Hệ Thức Jacobi | Huy Cao's Blog

Trang chủ » định Lý Jacobi » Hệ Thức Jacobi | Huy Cao's Blog

Có thể bạn quan tâm

Hệ thức Jacobi 

Nếu I là tâm tỉ cự của hệ điểm \left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \} với các hệ số tương ứng \left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \} thì với mọi điểm M ta có hệ thức :

\alpha _{1}MA_{1}^{2}+\alpha _{2}MA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}MA_{n}^{2}=\alpha _{1}IA_{1}^{2}+\alpha _{2}IA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}IA_{n}^{2}+\left ( \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n} \right )MI^{2}

Chứng minh :

Hệ thức cần chứng minh tương đương với :

\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\left ( MA_{i}^{2}-IA_{i}^{2} \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )MI^{2}\;(*)

Ta có :

\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\left ( MA_{i}^{2}-IA_{i}^{2} \right )=\sum _{i=1}^{n}\left [ \alpha _{i}\left ( \overrightarrow{A_{i}M}+\overrightarrow{A_{i}I} \right )\left ( \overrightarrow{A_{i}M}-\overrightarrow{A_{i}I} \right ) \right ] =\overrightarrow{IM}\sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M} +\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}I}\right )=\overrightarrow{IM}\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M} +\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{A_{i}I}\right )

Mà vì I là tâm tỉ cự của hệ điểm \left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \} với các hệ số tương ứng \left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \} nên : \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}I}=\overrightarrow{0}

Và theo công thức thu gọn : \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M}=\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )\overrightarrow{IM}

Do đó :

\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\left ( MA_{i}^{2}-IA_{i}^{2} \right )=\overrightarrow{IM}\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\overrightarrow{A_{i}M} +\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{A_{i}I}\right )=\overrightarrow{IM}\left [ \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{0} \right ]=\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )MI^{2}

Như vậy hệ thức (*) được chứng minh, hệ thức Jacobi được chứng minh.

Share this:

  • X
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » định Lý Jacobi