Hình Chóp Tứ Giác đều Là Gì. Hình Học Không Gian

Sự định nghĩa. Mặt bên- Đây là một tam giác trong đó một góc nằm ở đỉnh của hình chóp và cạnh đối diện của nó trùng với cạnh của đáy (đa giác).

Sự định nghĩa. Sườn bên là các cạnh chung của các mặt bên. Một hình chóp có bao nhiêu cạnh là một đa giác.

Sự định nghĩa. chiều cao kim tự tháp là một đường vuông góc thả từ đỉnh xuống mặt đáy của hình chóp.

Sự định nghĩa. Apothem- đây là đường trung trực của mặt bên của hình chóp, hạ từ đỉnh hình chóp xuống mặt bên của hình chóp.

Sự định nghĩa. Phần đường chéo- Đây là thiết diện của hình chóp bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp và đường chéo của mặt đáy.

Sự định nghĩa. Kim tự tháp chính xác- Đây là hình chóp có đáy là đa giác đều, chiều cao giảm xuống tâm.

Thể tích và diện tích bề mặt của hình chóp

Công thức. khối lượng kim tự tháp thông qua diện tích cơ sở và chiều cao:

tài sản kim tự tháp

Nếu tất cả các cạnh bên bằng nhau thì có thể ngoại tiếp một đường tròn xung quanh đáy của hình chóp và tâm của đáy trùng với tâm của đường tròn. Ngoài ra, vuông góc thả từ trên xuống đi qua tâm của cơ sở (đường tròn).

Nếu tất cả các sườn bên bằng nhau thì chúng nghiêng với mặt phẳng đáy một góc như nhau.

Các đường sườn bên bằng nhau khi chúng tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng đáy hoặc nếu có thể mô tả một đường tròn xung quanh đáy của hình chóp.

Nếu các mặt bên nghiêng một góc với mặt phẳng đáy thì có thể nội tiếp một đường tròn nội tiếp hình chóp và hình chiếu đỉnh của hình chóp vào tâm của nó.

Nếu các mặt bên nghiêng một góc với mặt phẳng đáy thì các hình chóp của các mặt bên bằng nhau.

Tính chất của hình chóp đều

1. Đỉnh của hình chóp cách đều tất cả các góc của mặt đáy.

2. Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.

3. Tất cả các sườn bên đều nghiêng cùng góc với mặt nền.

4. Các cạnh của tất cả các mặt bên đều bằng nhau.

5. Diện tích của tất cả các mặt bên bằng nhau.

6. Tất cả các mặt đều có cùng góc nhị diện (phẳng).

7. Một hình cầu có thể được mô tả xung quanh kim tự tháp. Tâm của hình cầu được mô tả sẽ là giao điểm của các đường vuông góc đi qua giữa các cạnh.

8. Một mặt cầu có thể nội tiếp một hình chóp. Tâm của mặt cầu nội tiếp sẽ là giao điểm của các tia phân giác góc giữa cạnh và mặt đáy.

9. Nếu tâm của mặt cầu nội tiếp trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp thì tổng các góc bẹt ở đỉnh bằng π hoặc ngược lại, một góc bằng π / n, với n là số của các góc ở đáy của hình chóp.

Sự kết nối của hình chóp với hình cầu

Một mặt cầu có thể được mô tả xung quanh hình chóp khi ở đáy của hình chóp có một hình đa diện mà xung quanh đó có thể mô tả một hình tròn (điều kiện cần và đủ). Tâm của mặt cầu sẽ là giao điểm của các mặt phẳng đi qua vuông góc với trung điểm các cạnh bên của hình chóp.

Một hình cầu luôn có thể được mô tả xung quanh bất kỳ hình chóp tam giác hoặc hình chóp đều.

Một mặt cầu có thể nội tiếp hình chóp nếu các mặt phẳng phân giác của các góc nội tiếp hình chóp cắt nhau tại một điểm (điều kiện cần và đủ). Điểm này sẽ là tâm của hình cầu.

Kết nối của hình chóp với hình nón

Một hình nón được gọi là nội tiếp hình chóp nếu các đỉnh của chúng trùng nhau và đáy của hình nón nội tiếp hình chóp.

Một hình nón có thể nội tiếp hình chóp nếu các ngoại tiếp của hình chóp đều.

Một hình nón được cho là ngoại tiếp một hình chóp nếu các đỉnh của chúng trùng nhau và đáy của hình nón đó là đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp.

Một hình nón có thể được mô tả xung quanh một hình chóp nếu tất cả các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau.

Kết nối của một kim tự tháp với một hình trụ

Một hình chóp được cho là nội tiếp một hình trụ nếu đỉnh của hình chóp nằm trên một đáy của hình trụ và đáy của hình chóp nội tiếp trong một đáy khác của hình trụ.

Một hình trụ có thể ngoại tiếp một hình chóp nếu một đường tròn có thể ngoại tiếp đáy của hình chóp.

Sự định nghĩa. Hình chóp cụt (hình lăng trụ đứng)- Đây là hình đa diện đều nằm giữa mặt đáy của hình chóp và một mặt phẳng tiết diện song song với mặt đáy. Do đó, kim tự tháp có một đáy lớn và một đáy nhỏ hơn tương tự như một khối lớn hơn. Các mặt bên là hình thang.

Sự định nghĩa. Hình chóp tam giác (tứ diện)- Đây là một hình chóp trong đó có ba mặt và đáy là các tam giác tùy ý.

Một hình tứ diện có bốn mặt và bốn đỉnh và sáu cạnh, trong đó hai cạnh bất kỳ không có đỉnh chung nào nhưng không chạm nhau.

Mỗi đỉnh bao gồm ba mặt và các cạnh tạo thành góc tam diện.

Đoạn nối đỉnh của tứ diện với tâm của mặt đối diện được gọi là đường trung bình của tứ diện(GM).

Bimedian gọi là đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện không tiếp xúc với nhau (KL).

Tất cả các đường trung trực và trung trực của tứ diện đều cắt nhau tại một điểm (S). Trong trường hợp này, người đo bimedian được chia đôi và các trung gian theo tỷ lệ 3: 1 bắt đầu từ trên cùng.

Sự định nghĩa. kim tự tháp nghiêng là hình chóp mà một trong các cạnh tạo thành góc tù (β) với mặt đáy.

Sự định nghĩa. Kim tự tháp hình chữ nhật là hình chóp mà một trong các mặt bên vuông góc với mặt đáy.

Sự định nghĩa. Kim tự tháp góc nhọn là một hình chóp trong đó hình chóp có chiều dài hơn nửa chiều dài của cạnh đáy.

Sự định nghĩa. kim tự tháp tù là một hình chóp trong đó hình chóp có chiều dài nhỏ hơn một nửa chiều dài của cạnh đáy.

Sự định nghĩa. tứ diện đều Một tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều. Nó là một trong năm đa giác đều. Trong một tứ diện đều, tất cả các góc nhị diện (giữa các mặt) và các góc tam diện (tại một đỉnh) bằng nhau.

Sự định nghĩa. Tứ diện hình chữ nhật Một tứ diện được gọi là tứ diện có một góc vuông giữa ba cạnh ở đỉnh (các cạnh này vuông góc với nhau). Ba khuôn mặt hình thành góc tam diện hình chữ nhật và các mặt là tam giác vuông, và đáy là một tam giác tùy ý. Phần apothem của bất kỳ mặt nào cũng bằng một nửa cạnh của mặt nền mà khối apothem rơi vào.

Sự định nghĩa. Tứ diện đều Một tứ diện được gọi là trong đó các mặt bên bằng nhau và đáy là một tam giác đều. Các mặt của một tứ diện như vậy là các tam giác cân.

Sự định nghĩa. Tứ diện trực tâm Một tứ diện được gọi là trong đó tất cả các đường cao (vuông góc) hạ thấp từ đỉnh đến mặt đối diện cắt nhau tại một điểm.

Sự định nghĩa. kim tự tháp sao Một hình đa diện có đáy là một ngôi sao được gọi là.

Sự định nghĩa. Bipyramid- Một hình đa diện gồm hai hình chóp khác nhau (hình chóp đều có thể cắt rời), có một đáy chung và các đỉnh nằm về hai phía đối diện của mặt phẳng đáy. Ghi chú. Đây là phần bài học các bài toán về hình học (phần hình học rắn, các bài toán về hình chóp). Nếu bạn cần giải một vấn đề trong hình học, vấn đề này không có ở đây - hãy viết về nó trong diễn đàn. Trong các nhiệm vụ, thay vì ký hiệu "căn bậc hai", hàm sqrt () được sử dụng, trong đó sqrt là ký hiệu căn bậc hai và biểu thức căn được biểu thị trong dấu ngoặc.Đối với các biểu thức căn đơn giản, dấu "√" có thể được sử dụng.

Tài liệu và công thức lý thuyết, xem chương "Hình chóp đều".

Nhiệm vụ

Hình chóp tam giác đều có đáy là 4 cm và góc ở đáy là 60o. Tìm thể tích của hình chóp.

Quyết định.

Vì hình chóp là đúng, hãy xem xét những điều sau:

• Chiều cao của hình chóp được chiếu vào tâm của đáy là
• Tâm của hình chóp đều theo điều kiện đề bài là tam giác đều.
• Tâm của tam giác đều vừa là tâm đường tròn nội tiếp vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Chiều cao của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy là một góc vuông

Thể tích của một kim tự tháp có thể được tìm thấy bằng công thức: V = 1/3 Sh

Vì hình chóp đều tạo thành một tam giác vuông cùng với chiều cao của hình chóp nên ta sử dụng định lý sin để tìm chiều cao. Ngoài ra, hãy tính đến:

• Chân thứ nhất của tam giác vuông được coi là chiều cao, chân thứ hai là bán kính của đường tròn nội tiếp (trong tam giác đều, tâm vừa là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp), cạnh huyền là cạnh huyền của Kim tự tháp
• Góc thứ ba của tam giác vuông là 30 độ (tổng các góc của tam giác là 180 độ, góc 60 độ cho trước theo điều kiện, góc thứ hai là góc vuông theo tính chất của hình chóp, thứ ba là 180-90-60 = 30)
• sin của 30 độ là 1/2
• sin của 60 độ bằng căn bậc hai của ba
• sin 90 độ là 1

Theo định lý sin: 4 / sin (90) = h / sin (60) = r / sin (30) 4 = h / (√3 / 2) = 2r ở đâu r = 2 h = 2√3

Ở đáy của hình chóp là một tam giác đều, diện tích \ u200b \ u200b có thể được tìm thấy bằng công thức: S của tam giác đều = 3√3 r 2. S = 3√3 2 2. S = 12√3.

Bây giờ hãy tìm thể tích của hình chóp: V = 1/3 Sh V = 1/3 * 12√3 * 2√3 V \ u003d 24 cm 3.

Trả lời: 24 cm3.

Nhiệm vụ

Chiều cao và cạnh bên của hình chóp tứ giác đều lần lượt là 24 và 14. Tìm thiết diện của hình chóp.

Quyết định .

Vì hình chóp đều nên tại đáy của nó là một tứ giác đều - một hình vuông. Ngoài ra, chiều cao của hình chóp đều được chiếu vào tâm của hình vuông. Như vậy, chân của một tam giác vuông do hình chóp đều tạo thành thì chiều cao và đoạn nối chúng bằng một nửa độ dài đáy của một hình chóp tứ giác đều.

Từ đó, theo định lý Pitago, độ dài của apothem sẽ được tìm thấy từ phương trình:

72 + 242 = x2 x2 = 625 x = 25

Đáp số: 25 cm

• apothem- chiều cao của mặt bên của hình chóp đều tính từ đỉnh của nó (ngoài ra, đỉnh là độ dài của đường vuông góc, được hạ thấp từ giữa của một đa giác đều đến 1 trong các mặt của nó);
• mặt bên (ASB, BSC, CSD, DSA) - tam giác đồng quy ở đỉnh;
• sườn bên ( BẰNG , BS , CS , D.S. ) - các mặt chung của các mặt bên;
• đỉnh của kim tự tháp (v. S) - điểm nối các cạnh bên và không nằm trong mặt phẳng của đế;
• Chiều cao ( VÌ THẾ ) - một đoạn vuông góc, được vẽ qua đỉnh của hình chóp với mặt phẳng của nó (các đầu của một đoạn như vậy sẽ là đỉnh của hình chóp và đáy của hình vuông góc);
• phần đường chéo của một kim tự tháp- Mặt cắt của hình chóp đi qua đỉnh và đường chéo của đáy;
• căn cứ (A B C D) là một đa giác không thuộc đỉnh của hình chóp.

tính chất kim tự tháp.

1. Khi tất cả các cạnh bên có cùng kích thước, thì:

• gần đáy của kim tự tháp có thể dễ dàng mô tả một hình tròn, còn đỉnh của kim tự tháp sẽ được chiếu vào tâm của hình tròn này;
• các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng nhau;
• Ngoài ra, câu chuyện ngược cũng đúng, tức là Khi các cạnh bên tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng đáy hoặc khi mô tả một đường tròn ở gần đáy của hình chóp và hình chiếu đỉnh của hình chóp vào tâm của hình tròn này thì tất cả các cạnh bên của hình chóp đều có cùng kích thước.

2. Khi các mặt bên có góc nghiêng so với mặt phẳng đáy cùng giá trị thì:

• gần đáy của kim tự tháp, người ta dễ dàng mô tả một hình tròn, còn đỉnh của kim tự tháp sẽ được chiếu vào tâm của hình tròn này;
• chiều cao của các mặt bên có độ dài bằng nhau;
• diện tích của mặt bên bằng ½ tích của chu vi của đáy và chiều cao của mặt bên.

3. Có thể mô tả một mặt cầu gần hình chóp nếu đáy của hình chóp là một đa giác xung quanh có thể mô tả được một đường tròn (điều kiện cần và đủ). Tâm của mặt cầu sẽ là giao điểm của các mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh của hình chóp vuông góc với chúng. Từ định lý này, chúng tôi kết luận rằng một hình cầu có thể được mô tả cả xung quanh bất kỳ tam giác và xung quanh bất kỳ hình chóp đều.

4. Một mặt cầu có thể nội tiếp hình chóp nếu mặt phẳng phân giác của các góc nội tiếp hình chóp cắt nhau tại điểm thứ nhất (điều kiện cần và đủ). Điểm này sẽ trở thành tâm của hình cầu.

Kim tự tháp đơn giản nhất.

Theo số lượng các góc của hình chóp, chúng được chia thành tam giác, tứ giác, v.v.

Kim tự tháp sẽ hình tam giác, hình tứ giác, v.v., khi đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, v.v. Hình chóp tam giác đều là tứ diện - tứ diện. Tứ giác - pentahedron và như vậy.

Dưới đây là thông tin cơ bản được thu thập về hình chóp cùng các công thức và khái niệm liên quan. Tất cả các em đều được học với gia sư môn Toán để chuẩn bị cho kỳ thi.

Xét một mặt phẳng, một đa giác nằm trong đó và một điểm S không nằm trong đó. Nối S với tất cả các đỉnh của đa giác. Hình đa diện được gọi là hình chóp. Các đoạn được gọi là các cạnh bên. Đa giác được gọi là đáy và điểm S được gọi là đỉnh của hình chóp. Tùy thuộc vào số n, hình chóp được gọi là tam giác (n = 3), tứ giác (n = 4), ngũ giác (n = 5), v.v. Tên thay thế cho kim tự tháp tam giác - tứ diện. Chiều cao của một hình chóp là đường vuông góc vẽ từ đỉnh của nó đến mặt phẳng đáy.

Một kim tự tháp được gọi là đúng nếu một đa giác đều và đáy đường cao của hình chóp (đáy của hình vuông góc) là tâm của nó.

Nhận xét của gia sư:Đừng nhầm lẫn giữa khái niệm "hình chóp đều" và "hình tứ diện đều". Trong một hình chóp đều, các cạnh bên không nhất thiết phải bằng các cạnh của đáy, nhưng trong một tứ diện đều thì cả 6 cạnh của các cạnh đều bằng nhau. Đây là định nghĩa của anh ấy. Dễ dàng chứng minh rằng đẳng thức ngụ ý rằng tâm P của đa giác có đáy là chiều cao nên tứ diện đều là hình chóp đều.

Apothem là gì?Apothem của một kim tự tháp là chiều cao của mặt bên của nó. Nếu hình chóp đều, thì tất cả các đỉnh của nó đều bằng nhau. Điều ngược lại là không đúng sự thật. Gia sư toán học về thuật ngữ của mình: công việc với kim tự tháp là 80% được xây dựng thông qua hai loại tam giác: 1) Chứa apothem SK và chiều cao SP 2) Chứa cạnh bên SA và hình chiếu của nó PA Để đơn giản hóa các tham chiếu đến các tam giác này, sẽ thuận tiện hơn cho một gia sư toán học đặt tên cho chúng đầu tiên ngôn ngữ và thứ hai đắt tiền. Thật không may, bạn sẽ không tìm thấy thuật ngữ này trong bất kỳ sách giáo khoa nào, và giáo viên phải đơn phương giới thiệu nó.

Công thức thể tích kim tự tháp: 1) , đâu là diện tích của đáy của hình chóp, và là chiều cao của hình chóp 2), trong đó là bán kính của hình cầu nội tiếp, và là tổng diện tích bề mặt của hình chóp. 3) , trong đó MN là khoảng cách của hai cạnh chéo bất kỳ và là diện tích của hình bình hành được tạo thành bởi trung điểm của bốn cạnh còn lại.

Thuộc tính cơ sở chiều cao kim tự tháp:

Điểm P (xem hình vẽ) trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 1) Tất cả các apothems đều bình đẳng 2) Tất cả các mặt bên đều nghiêng như nhau về phía cơ sở 3) Tất cả các hình chóp đều có chiều nghiêng như nhau đối với chiều cao của hình chóp. 4) Chiều cao của hình chóp nghiêng đều các mặt bên là

Lời bình của gia sư toán: lưu ý rằng tất cả các điểm được thống nhất bởi một tính chất chung: bằng cách này hay cách khác, các mặt tham gia ở khắp mọi nơi (apothems là yếu tố của chúng). Vì vậy, gia sư có thể đưa ra một công thức kém chính xác hơn, nhưng thuận tiện hơn cho việc ghi nhớ: điểm P trùng với tâm đường tròn nội tiếp, đáy của hình chóp, nếu có bất kỳ thông tin nào bằng nhau về các mặt bên của nó. Để chứng minh điều đó, chỉ cần chứng minh rằng tất cả các tam giác toán học đều bằng nhau.

Điểm P trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp nếu một trong ba điều kiện là: 1) Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau 2) Tất cả các sườn bên đều nghiêng như nhau về phía cơ sở 3) Tất cả các sườn bên đều nghiêng về chiều cao

Để giải quyết thành công các vấn đề trong hình học, cần phải hiểu rõ ràng các thuật ngữ mà khoa học này sử dụng. Ví dụ, đây là "đường thẳng", "mặt phẳng", "đa diện", "kim tự tháp" và nhiều hình khác. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi apothem là gì.

Sử dụng hai lần thuật ngữ "apothem"

Trong hình học, ý nghĩa của từ "apothem" hoặc "apoteme", như nó còn được gọi, phụ thuộc vào đối tượng mà nó được áp dụng. Có hai loại hình khác nhau về cơ bản, trong đó nó là một trong những đặc điểm của chúng.

Trước hết, đây là những đa giác phẳng. Apothem cho một đa giác là gì? Đây là chiều cao được vẽ từ tâm hình học của hình tới bất kỳ cạnh nào của nó.

Để làm rõ hơn những gì đang bị đe dọa, hãy xem xét một ví dụ cụ thể. Giả sử rằng có một hình lục giác đều trong hình dưới đây.

Ký hiệu l biểu thị chiều dài của cạnh của nó, chữ a biểu thị ô chữ. Đối với tam giác được đánh dấu, nó không chỉ là chiều cao, mà còn là đường phân giác và đường trung tuyến. Dễ dàng chỉ ra rằng về mặt bên l, nó có thể được tính như sau:

Tương tự, apothem được định nghĩa cho bất kỳ n-gon nào.

Thứ hai là các kim tự tháp. Một câu cách ngôn cho một con số như vậy là gì? Vấn đề này cần được xem xét chi tiết hơn.

Về chủ đề này: Làm thế nào để làm cho lông mi của bạn dài và dày chỉ trong một tháng?

Kim tự tháp và apothem của chúng

Đầu tiên, hãy xác định một kim tự tháp về mặt hình học. Hình này là một vật thể ba chiều được tạo thành bởi một n-gon (cơ sở) và n hình tam giác (cạnh). Cái sau được kết nối tại một điểm, được gọi là đỉnh. Khoảng cách từ nó đến chân đế là chiều cao của hình. Nếu nó nằm trên tâm hình học của n-gon thì hình chóp được gọi là thẳng. Ngoài ra, nếu n-gon có các góc và các cạnh bằng nhau thì hình đó được gọi là hình đều. Dưới đây là một ví dụ về một kim tự tháp.

Một câu cách ngôn cho một con số như vậy là gì? Đây là đường vuông góc nối các cạnh của n-gon với đỉnh của hình. Rõ ràng, nó đại diện cho chiều cao của tam giác, là mặt bên của hình chóp.

Apothem rất thuận tiện để sử dụng khi giải các bài toán hình học về hình chóp đều. Thực tế là đối với chúng tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân. Thực tế cuối cùng có nghĩa là tất cả n apothems đều bằng nhau, vì vậy đối với một hình chóp đều, chúng ta có thể nói về một đường thẳng như vậy.

Apothem của một kim tự tháp tứ giác đúng

Có lẽ ví dụ rõ ràng nhất về con số này sẽ là kỳ quan đầu tiên nổi tiếng của thế giới - kim tự tháp Cheops. Cô ấy đang ở Ai Cập.

Đối với bất kỳ hình nào như vậy có cơ sở n-gonal thông thường, có thể đưa ra các công thức cho phép người ta xác định vị trí của nó theo chiều dài a của cạnh của đa giác, theo cạnh bên b và chiều cao h. Sau đây chúng ta viết các công thức tương ứng của hình chóp thẳng có đáy là hình vuông. Apothem h b cho nó sẽ bằng:

Về chủ đề này: Cờ của Bashkiria - mô tả, biểu tượng và lịch sử

h b \ u003d √ (b 2 - a 2/4);

h b \ u003d √ (h 2 + a 2/4)

Biểu thức đầu tiên hợp lệ với bất kỳ hình chóp thông thường nào, biểu thức thứ hai - chỉ dành cho hình tứ giác.

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách sử dụng những công thức này để giải quyết vấn đề.

vấn đề hình học

Cho hình chóp thẳng có đáy là hình vuông. Nó là cần thiết để tính toán diện tích cơ sở của nó. Hình chóp đều là 16 cm, chiều cao bằng 2 lần cạnh bên.

Mọi học sinh đều biết: để tìm diện tích của hình vuông, là đáy của hình chóp đang xét, bạn phải biết cạnh của nó là a. Để tìm nó, chúng tôi sử dụng công thức sau cho apothem:

h b \ u003d √ (h 2 + a 2/4)

Ý nghĩa của apothem được biết đến từ điều kiện của vấn đề. Vì chiều cao h gấp đôi chiều dài cạnh a nên biểu thức này có thể được chuyển đổi như sau:

h b = √ ((2 * a) 2 + a 2/4) = a / 2 * √17 =>

a = 2 * h b / √17

Diện tích của một hình vuông bằng tích các cạnh của nó. Thay biểu thức kết quả cho a, ta có:

S \ u003d a 2 \ u003d 4/17 * h b 2

Vẫn thay giá trị của apothem từ điều kiện của bài toán vào công thức và viết ra đáp số: S ≈ 60,2 cm 2.

Đọc thêm: