Hướng Dẫn Cách Tìm Nghiệm Của đa Thức Bậc 4 - TopLoigiai

Mục lục nội dung I. Phương trình bậc bốn dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0II.Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2 với ad = bc = mIII. Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a+ b = c + d = pIV. Phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c với (c<0)V. Phương trình bậc bốn dạng x4 = ax2 + bx + cVI. Phương trình bậc bốn dạng af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) = 0VII. Phương trình bậc bốn tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

I. Phương trình bậc bốn dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0

Nhận xét: Mỗi cách giải có ưu điểm riêng, với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà không phải thông qua ẩn phụ, với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và ít bị nhầm lẫn.

II.Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2 với ad = bc = m

III. Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a+ b = c + d = p

Ví dụ 3. Giải phương trình : x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8

IV. Phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c với (c<0)

V. Phương trình bậc bốn dạng x4 = ax2 + bx + c

VI. Phương trình bậc bốn dạng af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) = 0

VII. Phương trình bậc bốn tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Ví dụ bài tập

Ví dụ 1: Giải phương trình : x4 - 4x2 + 12x - 9 = 0 (1) .

Giải:

Nhận xét: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức không còn dễ dàng như vậy nữa, để làm điều này đòi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt những hạng tử thích hợp.

 Ví dụ 2: Giải phương trình : x4 - 13x2 + 18x - 5 = 0

Giải: 

Phương trình 

Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được nghiệm phương trình (I).

2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên trên thực tế thì nhiều lúc việc giải không được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của cách giải trên là tìm . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị  lúc nào cũng “đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.

Ví dụ 3: Giải phương trình:  2x4 - 10x3 + 11x2 + x - 1 = 0 (4).

Giải: 

Ta có phương trình:

Ví dụ 4:

Ví dụ 5: Giải phương trình : .5x6 - 16x4 - 33x3 - 40x2 + 8 = 0

Giải:

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình x4 - x2 + 2mx - m2 = 0  có bốn nghiệm phân biệt.

 Giải: