Hình Nón Cụt Là Gì? Tính Chất, Diện Tích, Thể Tích, Bài Tập Vận Dụng

Tổng hợp Hình nón cụt là gì? Tính chất, diện tích, thể tích, bài tập vận dụng hay nhất, bám sát nội dung sách giáo khoa do Top lời giải sưu tầm biên soạn, giúp bạn học tốt và nắm được

Mục lục nội dung 1. Hình nón cụt là gì?2. Tính chất3. Diện tích4. Thể tích

1. Hình nón cụt là gì?

- Hình nón cụt là hình có 2 đáy là hai hình tròn có bán kính to nhỏ khác nhau nằm trên hai mặt phẳng song song có đường nối tâm là trục đối xứng.

- Hình nón cụt là hình được tạo ra khi hình nón có một mặt phẳng song song với đáy cắt một phần phía đỉnh của nón.

- Khi quay hình thang vuôngABCD một vòng quanh cạnh bên vuông góc với hai đáy, ta có:

- Hai cạnh AB và CD tạo nên hai hình tròn có bán kính r1 và r2, đây được gọi là hai đáy của hình nón cụt

- Cạnh CB quét một vòng tạo nên mặt xung quanh của hình nón cụt

2. Tính chất

- Có 2 đáy là hai hình tròn có bán kính to nhỏ khác nhau nằm trên hai mặt phẳng song song có đường nối tâm là trục đối xứng.

3. Diện tích

- Diện tích hình nón cụt thường được nhắc đến với 2 khái niệm là diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

a. Diện tích xung quanh

- Diện tích xung quanh hình nón cụt chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình nón cụt, không gồm diện tích hai đáy.

- Công thức tính diện tích xung quanh:

 Sxq=π×(r1+r2)×l

+ Trong đó: r1, r2 là bán kính của hai mặt đáy hình nón

b. Diện tích toàn phần

- Diện tích toàn phần được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích hai đáy tròn.

- Công thức tính diện tích toàn phần: 

 Stp=Sxq+S2đáy

Hay:

Stp=(π×(r1+r2)×l)+(π×r12+π×r22)

Trong đó:

+ r1, r2 là bán kính của hai mặt đáy hình nón

+ l là đường sinh của hình nón

4. Thể tích

- Thể tích của hình nón cụt chính là một khoảng không gian mà hình đó chiếm phải.

- Chúng ta có cách tính thể tích của hình nón bằng cách lấy thể tích của hình nón lớn trừ đi thể tích của hình nón nhỏ.

- Công thức tính thể tích: 

 V=1/3×(r12+r22+r1×r2)×h

Trong đó:

+ V là thể tích của hình nón cụt

+ r1 và r2 là bán kính của hai đáy

+ h là chiều cao hình nón cụt

- Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho hình nón cụt có đường kính hai mặt đáy lần lượt là 12 cm và 16 cm. Chiều cao nối giữa hai mặt đáy dài 7 cm. Tính thể tích hình nón cụt.

Giải:

- Đường kính hai mặt đáy lần lượt là 12 cm và 18 cm.

- Vậy bán kính đáy r1=122=6cm; r2=182=9cm; h=7cm

V=13π(r12+r22+r1r2)h

=> V=13π.(62+92+6.9).7=13π.(36+91+57).7=1253,5cm3

- Vậy thể tích hình nón cụt xấp xỉ 1253,5cm3

Bài 2: Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 6cm và 9cm, chiều cao bằng 4cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt.

b) Tính thể tích của hình nón sinh ra hình nón cụt đó.

Giải:

a) Áp dụng công thức Sxq = π(r1+r2)l

Với r1 = 6cm, r2 = 9cm và l = AB

Kẻ AI ⊥ OB thì tứ giác OO'AI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, dó đó:

AI = OO' = 4cm và IB = 9 - 6 = 3 (cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho ΔAIB vuông tại I ta được:

AB2=BI2+IA2=32+42=52

⇔AB=5(cm)

Vậy Sxq = π(6+9).5=75π(cm2)

b, Áp dụng công thức: V = 1/3πr2h trong đó r = 9cm và chiều cao h = SO

- Gọi SO' = x (cm, x > 0) thì h = x + 4

- Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét cho O'A // OB thu được:

SO′/SO=O′A/OB hay x/x+4=6/9=2/3

⇒x/2=x+4/3=(x+4−x)/(3−2)=4

⇔x=8 nên h = 12 (cm)

- Vậy V = 1/3π.92.12=324π(cm2)

Bài 3: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước có các bán kính đáy là 14cm và 9cm, chiều cao là 23cm.

a) Tính dung tích của xô.

b) Tính diện tích tôn để làm xô (coi như diện tích các mép gấp không đáng kể)

Giải:

a) Thể tích của xô là:

V = 1/3πh(R12+R22+R1.R2)

  = 1/3π.23.(142 + 92 + 14.9) ≈ 9702 (cm3)

Vậy dung tích của xô là 9702 (cm3)

b) Diện tích tôn để làm xô chính là Sxq của nón cụt cộng với diện tích đáy nhỏ. Mà Sxq = π(R1+R2)l = 23πl và diện tích đáy nhỏ là:

Sđáy = π.92 = 81π (cm2)

Ta cần tìm đường sinh l = AD.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho ΔAHD vuông tại H ta được:

AD2 = DH2 + HA2 hay l2 = 232 + 52 ⇔ l ≈ 23,5 (cm)

Do đó Sxq = 23π.23,5 = 540,5π (cm)

Vậy diện tích tôn để làm xô là:

S = 540,5π + 81π = 621,5π (cm2)