Hình Học 8 Bài 1: Định Lí Ta-lét Trong Tam Giác - HOC247

Bài 1: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh C, kẻ đường thẳng song song với AD, đường này cắt BD tại P và cắt AB tại E. Qua D, kẻ đường thẳng song song với BC, đường này cắt AC tại N và cắt AB tại F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt BC tại Q và đường thẳng qua F song song với BD cắt AD tại M.

1. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng song song với hai đáy.

2. Chứng minh MN = PQ

3. Cho AB = a, DC = b. Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q theo thứ tự chia các đoạn thẳng AD, AC, BD, BC theo cùng một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải

1. Ta có:

\(MF//DB \Rightarrow \frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{FB}}\)

Mà FB = DC nên \(\frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{DC}}\,\,\,\,(1)\)

\(DC{\rm{ }}//{\rm{ }}AF \Rightarrow \frac{{AF}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{NC}}\)

\( \Rightarrow MN\,\,\,//DC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Tương tự, ta có: PQ // DC (4)

\(MN//\,\,DC \Rightarrow MN//\,\,AF \Rightarrow \frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{FN}}{{ND}}.\)

Dễ thấy \(\frac{{FN}}{{ND}} = \frac{{BQ}}{{QC}}\)

Vậy \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BQ}}{{QC}} \Rightarrow MQ//DC\)

Từ (3), (4), (5) theo tiêu đề Ơclit, ta suy ra bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng song song với DC.

2. Ta có: \(\frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}};\,\,\frac{{PQ}}{{DC}} = \frac{{BQ}}{{BC}}\,\, \Rightarrow \frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{PQ}}{{DC}} \Rightarrow MN = PQ.\)

3. Dễ thấy \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{PB}}{{PD}} = \frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{DC}} = \frac{{a - b}}{b}.\)

Bài 2: Cho hình thang ABCD đáy lớn CD; O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và đường thẳng qua B song song với AD cắt đường thẳng AC tại F.

1. Chứng minh EF // AB.

2. Chứng minh hệ thức \(A{B^2}{\rm{ = EF}}{\rm{.CD}}\)

3. Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\) theo thứ tự là diện tích các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh hệ thức: \({S_1}.{S_2} = {S_3}.{S_4}.\)

Giải

1. Ta có

\(\begin{array}{l}AE//BC \Rightarrow \frac{{OE}}{{OB}} = \frac{{OA}}{{OC}}\,\,\,(1)\\BF//AD \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OD}}\,\,\,(2)\\AB//DC \Rightarrow \frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}\,\,\,(3)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{OE}}{{OB}} = \frac{{OF}}{{OA}} \Rightarrow {\rm{EF}}//BC.\)

2. Dễ thấy AB = MC = DN

\(AM//BC \Rightarrow \frac{{CD}}{{MC}} = \frac{{DB}}{{EB}}\)

Vì MC = AB nên từ đây, ta có \(\frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{DB}}{{EB}}\) (4)

\({\rm{EF//DC}} \Rightarrow \frac{{DN}}{{EF}} = \frac{{DB}}{{EB}}\)

Vì DN = AB nên từ đây, ta có \(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{DB}}{{EB}}\,\,\,\,(5)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{CD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2}{\rm{ = EF}}{\rm{.CD}}\)

3. Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{S_{OAB}}}}{{{S_{OBC}}}} = \frac{{OA}}{{OC}};\frac{{{S_{OAD}}}}{{{S_{OCD}}}} = \frac{{OA}}{{OC}} \Rightarrow \frac{{{S_{OAB}}}}{{{S_{OBC}}}} = \frac{{{S_{OAD}}}}{{{S_{OCD}}}}\\ \Rightarrow {S_1}.{S_2} = {S_3}.{S_4}\end{array}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM. Lấy một điểm D bất kì trên đoạn thẳng AM, J là giao điểm của BD và AC; I là giao điểm của CD và AB. Chứng minh IJ // BC.

Giải

Từ M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AB ở P và kẻ đường thẳng song song với DB cắt AC ở Q. Dễ thấy.

IP = PB; JQ = QC

Ta có \(MP//CI \Rightarrow \frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{AD}}{{AM}}\)

\(MQ//BJ \Rightarrow \frac{{{\rm{AJ}}}}{{AQ}} = \frac{{AD}}{{AM}}\)

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{{\rm{AJ}}}}{{AQ}} \Rightarrow {\rm{IJ}}//PQ\,\,\,(1)\)

Ta lại có MP // CI \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{PA}}{{PI}}\) mà PI = PB

Nên \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{PA}}{{PB}}\)

Tương tự, ta có \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{QA}}{{QB}}\)

Vậy \(\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{QA}}{{QB}} \Rightarrow PQ//BC\)

Từ (1) và (2) suy ra IJ // BC.