3}\Rightarrow\) vô lý ( loại )

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) \)

Dạng bài hệ phương trình có một phương trình đẳng cấp

Đây là những hệ phương trình mà trong đó có một phươn trình có dạng \( f(x;y) =0 \) với \( f \) là phương trình hai ẩn \( x;y \) có bậc bằng nhau

Để giải bài toán này thì từ phương trình đẳng cấp đó, chúng ta đặt \( x=ky \), giải ra \( k \) rồi thay vào phương trình thứ hai, tìm ra \( x;y \)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x^2-3xy+2y^2=0\\ \sqrt{5x-y}-x=1 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

ĐKXĐ: \( y \leq 5x \)

Dễ thấy nếu \( y=0 \) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy \( y \neq 0 \)

Đặt \( x=ky \). Thay vào phương trình đầu tiên ta được :

\( y^2(k^2-3k+2) =0 \)

Do \( y \neq 0 \) nên \(\Rightarrow k^2-3k+2=0\)

\(\Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=1\\k=2 \end{array}\right.\)

Nếu \( k=1 \) thay vào phương trình dưới ta được :

\(2y-y=1\Leftrightarrow y=1\) và \( x=1 \)

Nếu \( k=2 \) thay vào phương trình dưới ta được :

\(3y-2y=1\Leftrightarrow y=1\) và \( x=2 \)

Vậy phương trình đã cho có hai cặp nghiệm \( (x;y) = (1;1) ; (2;1) \)

Dạng bài hệ phương trình có tích hai vế đẳng cấp

Đây là những hệ phương trình có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} f_1(x;y)=f_2(x;y)\\g_1(x;y)=g_2(x;y) \end{matrix}\right.\) với \( f_1;f_2;g_1;g_2 \) là các hàm số đẳng cấp thỏa mãn:

Bậc của \( f_1.g_1 \) bằng bậc của \( f_2.g_2 \)

Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ để được một phương trình đẳng cấp:

\( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) \)

Đến đây ta đặt \( x=ky \), thay vào giải ra \( k \). Sau đó thay \( k \) vào hệ phương trình ban đầu giải ra \( x;y \)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x^3+2y^3-2x-y=0 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

\(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x^3+2y^3=2x+y \end{matrix}\right.\)

Nhân chéo hai vế của hệ phương trình ta được :

\( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) \)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0\)

Dễ thấy nếu \( y=0 \) thì hệ đã cho vô nghiệm. Vậy nên \( y \neq 0 \)

Đặt \( x=ky \) . Thay vào phương trình trên ta được :

\( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 \)

Do \( y\neq 0 \) nên \( k^3-3k^2-3k+5=0 \)

\(\Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k=1 \\ k=1-\sqrt{6}\\ k=1+\sqrt{6}\end{array}\right.\)

• Nếu \( k=1 \) thay vào ta được:

\(3y^2=3 \Leftrightarrow y^2=1 \Rightarrow x=y=1\) hoặc \( x=y=-1 \)

• Nếu \( k=1-\sqrt{6} \) thay vào ta được:

\(y^2\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=3 \Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Vậy ta có hai cặp nghiệm :

\((x;y)= (\frac{1-\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}})\)

• Nếu \( k=1+\sqrt{6} \) thay vào ta được:

\(y^2\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=3 \Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Vậy ta có hai cặp nghiệm:

\((x;y)= (\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(-\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{6}}})\)

Vậy phương trình đã cho có 6 cặp nghiệm thỏa mãn:

\( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (\frac{1-\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(-\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{6}}}) \)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm:

• Phương trình chứa căn: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Lý thuyết và Bài tập
• Hệ phương trình hai ẩn là gì? Bài tập và Cách giải hệ phương trình 2 ẩn

Tu khoa lien quan:

• giải phương trình đẳng cấp lớp 9
• phương trình đẳng cấp bậc 2 lớp 10
• dấu hiệu nhận biết hệ phương trình đẳng cấp

5/5 - (8 bình chọn) Please follow and like us: