Hình Học 8 Bài 4: Hình Lăng Trụ đứng - Hoc247

1. Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình có:

- Hai đáy là hai đa giác phẳng bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.

- Các cạnh bên thì vuông góc với các mặt phẳng chứa các đa giác đáy. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.

Các cạnh bên của lăng trụ đứng thì song song với nhau và bằng nhau, độ dài cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng.

Người ta gọi tên các hình lăng trụ theo tên của đa giác đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,…

Hình lăng trụ đứng mà đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.

2. Hình hộp – Hình chữ nhật – Hình lập phương

a. Hình hộp đứng

Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

Trong hình hộp đứng thì:

- Các mặt đáy là các hình bình hành.

- Các mặt bên đối diện là các hình chữ nhật bằng nhau.

b. Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng, có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, các mặt đối diện thì bằng nhau.

c, Hình lập phương

Hình lập phương là hình có 6 mặt là các hình vuông.

3. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của các hình

Ta kí hiệu:

\({S_{xq}}:\) Diện tích xung quanh

\({S_{tp}}:\) Diện tích toàn phần

V: thể tích

p: nửa chu vi đáy

h: Chiều cao

B: Diện tích đáy

a, b, c: là các kích thước của hình chữ nhật.

Hình lăng trụ, hình hộp đứng	Hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c	Hình lập phương cạnh a
\({S_{xq}}\)	2p.h	2(a+b)c	\(4{a^2}\)
\({S_{tp}}\)	2(p.h+B)	2(ab+bc+ca)	\(6{a^2}\)
V	B.h	abc	\({a^3}\)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các đường chéo của một hình chữ nhật thì bằng nhau.

Giải

Ta tính đường chéo A’C.

\(\Delta ABC\) vuông tại B nên: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) (1)

\(\Delta {\rm{AA}}' \bot \,mp(ABCD) \Rightarrow {\rm{AA}}' \bot AC\)

\( \Rightarrow \Delta {\rm{A}}'AC\) vuông tại A nên: \(A'{C^2} = A{C^2}{\rm{ + AA}}{'^2}\)

Vậy (1) và (2) suy ra: \(A'{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + {\rm{A'}}{{\rm{A}}^2}\)

Vậy: Bình phương của đường chéo hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của ba chiều của hình hộp chữ nhật.

Từ đây suy ra các đường chéo của hình hộp chữ nhật thì bằng nhau.

Ví dụ 2: Một lăng trụ tam giác đều cạnh đáy là a, chiều cao là h. Tính \({S_{xq}},\,{S_{tp}}\) và V của hình lăng trụ.

Giải

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm của BC.

\(\Delta ABC\) đều: \(HB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a\)

\(\Delta AHB\) vuông tại H: \(A{H^2} = AB - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Ta có: \({S_{xq}} = 3.AB.AA' = 3a.h\)

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 3ah + 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = a\left( {\frac{{h + a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

\(V = B.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{4}.\)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của các đường chéo.

Giải

Ta có: \(A'{C^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\(\begin{array}{l}A'{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}\\B'{D^2} = A{B^2} + A{D^2} + BB{'^2}\\C'{A^2} = D{C^2} + B{C^2} + CC{'^2}\\D'{B^2} = D{C^2} + A{D^2} + DD{'^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) với \(AB = DC = A'B' = D'C'\)

\(\begin{array}{l}BC = AD = A'D' = B'C'\\{\rm{AA'}} = {\rm{ BB'}} = {\rm{ CC'}} = {\rm{DD}}'\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A'{C^2} + B'{D^2} + C'{A^2} + D'{B^2} = A{B^2} + A'B{'^2} + D{C^2} + D'C{'^2} + A{D^2} + B{C^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + B'C{'^2} + A'D{'^2} + {\rm{AA}}{{\rm{'}}^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + {\rm{DD}}{'^2}.\end{array}\)

Nếu gọi các cạnh là a, b, c đường chéo là d, ta có:

\(4{d^2} = 4({a^2} + {b^2} + {c^2}).\)