Hình Học 8 Bài 6: Đối Xứng Trục

Bài 1: Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh:

1. Tam giác DAE là tam giác cân.

2. HA là phân giác của góc MHN.

3. Ba đường thẳng BN, CM và AH đồng quy.

4. BN, CM là các đường cao của tam giác ABC.

Giải

1. Ta có AD = AH và AE = AH

Suy ra AD = AE.

2. Do tính chất đối xứng, ta suy ra AB là phân giác của góc DMH

Kẻ \(AI \bot HM\) và \({\rm{AJ}} \bot DM\)

\( \Rightarrow AI = {\rm{AJ}}\,\,\,(1)\)

AC là phân giác của góc ENH, kẻ \(AK \bot HN\), ta có:

AK = AJ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AI = AK. Điểm A cách đều hai cạnh của góc MHN.

Vậy HA là tia phân giác của góc MHN.

3. Chứng minh tương tự, ta có:

CM là tia phân giác của góc HMN

BN là tia phân giác của góc MNH.

Trong tam giác MHN, các đường phân giác trong HA, MC, NB phải đồng quy tại một điểm.

4. AB là phân giác của góc DMH; MC là phân giác của góc MHN mà hai góc DMH và MHN là hai góc kề bù. Vậy \(MC \bot AB.\)

\( \Rightarrow \) CM là đường cao của \(\Delta ABC\)

Tương tự, ta có BN là đường cao của \(\Delta ABC\).

Bài 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc ấy. Tìm trên cạnh Ox một điểm B, trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

Giải

Lấy điểm \({A_1}\) đối xứng với A qua Ox

\({A_2}\) đối xứng với A qua Oy

Ta có

\(\begin{array}{l}AB = {A_1}B\\AC = {A_2}C\\ \Rightarrow AB + BC + CA = {A_1}B + BC + {A_2}C\end{array}\)

Mà \({A_1}B + BC + {A_2}C\) nhỏ nhất khi bốn điểm \({A_1},B,C,{A_2}\) thẳng hàng. Do vậy để tìm hai điểm B và C, ta làm như sau:

- Lấy điểm \({A_1}\) đối xứng với A qua Ox và điểm \({A_2}\) đối xứng với A qua Oy.

- Nối \({A_1}{A_2},\)đường thẳng này cắt Ox tại B và cắt Oy tại C.

Tam giác ABC vừa vẽ là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Thật vậy, với mọi điểm \(B' \in Ox\) mà \(B' \ne B\) và \(C' \in Oy\) mà \(C' \ne C\) thì chu vi tam giác AB’C’ là:

\(\begin{array}{l}AB' + B'C' + C'A = {A_1}B' + C'B' + B'{A_1} > {A_1}{A_2}\\ \Rightarrow AB' + B'C' + C'A > AB + BC + CA.\end{array}\)

Chú ý: Nhờ vào bất đẳng thức tam giác, ta có thể chứng minh mệnh đề: “Độ dài đường gấp khúc thì lớn hơn độ dài đoạn thẳng có chung hai đầu mút với đường gấp khúc”.

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD)

Gọi E, F theo thứ tự các điểm đối xứng của điểm B và điểm A qua đường thẳng DC; G; H theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm C và điểm E qua đường thẳng AD.

1. Chứng minh điểm D là trung điểm của các đoạn thẳng BH.

2. Chứng minh AH // BF và CH // BG.

Giải

1. Gọi I là giao điểm của BE và DC, do tính chất đối xứng, ta có:

BI = IE mà IE = DF

\( \Rightarrow BI = DF\)

Ta cũng có DI = HF

\( \Rightarrow \) Hai tam giác vuông BID và DFH bằng nhau cho ta

DB = DH (1) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} + \widehat {{D_3}} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{B_1}} + {90^0} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Vậy H, D, B thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng BH.

2. Dễ dàng chứng minh \(\Delta ADH = \Delta FDB \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{F_1}} \Rightarrow AH//BF\)

\(\Delta BDG = \Delta HDC \Rightarrow \widehat {{G_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow CH//BG\)