Hình Học 8 Bài 7: Hình Bình Hành

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DF, BF và CD. Chứng minh:

1. Các tứ giác IJFK và IEKJ là các hình bình hành

2. Ba điểm E, K, F thẳng hàng

Giải

1. Ta có

IJ // DB và \({\rm{IJ}} = \frac{1}{2}DB\)

KF // DB và \(KF = \frac{1}{2}DB\)

\( \Rightarrow {\rm{IJ}}//KF\) và IJ = KF

\( \Rightarrow \) IJFK là hình bình hành

Tương tự ta có IEKJ là hình bình hành.

2. Ta có DE // FC và DE = FC

\( \Rightarrow \) DECF là hình bình hành \( \Rightarrow \) EF đi qua K.

Bài 2: Chứng minh rằng:

1. Trong một hình bình hành, giao điểm của các đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối

2. Ngược lại, nếu một tứ giác có giao điểm của hai đường chéo trùng với giao điểm của các đoạn thẳng nối hai trung điểm của các cạnh đối thì tứ giác đó là hình bình hành.

Giải

1. Xét hình bình hành ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của DC.

Dễ thấy \(\Delta AIO = \Delta CJO\), suy ra:

Ba điểm I, O, J thẳng hàng

OI = OJ

\( \Rightarrow \) O là trung điểm của IJ

Tương tự, với H là trung điểm của AD và K là trung điểm của BC thì O cũng là trung điểm của HK.

2. Ngược lại, giả sử tứ giác ABCD có giao điểm O của hai đường chéo AC, BD cũng là trung điểm của các đoạn thẳng IJ, HK nối trung điểm của các cạnh đối diện.

Tứ giác HIKJ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành, cho ta:

\(IK//HJ \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{J_1}}\)

Xét hai tam giác MOJ và NOI ta có:

\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{J_1}}\)

\(OI = {\rm{OJ}}\)

\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta M{\rm{OJ}} = \Delta NOI \Rightarrow OM = ON\) (1)

Trong tam giác ABC, IK là đường trung bình, suy ra N là trung điểm của OB:

\(ON = \frac{1}{2}OB\) (2)

Tương tự ta có \(OM = \frac{1}{2}OD\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (2), (3) và (3) suy ra OB = OD

Chứng minh tương tự, ta có OA = OC.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của hai cạnh đối AB, CD, M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE, BF và DE.

1. Chứng minh các đường thẳng MP, NQ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

2. Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Giải

1. ME // FP và ME = FP (ME là đường trung bình của tam giác AFB)

\( \Rightarrow \) MEPF là hình bình hành nên EF và MP giao nhau tại O là trung điểm của EF và MP

QF // NE và QF = NE (QF là đường trung bình của tam giác DEC)

\( \Rightarrow \) QFNE là hình bình hành nên QN và MP cùng giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay QN cũng đi qua O.

2. Từ kết quả trên ta suy ra:

OM = OP và ON = OQ

\( \Rightarrow \)MNPQ là hình bình hành.