HÌNH THOI – HÌNH VUÔNG - Học Để Thi

§. HÌNH THOI – HÌNH VUÔNG

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. HÌNH THOI

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

Ngoài ra, trong hình thoi :

– Hai đường chéo vuông góc với nhau

– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết

– Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi

– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

– Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

II. HÌNH VUÔNG

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết

– Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

– Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

– Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Nhận biết : Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

61. Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Các điểm E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

62. Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác. Đường thẳng qua D song song AC cắt AB ở E, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC ở F. Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình thoi.

63. Cho hình vuông ABCD. M thuộc đường chéo AC. Vẽ ME ^ AD tại E, MF ^ CD tại F. Gọi N là giao điểm của ME và BC. Chứng minh rằng :

a) MEDF là hình chữ nhật, MFCN là hình vuông.

b) DABE = DDAF, BE ^ AF

c) DEMF = DBNM, các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.

64. Cho hình vuông ABCD. Các điểm E, F lần lượt trên các cạnh BC, CD sao cho  = 450. Trên tia đối của tia DC lấy M sao cho DM = BE. Chứng minh rằng :

a) DABE = DADM,  = 450

b) Chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông ABCD

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

65. Chọn câu trả lời đúng :

Hai đường chéo của một hình thoi bằng 24 cm và 10 cm. Cạnh của hình thoi này bằng :

A. 13 cm                             B. 26 cm                                  C.  cm                D.  cm.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

66. Cho tam giác đều ABC, đường cao AD. M là điểm nằm giữa B và D. Gọi N là trung điểm đoạn thẳng AM. Vẽ ME ^ AB tại E, MF ^ AC tại F. Chứng minh rằng DENF là hình thoi.

67. Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng chu vi các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.

68. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE, ACFG. Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC.

Gọi M là giao điểm của AH và EG. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng EG.

69. Cho hình vuông ABCD, về phía trong hình vuông, dựng tam giác ABE cân tại E có góc đáy 150. Chứng minh rằng tam giác CDE đều.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

70. a) Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ nằm giữa hai điểm A, B. Trên tia đối của tia CB, lấy một điểm F sao cho CF = AE.

1. Tính góc EDF.

2. Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung điểm I của đoạn EF. Tứ giác DEGF là hình gì? Vì sao?

3. Chứng minh ba đường thẳng AC, DG, EF đồng quy tại một điểm.

(Đề thi giao lưu học sinh chăm ngoan Toán lớp 8, Quận 1, Tp. Hồ Chí Minh, năm học 2008 – 2009)

b) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E tùy ý. Tia phân giác của góc CDE cắt BC ở K. Chứng minh rằng AE + CK = DE.

(Đề thi chọn HSG Toán lớp 8, trường THCS Nguyễn Du, Quận 1, Tp. HCM, năm học 1999 – 2000)

ÔN TẬP CHƯƠNG I

71. Cho hình bình hành ABCD. M là điểm trên cạnh AB. Nối C với M. Đường thẳng qua A song song với CM cắt CD ở N.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của AC và MN. Chứng minh rằng B, O, D thẳng hàng.

72. Cho tứ giác ABCD. Các điểm E, F, G, H, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, AC, BD.

a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của EG và HF. Chứng minh rằng M và N đối xứng với nhau qua O.

73. Cho hình chữ nhật ABCD. (AB > BC) M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = BC. Vẽ MN ^ CD tại N. Vẽ DE ^ BN tại E.

a) Tứ giác AMND là hình gì ? Vì sao ?

b) Tứ giác MBCN là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh rằng .

74. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là :

a) Hình chữ nhật                            b) Hình thoi                                                                 c) Hình vuông.

75. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, CD, BD. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là :

a) Hình chữ nhất                            b) Hình thoi                                                                 c) Hình vuông.

76. Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trên cạnh BC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. qua M vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K.

a) Tứ giác AHMK là hình gì ?

b) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AHMK là hình thoi ?

c) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHMK là hình chữ nhật ?

77. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác AEFD là hình gì ? Vì sao ?

b) Tứ giác AECF là hình gì ? Vì sao ?

c) Tứ giác EMFN là hình gì ? Vì sao ?

d) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để EMFN là hình vuông.

78. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường phân giác AH. Gọi I là trung điểm của AB, đường vuông góc với AB ở I cắt AH tại O. Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm AM.

a) Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông.

b) Gọi K là trung điểm OM. Chứng minh tam giác IKB cân.

c) Chứng minh tứ giác AIKC có tổng các góc đối bằng 1800.

79. Cho đoạn thẳng AB = a. Điểm M nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BML có tâm lần lượt là C, D. Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ IH ^ AB tại H.

a) Chứng minh rằng IH = .

b) Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?

80. Cho ABCD là một hình thoi có cạnh bằng 1. Giả sử tồn tại điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD sao cho tam giác CMN có chu vi bằng 2 và . Tính các góc của hình thoi ABCD.

Chương II

ĐA GIÁC. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

§1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

1. Khái niệm về đa giác

Định nghĩa : Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

2. Đa giác đều

Định nghĩa : Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

3. Tổng các góc của một đa giác

Định lí : Tổng các góc của một đa giác n cạnh bằng (n – 2).1800.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

81. Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau :

a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.

b) Có tất cả các góc bằng nhau.

82. Chứng minh định lí : Tổng số đo các góc của một tứ giác n cạnh bằng (n – 2).1800.

83. Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n – giác đều.

84. Tính số đường chéo của n – giác.

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

85. Chọn câu trả lời đúng :

Số đo mỗi góc của hình 8 cạnh đều là :

A. 1200                                           B. 900                          C. 1350                                    D. 1440.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

86. a) Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác có số đo bằng 3600.

b) Đa giác nêu có tổng số đo các góc trong bằng tổng số đo các góc ngoài.

c) Đa giác có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn ?

87. a) Tính số cạnh của đa giác có tổng số đo các góc bằng 10800.

b) Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng 1200. Tìm n.

88. Đa giác nào có số đường chéo :

a) Bằng số cạnh.                                         b) Gấp 5 lần số cạnh.

89. Chứng minh rằng nếu một lúc giác có các góc bằng nhau thì hiệu các cạnh đối diện bằng nhau.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

90. a) Gọi a, b là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt là m và n. Tìm m và n nếu .

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường PTNK – ĐHQG TP. Hồ Chí Minh, năm học 2000 – 2001)

b) Chứng minh rằng trong đa giác đều  cạnh, hiệu giữa đường chéo lớn nhất và đường chéo nhỏ nhất bằng cạnh của nó.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, trường chuyên Văn Toán huyện Đức Phổ, năm học 1987 – 1988)

§2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

A/ KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN NHỚ

I. Diện tích hình chữ nhật

a) Khái niệm diện tích đa giác

– Số đo của phần, ở mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.

– Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.

Tính chất của diện tích đa giác:

– Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

– Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.

– Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1 cm, 1 dm, 1 m, ... làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là 1 cm2, 1dm2, 1 m2...

(Diện tích đa giác ABCDE được kí hiệu là SABCDE hoặc S nếu không sợ bị nhầm lẫn).

2. Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Định lí :

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.

S = a.b

3. Công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

S = a2.

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

S = a.b.

II. Diện tích tam giác

Định lí :

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

B/ BÀI TẬP

& BÀI TẬP CƠ BẢN

91. Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu :

a) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng không thay đổi ?

b) Chiều rộng giảm 3 lần, chiều dài không thay đổi ?

c) Chiều dài tăng 5 lần, chiều rộng giảm 3 lần ?

d) Chiều dài giảm 2 lần, chiều rộng tăng 2 lần ?

92. Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết tỉ số các cạnh là  và diện tích của nó là 700 cm2.

93. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng AB.AC = AH.BC.

94. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Chứng minh rằng

a) S­AMB = SAMC                                                                                                                         b) SAMC = 2SAMD

& BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

95. Chọn câu trả lời đúng :

Diện tích tam giác MNP vuông tại M có MN = 8 cm, NP = 10 cm bằng :

A. 80 cm2                           B. 24 cm2                    C. 40 cm2                                D. 48 cm2.

& BÀI TẬP NÂNG CAO

96. Cho hình chữ nhật ABCD. M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng SABCD = 2SMDC.

97. Cho hình vẽ, diện tích phần gạch sọc bằng 1900 cm2. Tìm x.

98. Cho tam giác ABC có diện tích 90 cm2, G là trọng tâm của tam giác. Tính diện tích tam giác GBC.

& BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

99. a) Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vuông góc với cạnh AB, ME vuông góc với AC. Chứng minh rằng tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 5, TP. Hồ Chí Minh, năm học 1999 – 2000).

b) Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong tam giác.

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 1, TP. Hồ Chí Minh, năm học 1998 – 1999).

100. Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi d. Hãy tìm hình có diện tích lớn nhất ?

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8, Quận 9, TP. Hồ Chí Minh, năm học 1998 – 1999).