Hệ Số Góc Của Tiếp Tuyến

HỆ SỐ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN

Câu 1: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-2m-1\], có đồ thị \[\left( {{C}_{m}} \right)\]. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \[m\] để \[\left( {{C}_{m}} \right)\] có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau là:

A.9.                             B.6.                             C.3.                             D.10.

Câu 2: Cho hàm số \[y=\frac{3x+1}{x+1}\], có đồ thị \[\left( H \right)\]. Gọi A, B là hai điểm thuộc \[\left( H \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( H \right)\]tại A và B song song với nhau. Giá trị nhỏ nhất của \[OA+OB\] bằng:

A.4                              B. \[2\sqrt{2}\]                  C.\[4\sqrt{2}\]                   D.\[2\sqrt{10}\]

Câu 3: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3ax+b\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] tại \[M,N\] có cùng hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ góc tọa độ đến đường thẳng \[MN\] bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\] bằng:

A.\[\frac{6}{5}\]                           B.\[\frac{3}{2}\]                            C.\[\frac{4}{3}\]                            D.\[\frac{7}{6}\]

Câu 4: Cho hàm số \[y=\frac{3x+1}{x+1}\], có đồ thị \[\left( H \right)\]. Gọi A,B là hai điểm thuộc \[\left( H \right)\]sao cho tiếp tuyến của \[\left( H \right)\] tại A và B song song với nhau. Khoảng cách từ điểm \[I\left( -2;0 \right)\] đến đường thẳng AB có giá trị lớn nhất bằng

A.\[\sqrt{10}\]                  B.\[\sqrt{13}\]                               C.\[\frac{5}{2}\]                            D.\[\sqrt{11}\]

Câu 5: Cho hàm số \[y=\frac{1}{5}{{x}^{5}}-2{{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x\], có đồ thị \[\left( {{C}_{m}} \right)\]. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \[m\] để \[\left( {{C}_{m}} \right)\] có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

A.10                           B.9                              C.8                              D.11

Câu 6: Có tất cả bao nhiêu số thực a để đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y=\frac{ax+b}{x+1}\] có hai điểm phân biệt M,N và tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại M, N có cùng hệ số góc bằng 3 đồng thời khoảng cách từ góc tọa độ đến đường thẳng MN bằng \[\sqrt{10}\]

A.2                              B.4                              C.1                              D.3

Câu 7: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+\frac{3}{2}a{{x}^{2}}+b\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi M,N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại M,N có cùng hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng MN bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[2{{a}^{3}}+{{\left( a+2b \right)}^{2}}\] bằng

A.8                              B.7                              C.4                              D.5

Câu 8: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3ax+b\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi M, N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại M,N có cùng hệ số góc bằng 3. Biết đường thẳng MN tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{{a}^{2}}+{{b}^{4}}\] bằng

A.\[\frac{2}{9}\]                           B.\[\frac{1}{4}\]                            C.\[\frac{1}{5}\]                            D.\[\frac{4}{17}\]

Câu 9: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại A, B song song với nhau. Biết đường thẳng qua hai điểm A,B là \[y=mx+n\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\] bằng

A.\[\frac{2}{9}\]                           B.\[\frac{1}{4}\]                            C.\[\frac{9}{2}\]                            D.4

Câu 10: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại A, B song song với nhau. Khoảng cách từ điểm \[I\left( -3;\frac{5}{2} \right)\] đến đường thẳng AB có giá trị lớn nhất bằng

A.\[\frac{\sqrt{17}}{2}\]                        B.\[\frac{\sqrt{137}}{2}\]                       C.\[\frac{\sqrt{15}}{2}\]            D.\[\frac{\sqrt{135}}{2}\]

Câu 11: Cho hàm số \[y=\frac{x+2}{x-1}\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi \[{{d}_{1}},{{d}_{2}}\] là hai tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng \[{{d}_{1}}\] và \[{{d}_{2}}\] bằng

A.\[2\sqrt{6}\]                  B.\[2\sqrt{3}\]                               C.\[3\sqrt{2}\]                   D.\[2\sqrt{2}\]

Câu 12: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại A, B song song với nhau và đường thẳng AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \[\frac{1}{4}\]. Tổng các hệ số góc của đường thẳng AB bằng

A.\[-\frac{15}{2}\]                        B.0                              C.\[-\frac{9}{2}\]                          D.\[-\frac{9}{4}\].

Câu 13: Cho hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại A, B song song với nhau. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm A và B bằng

A.\[\sqrt{8+4\sqrt{2}}\]             B.\[\sqrt{8+8\sqrt{2}}\]              C.\[\sqrt{4+8\sqrt{2}}\]             D.\[\sqrt{4+4\sqrt{2}}\]

Câu 14: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] là hai điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại A, B song song với nhau và \[AB=4\sqrt{2}\]. Giá trị biểu thức \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}\] bằng

A.8                              B. -2                            C.2                              D.-8

Câu 15: Cho hàm số \[y=3{{x}^{4}}+4a{{x}^{3}}+b\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Gọi M, N,P lần lượt là ba điểm phân biệt thuộc \[\left( C \right)\] sao cho tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại M, N, P có cùng hệ số góc bằng 12. Biết rằng điểm \[I\left( 1;3 \right)\] thuộc parabol đi qua ba điểm M, N,P. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[b-5a\] bằng

A.-25                          B.\[-\frac{25}{4}\]            C.-4                            D.-9

Câu 16: Cho hàm số \[y={{\left( x+m \right)}^{3}}+{{\left( x+n \right)}^{3}}-{{x}^{3}}\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại điểm có hoành độ \[x=1\] có hệ số góc nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[2{{m}^{2}}+3{{n}^{2}}\] bằng

A.\[\frac{6}{5}\]                           B.\[\frac{3}{5}\]                            C.\[\frac{3}{10}\]                         D.\[\frac{12}{5}\]

Câu 17: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-mx-1\] có đồ thị \[\left( C \right)\]. Có bao nhiêu giá trị thực của m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của \[\left( C \right)\] đi qua gốc tọa độ 0.

A.2                              B.1                              C.3                              D.4

Câu 18: Cho hàm số \[y={{\left( x+m \right)}^{3}}+{{\left( x+n \right)}^{3}}+{{\left( x+p \right)}^{3}}-{{x}^{3}}\], có đồ thị \[\left( C \right)\]. Tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại điểm có hoành độ x=1 có hệ số góc nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}+3{{p}^{2}}\] bằng

A.\[\frac{12}{11}\]                                   B.\[\frac{96}{11}\]                                    C.\[\frac{48}{11}\]                                   D.\[\frac{24}{11}\]

Câu 19: Cho hàm số \[y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-mx-m\] có đồ thị  \[\left( C \right)\]. Có bao nhiêu giá trị thực của m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  \[\left( C \right)\] đi qua gốc tọa độ 0.

A.2                              B.1                              C.3                              D.4

Câu 20: Cho hàm số \[y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a,b,c,d\in \mathbb{R},a>0 \right)\] có đồ thị \[\left( C \right)\]. Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của \[\left( C \right)\] đi qua gốc tọa độ 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ad+{{b}^{3}}d\] bằng

A.\[-\frac{27}{4}\]                        B.\[-\frac{1}{54}\]            C.\[-\frac{1}{81}\]                        D.\[-\frac{1}{108}\].

Bài viết gợi ý:

1. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

2. Tính số nghiệm của phương trình dựa vào mối quan hệ của đồ thị hàm số, số điểm cực trị, số nghiệm của phương trình đạo hàm

3. Biện luận nghiệm thực của phương trình

4. Nguyên hàm của hàm số lượng giác (Bài 2)

5. Nguyên hàm của hàm số lượng giác (Bài 1)

6. Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

7. phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian