Hình Thang Cân: Tính Chất, Dấu Hiệu Nhận Biết Và Cách Chứng Minh

Định nghĩa hình thang cân là gì?

Khái niệm hình thang cân?

Hình thang cân theo định nghĩa chính là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thang cân (có đáy AB; CD)

\(\Leftrightarrow AB\parallel CD\) và \(\widehat{C} =\widehat{D}\)

khái niệm hình thang cân là gì

Tính chất của hình thang cân

• Định lý 1: Trong hình thang cân thì hai cạnh bên bằng nhau.
• Định lý 2: Trong hình thang cân thì hai đường chéo bằng nhau.
• Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau sẽ là hình thang cân.

những tính chất của hình thang cân

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

• Hình thang khi có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
• Hình thang khi có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lưu ý: Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau thì chưa chắc đã là hình thang cân.

Phương pháp chứng minh hình thang cân

Phương pháp 1

Chứng minh hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Phương pháp 2

Chứng minh hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Cách chứng minh một tứ giác là ht cân?

• Chứng minh tứ giác đó là hình thang \(⇒\) Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau \(⇒\)dựa vào các cách chứng minh song song như: hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông đến góc song song
• Chứng minh hình thang là hình thang cân theo hai cách ở trên

Bài tập hình thang cân và cách giải

Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB < CD). Kẻ đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.

Cách giải:

Xét hai tam giác vuông AED và BFC

Ta có: AD = BC (gt)

\(\widehat{D} = \widehat{C}\) (gt)

Nên \(\Delta AED = \Delta BFC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\(\Rightarrow DE=CF\)

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.

Cách giải:

Do ABCD là hình thang cân nên

AD = BC; AC = BD

Xét \(\Delta ADC và \Delta BDC\) có

DC chung

AD = BC

AC = BD

\(\Rightarrow \Delta ADC = \Delta BDC\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat{DCA} = \widehat{CDB}\)

\(\Rightarrow \Delta DEC\) cân tại E

\(\Rightarrow EC = ED\) (đpcm)

Chứng minh tương tự ta được EA = EB

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Cách giải:

Xét \(\Delta AEB \) và \(\Delta AFC\) có:

AB = AC (do ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABE} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} = \frac{1}{2}\widehat{ACB} = \widehat{ACF}\)

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow \Delta AEB = \Delta AFC\) (g.c.g)

\(\Rightarrow AE = AF\)

\(\Rightarrow \Delta AEF\) cân tại A

\(\Rightarrow \widehat{AFE} = \frac{(180^{\circ} – \widehat{BAC})}{2}\)

Trong tam giác ABC có: \(\Rightarrow \widehat{ABC} = \frac{(180^{\circ} – \widehat{BAC})}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{AFE} = \widehat{ABC} \Rightarrow FE\parallel BC\)

\(\Rightarrow\)tứ giác BFEC là hình thang.

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề chứng minh ht cân. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức về hình thang cân. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Tiên đề Ơ cơ lít là gì? Tìm hiểu Tiên đề Ơclit về đường thẳng song song