Hình Học 10/Chương I/§2. Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ - VLOS

Trang chủ » Tính Chất Vecto Trong Tam Giác đều » Hình Học 10/Chương I/§2. Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ - VLOS

Có thể bạn quan tâm

Chia sẻ lên facebook Chia sẻ lên twitter In trang này {\vec a}+{\vec b}=?,\ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=?,\ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}=?,\ \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=?

Mục lục

  • 1 Lí thuyết
    • 1.1 Tổng của hai vectơ
    • 1.2 Quy tắc hình bình hành
    • 1.3 Tính chất của phép cộng các vectơ
    • 1.4 Hiệu của hai vectơ
      • 1.4.1 a) Vectơ đối
      • 1.4.2 b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
    • 1.5 Áp dụng
  • 2 BÀI TẬP

Lí thuyết[sửa]

Tổng của hai vectơ[sửa]

Cho hai vectơ {\vec a} và {\vec b} . Lấy một điểm O tùy ý, vẽ \overrightarrow {OA}={\vec a} và \overrightarrow {AB}={\vec b} . Vectơ \overrightarrow {OB} được gọi là tổng của hai vectơ {\vec a} và {\vec b} . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ {\vec a} và {\vec b} là {\vec a}+{\vec b} . Vậy \overrightarrow {OB}={\vec a}+{\vec b} (hình 1-6). Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
 
Hình 1-6

Quy tắc hình bình hành[sửa]

Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC} (hình 1-7).

Hình 1-7

Tính chất của phép cộng các vectơ[sửa]

Với ba vectơ {\vec a},{\vec b},{\vec c}\; tùy ý ta có:
{\vec a}+{\vec b}={\vec b}+{\vec a}\; (tính chất giao hoán)
({\vec a}+{\vec b})+{\vec c}={\vec a}+({\vec b}+{\vec c})\; (tính chất kết hợp)
{\vec a}+\overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}+{\vec a}={\vec a}\; (tính chất của vectơ-không).

Hình 1-8 dưới đây, minh họa các tính chất trên.

Hình 1-8
Hoạt động 1 Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1-8.
 

Hiệu của hai vectơ[sửa]

a) Vectơ đối[sửa]

Hoạt động 2 Vẽ hình bình hành ABCD. Hãy nhận xét về độ dài và hướng của hai vectơ \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {CD}
 
Cho vectơ {\vec a} . vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với {\vec a} được gọi là vectơ đối của vectơ {\vec a} , kí hiệu là -{\vec a} .
 

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của \overrightarrow {AB} là \overrightarrow {BA} , nghĩa là -\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA} .

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ {\vec 0} là vectơ {\vec 0} .

VÍ DỤ 1 Hình 1-9 Nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 1-9), khi đó ta có:
  • Hai vectơ \overrightarrow {DC} và \overrightarrow {EF} có cùng độ dài nhưng ngược hướng với nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau. Do đó, ta có thể viết
-\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {DC} hoặc -\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {EF}

Tương tự, ta có:

  • -\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {BD} hoặc -\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {EF}
  • -\overrightarrow {EA}=\overrightarrow {EC} hoặc -\overrightarrow {EC}=\overrightarrow {EA}
 
Hoạt động 3 Cho \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}={\vec 0} . Hãy chứng tỏ là vectơ \overrightarrow {BC} là vectơ đối của \overrightarrow {AB} .
 

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ[sửa]

Cho hai vectơ {\vec a} và {\vec b} . Ta gọi hiệu của hai vectơ {\vec a} và {\vec b} là vectơ {\vec a}+(-{\vec b}) . Kí hiệu {\vec a}-{\vec b} .
 
Như vậy:
{\vec a}-{\vec b}={\vec a}+(-{\vec b})
Hình 1-10 CHÚ Ý 1) Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:
  • Quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu (suy ra từ định nghĩa hiệu của hai vectơ)
\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB}   hay \overrightarrow {CB}=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}
  • Quy tắc ba điểm (Quy tắc cộng hai vectơ liên tiếp)
\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}   hay \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}
VÍ DỤ 2 Chứng minh rằng: "Với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có: \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB} ".

Ta có:

\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {CB}\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CD}\Leftrightarrow \overrightarrow {DB}=\overrightarrow {DB} - luôn đúng.

Vậy đẳng thức đã cho luôn đúng (đpcm).
 

Áp dụng[sửa]

Hình 1-11

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow {IA}+\overrightarrow {IB}={\vec 0} .

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}={\vec 0} .

CHỨNG MINH

b)

  • Thuận
  1. Gọi I là trung điểm của BC.
  2. Vẽ D là điểm đối xứng với G qua I.
  3. Từ (1)&(2) suy ra BGCD là hình bình hành.
  4. Từ (3) suy ra \overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GD}
  5. Từ (2) suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
  6. Từ (5) suy ra \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec 0} .
  7. Từ (4)&(6), ta có: \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec 0} (đpcm).
  • Đảo

Ngược lại, giả sử \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}={\vec 0} . Vẽ hình bình hành BGCD có I là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó \overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {GD} , suy ra \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GD}={\vec 0} nên G là trung điểm của AD. Do đó ba điểm A, G, D thẳng hàng, GA = 2 GI, điểm G nằm giữa A và I. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

BÀI TẬP[sửa]

1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ \overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB} và \overrightarrow {MA}-\overrightarrow {MB} .

2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MD} .

3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
a) \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DA}={\vec 0} b) \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CD} .

4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \overrightarrow {RJ}+\overrightarrow {IQ}+\overrightarrow {PS}={\vec 0} .

5. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC} và \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC} .

6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) \overrightarrow {CO}-\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {AB} b) \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {DB}
c) \overrightarrow {DA}-\overrightarrow {DB}=\overrightarrow {OD}-\overrightarrow {OC} d) \overrightarrow {DA}-\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {DC}={\vec 0}
7. Cho {\vec a},{\vec b} là hai vectơ khác vectơ {\vec 0} . Khi nào có đẳng thức:
a) |{\vec a}+{\vec b}|=|{\vec a}|+|{\vec b}| b) |{\vec a}+{\vec b}|=|{\vec a}-{\vec b}|

8. Cho |{\vec a}+{\vec b}|=0 . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ {\vec a} và {\vec b} .

9. Chứng minh rằng \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD} khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

10. Cho ba lực \overrightarrow {F_{1}}=\overrightarrow {MA},\overrightarrow {F_{2}}=\overrightarrow {MB} và \overrightarrow {F_{3}}=\overrightarrow {MC} cùng động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \overrightarrow {F_{1}},\overrightarrow {F_{2}} đều là 100N và \widehat {AMB}=60^{\circ } . Tìm cường độ và hướng của lực \overrightarrow {F_{3}} .

<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

  • Hình học 10
  • Hình học 10/Chuẩn kiến thức và kĩ năng
  • Hình học 10/Chương I/§3. Tích của vectơ với một số
  • Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
  • Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007

Từ khóa » Tính Chất Vecto Trong Tam Giác đều