Hình Học 7 Bài Toán Về Tam Giác Vuông - 123doc

Nội dung

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ tia phân giác trong BD của góc , D thuộc AC. Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên BC. BD cắt AE tại H, tia ED và BA cắt nhau tại F. 1) Chứng minh rằng và . 2) Chứng minh rằng và H là trung điểm AE. 3) So sánh AD và CD. 4) Chứng minh rằng và tam giác BFC cân. 5) Chứng minh rằng và . 6) Gọi I là trung điểm CF, chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng. Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc và . Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. 1) Chứng minh . 2) Chứng minh là tam giác đều. 3) Tính độ dài cạnh AC. Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc . Tia phân giác trong góc B cắt AC tại D. Qua D kẻ đường vuông góc BC tại E, cắt tia BA tại F. 1) Chứng minh tam giác ABE đều và BD vuông góc AE. 2) Chứng minh rằng tam giác BCD cân và . 3) Chứng minh rằng và tính góc . 4) Gọi I là trung điểm CF. Chứng minh rằng B, I, D thẳng hàng. 5) Biết rằng . Tính các cạnh .

Bài tốn tam giác vng Hình học Bài tập có hướng dẫn đáp án Câu Cho tam giác ABC vuông A Kẻ tia phân giác BD góc ABC , D thuộc AC Gọi E hình chiếu vng góc D BC BD cắt AE H, tia ED BA cắt F 1) Chứng minh ABD  EBD AB  BE 2) Chứng minh BD  AE H trung điểm AE 3) So sánh AD CD 4) Chứng minh AF  CE tam giác BFC cân 5) Chứng minh AE / /CF BD  CF 6) Gọi I trung điểm CF, chứng minh B, D, I thẳng hàng Hướng dẫn 1) Trước hết BD phân giác nên ABD  EBD  ABC  BD chung  Do ta có  ABD  EBD  ABD  EBD  c.h  g n    BAD  BED  90 Do ABD  EBD  AB  BE  AB  BE 2) Từ chứng minh a ta có ABD  EBD    DA  DE Như B D cách A E nên BD trung trực AE Do đó, BD vng góc AE trung điểm AE, mà theo giả thiết BD cắt AE H nên H phải trung điểm AE Nói cách khác, BD vng góc AE trung điểm H AE 3) Ta chứng minh AD  DE Xét điểm D đường thẳng BC ta có DE đường vng góc, cịn DC đường xiên kẻ từ D tới BC Do DE  DC Vậy AD  DE  DC 4) Xét tam giác ADF EDC có:  AD  ED    ADF  EDC  c.g.v  g.n   AF  EC  DAF  DEC  90    ADF  EDC  doi dinh   BF  AB  AF Ta có   BC  BE  EC Mà từ chứng minh ta có AB  BE; AF  EC suy BF  BC hay tam giác BFC cân B 5) Từ chứng minh ta BAE BFC tam giác cân có chung góc đỉnh B Do góc đáy nhau, hay BAE  BFC  1800  ABC Mà góc đồng vị nên AE / /CF Từ chứng minh có BD  AE  BD  CF 6) Ta có BF  BC ADF  EDC  DF  DC Như B D cách F, C nên BD trung trực FC Do BD vng góc CF trung điểm CF Mà I trung điểm CF nên BD qua I hai B, I, D thẳng hàng Câu Cho tam giác ABC vuông A D chân đường phân giác góc B, D thuộc BC Lấy điểm E cạnh BC cho BE  BA 1) So sánh DA DE 2) Kẻ đường cao AK tam giác ABC, K thuộc BC Chứng minh DE / / AK 3) Gọi H giao điểm AE BD Chứng minh HA  HE 4) Tia ED BA cắt F Chứng minh ADF  EDC 5) Tam giác BFC tam giác gì? Vì sao? 6) Chứng minh BD  CF Hướng dẫn 1) Trước hết BD phân giác nên ABD  EBD  ABC  BA  BE  Khi ta có  BD chung  ABD  EBD  c.h  c.g v   DA  DE   ABD  EBD 2) Do ABD  EBD  BED  BAD  900  DE  BC Mà AK  BC  DE / / AK  BA  BE 3) Từ chứng minh ta   DA  DE B, D cách A, E nên BD trung trực AE, suy BD phải vng góc AE trung điểm AE Mà theo giả thiết BD cắt AE H nên H trung điểm AE hay HA  HE 4) Xét tam giác ADF EDC có:  AD  ED    ADF  EDC  c.g.v  g n   DAF  DEC  90    ADF  EDC  doi dinh   BF  AB  AF 5) Ta có   BC  BE  EC Mà từ chứng minh ta có AB  BE; AF  EC suy BF  BC hay tam giác BFC cân B 6) Ta có ADF  EDC  DF  DC Như BF  BC; DF  DC nên BD trung trực CF, suy BD  CF Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AK, K thuộc BC Đường phân giác góc B cắt AC D Qua A kẻ đường vng góc BD H cắt BC E 1) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao? 2) Chứng minh DA  DE DB phân giác góc ADE 3) Chứng minh DE / / AK AE phân giác góc CAK 4) Gọi F giao điểm tia ED BA Chứng minh AC  EF EF  BC 5) Chứng minh BD qua trung điểm CF Hướng dẫn 1) Do BD tia phân giác nên ABH  EBH  ABC  AHB  EHB  900  Khi ta có  BH chung  AHB  EHB  c.g.v  g.n   BA  BE   ABH  EBH Vậy tam giác ABE cân B  BD chung  2) Từ kết chứng minh 1, ta có  BA  BE  ABD  EBD  c.g.c    ABD  EBD Suy ADB  EDB hay DB phân giác góc ADE 3) Do ABD  EBD  BED  BAD  900  DE  BC Mà AK  BC  DE / / AK Khi ta có KAE  DEA (so le trong) Mà ABD  EBD  DA  DE hay tam giác ADE cân D nên DEA  DAE   Suy KAE  DAE  DEA hay AE phân giác góc KAC  BA  BE  4) Ta có  ABC chung  BAC  BEF  c.g.v  g n   AC  EF   BAC  BEF  90 Tam giác ABC vuông A nên AC  BC  EF  AC  BC 5) Do BAC  BEF  BF  BC  AD  ED  Mặt khác  DAF  DEC  900  ADF  EDC  c.g v  g n   DF  DC   ADF  EDC Như vậy, BF  BC; DF  DC nên BD trung trực CF, suy BD qua trung điểm CF Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD đường cao AK (D thuộc AC, K thuộc BC) Kẻ DE vng góc BC, E thuộc BC Gọi H giao điểm AE BD 1) Chứng minh tam giác ABE cân H trung điểm AE 2) Chứng minh DE / / AK AE phân giác góc KAC 3) Gọi G giao điểm AK BD Chứng minh tứ giác ADEG có cạnh 4) Chứng minh GE / / AC 5) Qua C kẻ đường vng góc tia BD I Chứng minh đường AB, DE, CI đồng quy Hướng dẫn  BD chung  1) Ta có  ABD  EBD  ABD  EBD  c.h  g n    BAD  BED  90 Do BA  BE; DA  DE hay tam giác ABE cân B Đồng thời, B, D cách A, E nên BD trung trực AE nên BD vng góc AE trung điểm AE Mà theo giả thiết BD cắt AE H nên H trung điểm AE 2) DE / / AK vng góc BC Khi ta có KAE  DEA (so le trong) Mà ABD  EBD  DA  DE hay tam giác ADE cân D nên DEA  DAE   Suy KAE  DAE  DEA hay AE phân giác góc KAC GA  GE 3) Do BD trung trực AE chứng minh nên   DA  DE Mặt khác, từ kết chứng minh ta có   AH chung   AHD  AHG  90  AHD  AHG  c.g v  g n   AG  AD   HAG  HAD  KAC  Vậy, AG  GE  DE  AD hay tứ giác ADEG có cạnh 4) Ta có H trung điểm AE hay HA  HE  HA  HE  Cùng kết chứng minh ta có  AD  EG  HAD  HEG   AHD  EHG  90 Mà hai góc so le nên GE / / AD 5) Ta có DE  BC; BA  CD; CI  AD nên AB, DE, CI đường cao tam giác BCD Do đường đồng quy điểm Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AK (K thuộc BC) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE  BA Qua E kẻ đường vng góc BC cắt cạnh AC D 1) Chứng minh BD tia phân giác góc ABC DB tia phân giác góc ADE 2) Gọi H, G giao điểm AE, AK với BD Chứng minh tam giác ADG cân H trung điểm DG 3) Chứng minh GE  AB tứ giác ADEG có cạnh 4) So sánh độ dài đoạn AD, CD DE 5) Biết AB  5cm góc ABC  600 Tính độ dài cạnh BC Hướng dẫn  BA  BE  1) Ta có  BD chung  BAD  BED  c.h  c.g v    BAD  BED  90 Do ABD  EBD hay BD phân giác góc ABC ADB  EDB hay DB phân giác góc ADE 2) Ta có DE / / AK vng góc BC nên GAH  DEA (so le trong) Mặt khác, BAD  BED  DA  DE hay tam giác ADE cân D nên   DEA  DAH Suy KAH  GAH  DEA  AH chung  Như vậy, ta có  AHD  AHG  900  AHD  AHG  c.g v  g n    DAH  GAH Suy AD  AG hay tam giác ADG cân A  BA  BE 3) Từ chứng minh trên, ta có  nên BD trung trực AE  DA  DE Do BD vng góc AE trung điểm AE, điểm H theo giả thiết Đồng thời, AHD  AHG  HD  HG  HA  HE   AHD  EHG  2c g.v  Như  HD  HG   AHD  EHG  90 Suy HEG  HAD mà góc so le nên GE / / AD Mà AD  AB  GE  AB Ta chứng minh DA  DE; AD  AG Mà AHD  EHG  AD  GE Vậy AD  AG  EG  DE hay tứ giác ADEG có cạnh 4) Ta chứng minh AD  DE Tam giác DEC vuông E nên DE  CD Vậy AD  DE  CD 5) Lấy F điểm đối xứng với B qua A CA chung  Ta có CAB  CAF  900  CAB  CAF  2c.g v   CB  CF  AB  AF  Suy tam giác BCF cân C Mà góc ABC  900 nên CBF tam giác Do BC  2.BA  2.5  10cm Câu Cho tam giác ABC vng A có góc ABC  600 Tia phân giác góc B cắt AC D Qua D kẻ đường vng góc BC E, cắt tia BA F 1) Chứng minh tam giác ABE BD vng góc AE 2) Chứng minh tam giác BCD cân EB  EC 3) Chứng minh DF  DC tính góc BCF 4) Gọi I trung điểm CF Chứng minh B, I, D thẳng hàng 5) Biết AB  6cm Tính cạnh BC; BE; AC Hướng dẫn  BD chung  1) Ta có  BAD  BED  ABD  EBD  c.h  g n   BA  BE   ABD  EBD Do tam giác ABE cân B, mà góc ABC  600 nên trở thành tam giác  BA  BE Đồng thời ABD  EBD   nên BD trung trực AE, suy BD  AE DA  DE  2) Ta có ABC  600  DBC  1 ABC  600  300 2 Mặt khác, DCB  900  ABC  900  600  300 Vậy DBC  DCB  300 nên tam giác BCD cân D, suy DB  DC  DE chung  Khi ta có  DEB  DEC  900  DEB  DEC  c.h  c.g v   EB  EC  DB  DC   DA  DE  3) Ta có  DAF  DEC  900  ADF  EDC  c.g v  g n   DF  DC   ADF  EDC Đồng thời ADF  EDC  AF  EC , mà BA  BE  BF  BC Như tam giác BFC có BF  BC góc FBC  600 nên tam giác Vậy BFC  600  BF  BC 4) Từ chứng minh ta có  nên BD trung trực CF  DF  DC Do BD vng góc CF trung điểm CF; mà I trung điểm CF theo giả thiết nên BD qua I, hay B,I, D thẳng hàng 5) Tam giác BFC nên BC  BF  2.BA  2.6  12cm Từ kết chứng minh ta có EB  EC  BC 12   6cm 2 Áp dụng định lý Pytago, ta AC  BC  AB  122  62  108  3cm 10 Bài tập tự luyện Câu Cho tam giác ABC vuông A, góc ABC  600 AB  6cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E 1) Chứng minh ABD  EBD 2) Chứng minh ABE tam giác 3) Tính độ dài cạnh AC Câu Cho tam giác ABC vng A, có ACB  300 AB  5cm Tia phân giác góc B cắt AC D Gọi E hình chiếu vng góc D BC 1) Chứng minh ABD  EBD 2) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao? 3) Tính độ dài cạnh BC Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BC (D thuộc cạnh AC) Kẻ AE vng góc BE E, cắt BC K 1) Chứng minh tam giác ABK cân 2) Chứng minh DK vng góc BC 3) Kẻ AH vng góc BC Chứng minh AK tia phân giác góc HAC 4) Gọi I giao điểm AH BD Chứng minh IK song song AC Câu 10 Cho tam giác ABC vng C, có góc CAB  600 Tia phân giác góc A cắt cạnh BC E Kẻ tia Ex vng góc AB K tia By vng góc AE D Chứng minh rằng: 1) AK  KB 2) AD  BC Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường phân giác BC (D thuộc AC) Kẻ AE vng góc BD E Đường thẳng AE cắt BC K 1) Chứng minh ABK tam giác cân 2) Cho DC  10cm; KC  8cm , tính độ dài đoạn DK 3) Vẽ tia Ax cho AK phân giác góc Cax, tia Ax cắt BD I Chứng minh KI  AB Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD (D thuộc AC) Kẻ DE vng góc BC E Gọi F giao điểm tia BA ED Chứng minh rằng: 1) BD trung trực AE 2) DF  DC 3) AD  DC 4) Kẻ BM vng góc CF M Chứng minh B, D, M thẳng hàng 11 Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A BD đường phân giác góc B, D thuộc BC Kẻ DE vng góc BC, E thuộc BC Gọi F giao điểm ED BA Chứng minh rằng: 1) BD trung trực AE 2) DF  DC 3) AD  DC 4) AE / / FC Câu 14 Cho tam giác ABC vuông B Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC Từ D kẻ DE  AC, E  AC 1) Chứng minh BD  DE; AB  AE 2) ED cắt BA F, chứng minh BDF  EDC 3) Chứng minh AFC tam giác cân 4) Chứng minh AD vuông góc FC Câu 15 Cho tam giác ABC vng C, có góc CAB  600 Tia phân giác góc BAC cắt BC E, kẻ EK vng góc AB, K thuộc AC, kẻ BD vng góc AE, D thuộc AE Chứng minh rằng: 1) AK  KB 2) AD  BC 3) đường AC, EK BD đồng quy Câu 16 Cho tam giác MNP vng M, tia phân giác góc N cắt MP D Kẻ DE vng góc NP, E thuộc NP 1) Chứng minh MND  END 2) Chứng minh ND trung trực ME 3) Gọi F giao điểm MN DE Chứng minh tam giác NFP cân ND qua trung điểm PF 4) So sánh DM DP 12 ... Tia phân giác góc B cắt AC D Gọi E hình chiếu vng góc D BC 1) Chứng minh ABD  EBD 2) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao? 3) Tính độ dài cạnh BC Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BC... tam giác ABC vuông A, góc ABC  600 AB  6cm Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DE vng góc với BC E 1) Chứng minh ABD  EBD 2) Chứng minh ABE tam giác 3) Tính độ dài cạnh AC Câu Cho tam giác. ..   CB  CF  AB  AF  Suy tam giác BCF cân C Mà góc ABC  900 nên CBF tam giác Do BC  2.BA  2.5  10cm Câu Cho tam giác ABC vng A có góc ABC  600 Tia phân giác góc B cắt AC D Qua D kẻ

Ngày đăng: 31/12/2016, 23:00