Hệ Tọa độ Trong Không Gian Là Gì? Công Thức Và Bài Tập Ví Dụ

Thuật ngữ và kí hiệu hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, như định nghĩa trên, kí hiệu là Oxyz. Với

• O(0;0;0) là gốc tọa độ.
• Các trục tọa độ: Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao
• \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) được gọi là các vecto đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz và đôi một vuông góc.

\(\vec{i}=(1;0;0),\vec{j}=(0;1;0),\vec{k}=(0;0;1)\)

Chú ý: \(\vec{i}^{2}=\vec{j}^{2}=\vec{k}^{2}=1\)

\(\vec{i}.\vec{j}=\vec{j}.\vec{k}=\vec{k}.\vec{i}=0\)

• Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, kí hiệu là (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau.

Tọa độ của điểm \(\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\Leftrightarrow M(x;y;z)\)

Trong đó:

• x gọi là hoành độ
• y gọi là tung độ,
• z gọi là cao độ của điểm M

Tọa độ của vecto

\(\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}\Leftrightarrow \vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})\)

Các tính chất hệ tọa độ trong không gian cần nhớ

Cho \(\vec{a}=(x_{1};y_{1};z_{1}), b=(x_{2};y_{2};z_{2})\) và số k tùy ý, ta có:

• Tổng của hai vecto là một vecto

\(\vec{a}+\vec{b}=(x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2};z_{1}+z_{2})\)

• Hiệu của hai vecto là một vecto

\(\vec{a}-\vec{b}=(x_{1}-x_{2};y_{1}-y_{2};z_{1}-z_{2})\)

• Tích của vecto với một số thực là một vecto

\(k.\vec{a}=(kx_{1};ky_{1};kz_{1})\)

• Độ dài vecto

\(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{x1^{2}+y1^{2}+z1^{2}}\)

• Tọa độ vecto không

\(\vec{0}=(0;0;0)\)

• Hai vecto bằng nhau

\(\vec{a}=\vec{b}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x_{1} & = & x_{2}\\ y_{1}&= & y_{2}\\ z_{1}& = & z_{2} \end{matrix}\right.\)

• Tích vô hướng của hai vecto

\(\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\vec{b}=0\)

• Góc giữa hai vecto bằng tích vô hướng chia tích độ dài

\(cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}.\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}\)

Công thức hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(A(x_{a};y_{a};z_{a}), B(x_{b};y_{b};z_{b})\), ta có:

• Tọa độ \(\overrightarrow{AB}\) là:

\(\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})\)

• Độ dài đoạn thẳng AB ( hay khoảng cách giữa hai điểm A và B) được tính bằng độ dài \(\overrightarrow{AB}\)

\(AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}\)

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

\(\left\{\begin{matrix} x_{I} & = &\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\ y_{I} & = & \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\\ z_{I}& = & \frac{z_{A}+z_{B}}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow I=(x_{I};y_{I};z_{I})\)

• Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho △ABC với \(A(x_{a};y_{a};z_{a}), B(x_{b};y_{b};z_{b})\)

Ta có tọa độ trọng tâm G của △ABC là: \(\left\{\begin{matrix} x_{G} & = &\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3} \\ y_{G} & = & \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\\ z_{G}& = & \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow G=(x_{G};y_{G};z_{G})\)

• Tích vô hướng của hai vecto:

\(\vec{a}.\vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\)

Bài tập hệ tọa độ trong không gian lớp 12

Ví dụ dạng bài tập về hệ tọa độ trong không gian

Cách giải dạng bài tập này như sau:

Hy vọng bài viết trên đây đã giúp bạn có được những kiến thức bổ ích cho chương trình toán học trung học phổ thông. Nếu bạn có đóng góp gì hay còn bất cứ câu hỏi nào về bài viết hệ tọa độ trong không gian thì hãy nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!