Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2

• Trang chủ
• 1 Ứng Dụng
  • Windows
  • Android
  • IOS
  • Blogger
• 2 Học Tập
  • Lớp 12
  • Lớp 11
  • Lớp 10
  • Lớp 9
  • Lớp 8
  • Lớp 7
  • Lớp 6
• 3 Giải Trí
  • Blog
  • Thơ Thẩn
  • Ebook Sưu Tầm
  • Ngôn Tình
• 4 Tài Chính
• About
• Contact
• More...
  • Hidden Menu
  • Hidden Menu

• Sitemap
• Disclaimer
• Privacy

Tổng hợp key Windows 8, Windows 10, Windows 11, Office 2019 ProPlus, Office 2016 ProPlus, Office 2013 ProPlus tại đây!! Trang chủ 2 Học Tập Lớp 10 Hệ phương trình đối xứng loại 2 Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2. I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM 1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = a\\ f\left( {y;x} \right) = a \end{array} \right.\) \((*).\) 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: \(f\left( {x;y} \right) – f\left( {y;x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ g\left( {x;y} \right) = 0 \end{array} \right.\) 3. Chú ý: + Nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ phương trình \((*)\). Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) + \(f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a\) là một phương trình đối xứng. II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.\) 1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được: \({x^2} – {y^2} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = 1 – y \end{array} \right.\) + Với \(x = y \Rightarrow {x^2} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0,x = 3.\) + Với \(x = 1 – y\) \( \Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 – y} \right)\) \( \Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = – 1 \Rightarrow x = 2\\ y = 2 \Rightarrow x = – 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( { – 1;2} \right),\left( {2; – 1} \right).\) 2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \({x^3} – {y^3} = 2\left( {y – x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \({x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0\), \(\forall x,y\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} + 1 = 2x\) \( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\), \(x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l} x = y = 1\\ x = y = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.\) Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\ \frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} = 8\\ \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} = 8 \end{array} \right.\) 1. Điều kiện: \(x,y \ne 0.\) Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} + {x^2}y = 3\\ 2{y^3} + {y^2}x = 3 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) + xy\left( {x – y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(2{x^2} + 3xy + 2{y^2}\) \( = 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \(3{x^3} = 3\) \( \Leftrightarrow x = 1 = y.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=1.\) 2. Điều kiện: \(x,y \ge 7.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} \) \( = \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y – 7} \right)} \) \( = \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x – 7} \right)} \) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay vào hệ phương trình, ta được: \(\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\\ \sqrt {x + 9} – \sqrt {x – 7} = 2 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} = 5\\ \sqrt {x – 7} = 3 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 16.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=16.\) Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x + \sqrt {2 – y} = 2\\ \sqrt y + \sqrt {2 – x} = 2 \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – y} = 7\\ \sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 – x} = 7 \end{array} \right.\) 1. Điều kiện: \(0 \le x,y \le 2.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt x – \sqrt {2 – x} \) \( = \sqrt y – \sqrt {2 – y} \) \(\left( * \right).\) Do hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 – t} \) là một hàm liên tục và đồng biến trên \((0;2).\) Nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)\) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay vào hệ phương trình, ta có: \(\sqrt x + \sqrt {2 – x} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 – x} \right)} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 1.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=1.\) 2. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{1}{5} \le x \le 12\\ – \frac{1}{5} \le y \le 12 \end{array} \right.\) Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \(\sqrt {5x + 1} – \sqrt {12 – x} \) \( = \sqrt {5y + 1} – \sqrt {12 – y} \) \((*).\) Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} – \sqrt {12 – t} \), \(t \in \left[ { – \frac{1}{5};12} \right]\), ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 – t} }} > 0\), \(\forall t \in \left( { – \frac{1}{5};12} \right).\) Suy ra: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow x = y.\) Thay \(x=y\) vào hệ phương trình, ta được: \(\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – x} = 7\) \( \Leftrightarrow 4x + 13\) \( + 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 – x} \right)} = 49\) \( \Leftrightarrow \sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 9\\ 9{x^2} – 131x + 312 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=3.\) Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x – 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \left( {y – 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right) \end{array} \right.\) 1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được: \({x^3} – {y^3} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ {x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0 \end{array} \right.\) + Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0\), \(x = \pm \sqrt 3 .\) + Với \({x^2} + xy + {y^2} = 1\) \(\left( 1 \right)\), cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: \({x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0\) \(\left( 2 \right).\) Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\\ {x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0 \end{array} \right.\) Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {S^2} – P – 1 = 0\\ {S^3} – 3SP – 3S = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = {S^2} – 1\\ {S^3} – 3S\left( {{S^2} – 1} \right) – 3S = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 0\\ P = – 1 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = 1 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = – 1 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 \end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l} x = – \sqrt 3 \\ y = – \sqrt 3 \end{array} \right.\) 2. Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\\ y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x \end{array} \right.\) Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2xy\left( {y – x} \right) + 7\left( {x – y} \right)\) \( + \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 2xy + 7} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x + y – 2xy + 7 = 0 \end{array} \right.\) + Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^2} – 5x + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y = 2\\ x = y = 3 \end{array} \right.\) + Với \(x+y-2xy+7=0\) \((1)\), cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: \({x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0\) \(\left( 2 \right).\) Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2xy + 7 = 0\\ {x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0 \end{array} \right.\) Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} S – 2P + 7 = 0\\ {S^2} – 5S – 2P + 12 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = \frac{{S + 7}}{2}\\ {S^2} – 6S + 5 = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\) + Với \(\left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.\), ta thấy hệ vô nghiệm. + Với \(\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 2 \end{array} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).\) Ví dụ 5. Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + \sqrt {y – 1} = m\\ 2y + \sqrt {x – 1} = m \end{array} \right.\) Điều kiện: \(x,y \ge 1\). Đặt \(a = \sqrt {x – 1} \), \(b = \sqrt {y – 1} \) \( \Rightarrow a,b \ge 0\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 2{a^2} + b = m – 2\\ 2{b^2} + a = m – 2 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)\) \( + b – a = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {2a + 2b – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a = \frac{{1 – 2b}}{2} \end{array} \right.\) + Với \(a = b\) \( \Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(a \ge 0\) \( \Leftrightarrow m – 2 \ge 0\) \( \Leftrightarrow m \ge 2.\) + Với \(a = \frac{{1 – 2b}}{2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le b \le \frac{1}{2}\\ 4{b^2} – 2b = 2m – 5 \end{array} \right.\), hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le 2m – 5 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge 2.\) Ví dụ 6. Tìm \(m\) để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1. \(\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} – y + m\\ y = {x^2} – x + m \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\\ 3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx \end{array} \right.\) 1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) Thay vào hệ ta được: \(x_0^2 – 2{x_0} + m = 0\), phương trình này có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1.\) Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} – y + 1\\ y = {x^2} – x + 1 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 1\) (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m = 1.\) 2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\) Thay vào hệ ta được: \(x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ x_0^2 – 5{x_0} + m = 0\left( * \right) \end{array} \right.\) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \((*)\) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x = 0.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta = 25 – 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 25 – 4m = 0\\ 5 = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.\) Điều kiện đủ: Với \(m > \frac{{25}}{4}\), ta có: \(\left[ \begin{array}{l} 3{x^2} = y\left( {{y^2} – 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]\\ 3{y^2} = x\left( {{x^2} – 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + m – 1} \right] \end{array} \right.\) \( \Rightarrow x,y \ge 0.\) Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được: \(x\left( {{x^2} – 5x + m} \right)\) \( + y\left( {{y^2} – 5y + m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right]\) \( + y\left[ {{{\left( {y – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 0.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m > \frac{{25}}{4}.\) Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}\\ 2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x} \end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\) Điều kiện: \(x \ne 0.\) Từ hai phương trình của hệ \( \Rightarrow x,y > 0.\) Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\ 2{y^2}x = {x^2} + {a^2} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2xy\left( {x – y} \right) = {y^2} – {x^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(x,y > 0\) \( \Rightarrow 2xy + x + y > 0\)). Thay vào hệ phương trình, ta được: \({a^2} = 2{x^3} – {x^2} = f\left( x \right)\) \((*).\) Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2}\) với \(x>0.\) Ta có: \(f’\left( x \right) = 2x\left( {3x – 1} \right)\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.\) Mà \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{{27}}\) và \({a^2} > 0\) nên phương trình \((*)\) chỉ có duy nhất một nghiệm. Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\)

About the author

"một sáng khi con tỉnh giấc Mặt Trời chưa mọc đằng đông cửa nhà chắn hết mưa giông vỡ tan nằm im ngoài cửa" Đăng nhận xét

Đăng nhận xét

Đăng nhận xét

Popular Posts

[Đam Mỹ] eBook Cầm Hóa Nhiếp Bất Phàm của tác giả Tuyết Nguyên U Linh full

Reviewer: Miina Lưu ý: Review với góc nhìn của bản thân người revie…

Đề tham khảo cuối kỳ 1 Toán 11 CD năm 2023 – 2024 trường THPT Văn Bàn 1 – Lào Cai

Cô gái như em xứng đáng được yên bình ❤

Có chút bâng khuâng có chút buồn

Có những ngày sao thấy buồn đến lạ

We use cookies to understand preferences and optimize your experience using our site, this includes advertising affiliated with Google. Cookie Policy OK, got it.