Hình Chiếu Của điểm Lên đường Thẳng | Mathoflife

Trang chủ » Hình Chiếu Của điểm Lên đường Thẳng Oxyz » Hình Chiếu Của điểm Lên đường Thẳng | Mathoflife

Có thể bạn quan tâm

1. Bài toán

Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng d

2. Phương pháp

Oxyz.duongthang5.jpg

\bullet     Viết phương trình của mặt phẳng (P)

\blacklozenge qua A

\blacklozenge có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}_P=\overrightarrow{u}_d

\bullet     Tìm H : giao điểm của d và (P)   

\bullet     Kết luận

3. Ví dụ

Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A(-1;1;2) lên đường thẳng d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}

Giải

\bigstar   Cách 1 

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u}_d=(1;2;2)

Đường thẳng d có phương trình tham số là d:\begin{cases}x=1+t\\\\y=-2+2t\\\\z=3+2t\end{cases}

H \in d \Rightarrow H(1+t;-2+2t;3+2t)     \Rightarrow \overrightarrow{AH}=(2+t;-3+2t;1+2t)

Ta có :

\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}_d \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}_d=0

\Leftrightarrow  2+t-6+4t+2+4t=0   \Leftrightarrow  9t=2   \Leftrightarrow t=\dfrac{2}{9}

\Rightarrow H\left ( \dfrac{11}{9};-\dfrac{14}{9};\dfrac{31}{9} \right )

\bigstar   Cách 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u}_d=(1;2;2)

Đường thẳng d có phương trình tham số là d:\begin{cases}x=1+t\\\\y=-2+2t\\\\z=3+2t\end{cases}

\bullet     Phương trình của mặt phẳng (P) qua A(-1;1;2) và có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}_P=\overrightarrow{u}_d=(1;2;2)

(P):A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0     ptmp

\Rightarrow (P):x+2y+2z-5=0

\bullet     Tìm H : giao điểm của d và (P)       tìm giao điểm

Xét hệ phương trình

\begin{cases}x=1+t\,\,\,\,\,(1)\\\\y=-2+2t\,\,\,\,\,\,\,(2)\\\\z=3+2t\,\,\,\,\,(3)\\\\x+2y+2z-5=0\,\,\,\,\,\,(4)\end{cases}

Thế (1), (2), (3) vào (4), ta được :

1+t+2(-2+2t)+2(3+2t)-5=0

\Rightarrow 9t-2=0

\Rightarrow t=\dfrac{2}{9}

\Rightarrow \begin{cases}x=\dfrac{11}{9}\\\\y=-\dfrac{14}{9}\\\\z=\dfrac{31}{9}\end{cases}

\bullet     Vậy hình chiếu vuông góc của điểm A(-1;1;2) lên lên đường thẳng d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2} là điểm H\left ( \dfrac{11}{9};-\dfrac{14}{9};\dfrac{31}{9} \right )

4. Bài tập

Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng d

1. A(1;2;-7),d:\begin{cases}x=-1+t\\\\y=1+2t\\\\z=2+5t\end{cases}

2. A(-1;0;6),d:\begin{cases}x=2t\\\\y=9-4t\\\\z=-2+4t\end{cases}

3. A(4;-3;2),d:\begin{cases}x=3+4t\\\\y=-3+8t\\\\z=1+3t\end{cases}

4. A(5;-1;1),d:\begin{cases}x=-5-3t\\\\y=-5+6t\\\\z=-6+2t\end{cases}

5. A(3;8;4),d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{-1}

6. A(-3;1;0),d:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+4}{5}=\dfrac{z-1}{3}

7. A(4;0;-4),d:\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y+6}{7}=\dfrac{z+4}{-2}

8. A(2;1;5),d:\dfrac{x-4}{-1}=\dfrac{y-8}{9}=\dfrac{z+1}{2}

Partager :

  • X
  • Facebook
J’aime chargement…

Từ khóa » Hình Chiếu Của điểm Lên đường Thẳng Oxyz