Hướng Dẫn Chi Tiết Giải Bài Tập Cực đại Trong điện Xoay Chiều

1.Các công thức của các điện áp hiệu dụng cực đại khi thông số của mạch thay đổi:

a. Điện áp hiệu dụng UR:

+ R thay đổi :                         UR(max) = U    Khi R \[\to \infty \]

+ L,hay C, hay \[\omega \] thay đổi :  UR(max) = U    Khi \[\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}\]  ( Cộng hưởng )

b. Điện áp hiệu dụng : UL

+ R thay đổi :  UL(max) = \[\frac{U}{\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}{{Z}_{L}}\]  khi R = 0

+ L thay đổi :   UL(max) = IZL = \[\frac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{R}\]  khi ZL = \[\frac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}\]

+ C thay đổi :   UL(max) = IZL  = \[\frac{U}{R}{{Z}_{L}}\]        khi C = \[\frac{1}{L{{\omega }^{2}}}\] ( Cộng hưởng )

+ \[\omega \] thay đổi :  UL(max) = IZL    khi \[\omega \] = \[\sqrt{\frac{2}{2LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}\]

c. Điện áp hiệu dụng : UC

+ R thay đổi :  UC(max) = \[\frac{U}{\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}{{Z}_{C}}\]  khi R = 0

+ C thay đổi :   UC(max) = IZC = \[\frac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{R}\] khi ZC = \[\frac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}\]

+ L thay đổi :   UC(max) = IZC  = \[\frac{U}{R}{{Z}_{C}}\]      khi L = \[\frac{1}{C{{\omega }^{2}}}\] ( Cộng hưởng )

+ \[\omega \] thay đổi :  UC(max) = IZC    khi \[\omega \] = \[\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}}\]

+Ví dụ 3 :  Đặt điện áp xoay chiều u=U0coswt  (U0 không đổi và w thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R,cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp,với CR2< 2L. Khi w = w1 hoặc w = w2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có cùng một giá trị.Khi w = w0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị cực đại.Hệ thức liên hệ giữa w1,w2 và w0 là : A.$\omega _{0}^{2}=\frac{1}{2}(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2})$    B.$\omega _{0}^{{}}=\frac{1}{2}(\omega _{1}^{{}}+\omega _{2}^{{}})$    C.$\frac{1}{\omega _{0}^{2}}$ =$\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{\omega _{1}^{2}}$+$\frac{1}{\omega _{2}^{2}}$)      D. w0 = $\sqrt{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}$

Giải:

Giải:  UL = $\frac{U{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}$. Do UL1 = UL2  => $\frac{\omega _{1}^{2}}{{{R}^{2}}+{{(\omega _{1}^{{}}L-\frac{1}{\omega _{1}^{{}}C})}^{2}}}$ = $\frac{\omega _{2}^{2}}{{{R}^{2}}+{{({{\omega }_{2}}L-\frac{1}{{{\omega }_{2}}C})}^{2}}}$

      => $\frac{{{R}^{2}}-2\frac{L}{C}}{\omega _{1}^{2}}$ + $\frac{1}{\omega _{1}^{4}{{C}^{2}}}$= $\frac{{{R}^{2}}-2\frac{L}{C}}{\omega _{2}^{2}}$ + $\frac{1}{\omega _{2}^{4}{{C}^{2}}}$=> (2$\frac{L}{C}$- R2)($\frac{1}{\omega _{2}^{2}}$-$\frac{1}{\omega _{1}^{2}}$) =  $\frac{1}{\omega _{2}^{4}{{C}^{2}}}$-$\frac{1}{\omega _{1}^{4}{{C}^{2}}}$

UL = ULmax khi $\frac{{{R}^{2}}-2\frac{L}{C}}{{{\omega }^{2}}}$ + $\frac{1}{{{\omega }^{4}}{{C}^{2}}}$ + L2 có giá trị cực tiểu. => $\frac{1}{\omega _{0}^{2}}$= $\frac{{{C}^{2}}}{2}$(2$\frac{L}{C}$- R2)  (2)

Từ(1) và (2) suy ra:$\frac{1}{\omega _{0}^{2}}$ =$\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{\omega _{1}^{2}}$+$\frac{1}{\omega _{2}^{2}}$) . Chọn đáp án C. Với điều kiện CR2< 2L

Ví dụ 5:   Cho mạch điện như hình vẽ. Cuộn dây có độ tự cảm

\[L=\frac{\sqrt{3}}{\pi }\]H, điện trở thuần r = 100W. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp

\[{{u}_{AB}}=100\sqrt{2}\cos 100\pi t\](V). Tính giá trị của C để vôn kế có giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó của vôn kế.

  A. \[C=\frac{4\sqrt{3}}{\pi }{{.10}^{-4}}\]F và \[{{U}_{C\max }}=120\]V.       B. \[C=\frac{\sqrt{3}}{4\pi }{{.10}^{-4}}\]F và \[{{U}_{C\max }}=180\]V.

  C. \[C=\frac{\sqrt{3}}{4\pi }{{.10}^{-4}}\]F và \[{{U}_{C\max }}=200\]V.          D. \[C=\frac{\sqrt{3}}{\pi }{{.10}^{-4}}\]F và \[{{U}_{C\max }}=220\]V.

 

Giải. Ta có: \[{{Z}_{L}}=\omega L=100\pi .\frac{\sqrt{3}}{\pi }=100\sqrt{3}\Omega \].

\[{{U}_{C\max }}\Leftrightarrow {{Z}_{C}}=\frac{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}=\frac{{{100}^{2}}+{{\left( 100\sqrt{3} \right)}^{2}}}{100\sqrt{3}}=\frac{400}{\sqrt{3}}\Omega \].\[\Rightarrow C=\frac{1}{\omega {{Z}_{C}}}=\frac{1}{100\pi .\frac{400}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{4\pi }{{.10}^{-4}}\]F.;

\[{{U}_{C\max }}=\frac{U\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{R}=\frac{100\sqrt{{{100}^{2}}+{{\left( 100\sqrt{3} \right)}^{2}}}}{100}=200\]V.                                           Chọn C.

 

+Ví dụ 6: Cho đoạn mạch điện xoay chiều ANB , tần số dòng điện 50Hz, đoạn AN chứa     và C thay đổi ,đoạn NB Chứa  L=$\frac{0.2}{\pi }$ H .Tìm C  để  ${{U}_{AN}}$ cực đại  :   

:     A.C=106$\mu F$                            B.200$\mu F$                                

     C.300$\mu F$                             D.250$\mu F$                  

Giải: Dùng công thức:  Khi ${{Z}_{C}}=\frac{{{Z}_{L}}+\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{2}$ thì ${{U}_{RCM\text{ax}}}=\frac{2U\text{R}}{\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}-{{Z}_{L}}}$ = UAN

Lưu ý:  R và C mắc liên tiếp nhau; Z L= w.L = 100p.0,2/p =20W

Tính : ${{Z}_{C}}=\frac{{{Z}_{L}}+\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{2}$=$=\frac{20+\sqrt{4{{(10\sqrt{3})}^{2}}+20_{{}}^{2}}}{2}=\frac{20+\sqrt{1200+400}}{2}=30\Omega $

Mà  ${{Z}_{C}}=\frac{1}{\omega C}=>C=\frac{1}{\omega .{{Z}_{C}}}=\frac{1}{100\pi .30}=\frac{{{10}^{-3}}}{3\pi }(F)$  =  106$\mu F$          Đáp án A

+Ví dụ 7:  Cho đoạn mạch điện xoay chiều ANB ,đoạn AN chứa R và C thay đổi ,đoạn NB Chứa L=$\frac{1.5}{\pi }$ H  . Biết f=50Hz ,người ta thay đổi C sao cho${{U}_{AN}}$ cực đại bằng 2${{U}_{AB}}$ .Tìm R và C:

  A. ${{Z}_{C}}$=200 $\Omega $;  R=100$\Omega $                                       B. ${{Z}_{C}}$=100 $\Omega $;  R=100$\Omega $  

  C. ${{Z}_{C}}$=200 $\Omega $;  R=200$\Omega $                                       D. ${{Z}_{C}}$=100 $\Omega $;  R=200$\Omega $

Giải:  Khi ${{Z}_{C}}=\frac{{{Z}_{L}}+\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{2}$ thì ${{U}_{RCM\text{ax}}}=\frac{2U\text{R}}{\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}-{{Z}_{L}}}$ Lưu ý:  R và C mắc liên tiếp nhau

Đề cho ${{U}_{AN}}$ cực đại bằng 2${{U}_{AB}}$ suy ra: $1=\frac{\text{R}}{\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}-{{Z}_{L}}}$ => $4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}-2{{Z}_{L}}\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}.}+Z_{L}^{2}={{R}^{2}}$

    $\Leftrightarrow 3{{R}^{2}}+2Z_{L}^{2}=2{{Z}_{L}}\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=>9{{R}^{4}}+12({{R}^{2}}Z_{L}^{2})+4Z_{L}^{4}=4Z_{L}^{2}{{(4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2})}_{{}}}$

$\Leftrightarrow 9{{R}^{4}}+(12Z_{L}^{2}-16Z_{L}^{2}){{R}^{2}}=0$

Do R khác 0 nên $\Leftrightarrow (9{{R}^{2}}-4Z_{L}^{2})=0$ => $\Leftrightarrow (9{{R}^{2}}-4Z_{L}^{2})=0=>R=\frac{2}{3}Z_{L}^{{}}=\frac{2}{3}150=100\Omega $

${{Z}_{C}}=\frac{{{Z}_{L}}+\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{2}$ =$=\frac{150+\sqrt{{{4100}^{2}}+150_{{}}^{2}}}{2}=200\Omega $                   Đáp án A

+Ví dụ 8:    Đặt một điện áp xoay chiều u = U0coswt (V)  vào hai đầu một đoạn mạch AB gồm điện trở R, cuộn dây cảm thuần L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Tụ C có điện dung thay đổi được.Thay đổi C, khi ZC = ZC1 thì cường độ dòng điện trễ pha $\frac{\pi }{4}$ so với điện áp hai đầu đoạn mạch, khi ZC = ZC2 = 6,25ZC1  thì điện áp hiệu

dụng giữa hai  tụ đạt giá trị cực đại. Tính hệ số công suất của mạch. A. 0,6                            B. 0,8                             C. 0,7                              D. 0,9

  Giải:  tanj1 = $\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C1}}}{R}$= tan($\frac{\pi }{4}$) = 1=> R = ZL – ZC1 => ZC1 =  ZL - R

       Ta có:  UC2 = Ucmax =>  ZC2 = $\frac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}$=> 6,25ZC1ZL = R2 +ZL2

                   => 6,25( ZL- R) ZL = R2 +ZL2 => 5,25ZL2  - 6,25RZL – R2 = 0 => 21ZL2 -  25RZL – 4R2 = 0 => ZL = $\frac{4R}{3}$

      Ta có: ZC2 = $\frac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}$= $\frac{{{R}^{2}}+\frac{16{{R}^{2}}}{9}}{\frac{4R}{3}}$ = $\frac{25R}{12}$=> cosj2 = $\frac{R}{{{Z}_{2}}}$ = $\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\frac{4R}{3}-\frac{25R}{12})}^{2}}}}$= 0,8.  Chọn đáp án B

+Ví dụ 9:  Cho mạch điện RLC, Với C thay đổi được. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có dạng $u=U\sqrt{2}\cos \omega t(V).$ Khi $C={{C}_{1}}=\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }(F)\text{ }$ thì cường độ dòng điện i trễ pha $\frac{\pi }{4}$ so với u. Khi $C={{C}_{2}}=\frac{{{10}^{-4}}}{2,5\pi }(F)\text{ }$thì điện áp hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. Tính tần số góc $\omega $. Biết $L=\frac{2}{\pi }(H)$

A. $200\pi (rad/s)$       B. $50\pi (rad/s)$             C. $10\pi (rad/s)$                 D. $100\pi (rad/s)$

Giải: Khi $C={{C}_{1}}=\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }(F)\text{ }$ thì dòng điện i trễ pha $\frac{\pi }{4}$ so u nên:              ${{Z}_{L}}-{{Z}_{C1}}=R$     (1)

Khi $C={{C}_{2}}=\frac{{{10}^{-4}}}{2,5\pi }(F)\text{ }$thì điện áp hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại nên :${{Z}_{C2}}=\frac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}$  (2)

thay (1) vào (2)  ta có pt:$\frac{8}{{{\pi }^{2}}}{{\omega }^{4}}-{{9.10}^{4}}{{\omega }^{2}}+{{10}^{8}}{{\pi }^{2}}=0$  (3)

-giải ta đươc:  $\omega =100\pi $rad/s   và  $\omega =\frac{50\pi }{\sqrt{2}}$  Rad/s  (loại) vì thay nghiệm này vào (1) thì không thỏa mãn

+Ví dụ 10:  Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. Điện áp xoay chiều đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu thức \[u=U\sqrt{2}c\text{os}\omega t,\] tần số góc $\omega $ biến đổi. Khi \[\omega ={{\omega }_{1}}=40\pi (rad/s)\] và khi \[\omega ={{\omega }_{2}}=360\pi (rad/s)\] thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch điện có giá trị bằng nhau. Để cường độ dòng điện trong mạch đạt giá trị lớn nhất thì tần số góc $\omega $ bằng

          A  100$\pi $(rad/s).                                                       B  110$\pi $(rad/s).            

          C  200$\pi $(rad/s).                                                        D  120$\pi $(rad/s).            

Giải 1: Nhớ công thức:Với w = w1 hoặc w = w2 thì I hoặc P hoặc UR có cùng một giá trị thì IMax hoặc PMax hoặc URMax

khi đó ta  có:  $\omega =\sqrt{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}$=120$\pi $(rad/s).           Chọn  D

Giải 2: I1 = I1 => Z1 = Z1 => (ZL1 – ZC1)2 = (ZL2 – ZC2)2  

Do w1 ¹ w2  nên (ZL1 – ZC1) =  - (ZL2 – ZC2) =>  ZL1 + ZL2 =   ZC1 + ZC2 

  (w1 + w2)L =  $\frac{1}{C}$ ($\frac{1}{{{\omega }_{1}}}$+$\frac{1}{{{\omega }_{2}}}$)       => LC = $\frac{1}{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}$  (1)

Khi I = Imax; trong mạch có cộng hưởng  LC = $\frac{1}{{{\omega }^{2}}}$ (2).  Từ (1) và (2)  ta có  w =$\sqrt{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}$ = 120p(rad/s). Chọn  D

+Ví dụ 11:   Đặt một điện áp u = U0 cos\[\omega t\]( U0 không đổi, \[\omega \] thay đổi được) vào 2 đầu đoạn mạch gồm R, L, C mắc nối tiếp thỏa mãn điều kiện: CR2 < 2L. Gọi V1,V2, V3 lần lượt là các vôn kế mắc vào 2 đầu R, L, C. Khi tăng dần tần số thì thấy trên mỗi vôn kế đều có 1 giá trị cực đại, thứ tự lần lượt các vôn kế chỉ giá trị cực đại khi tăng dần tần số là

A. V1, V2, V3.               B. V3, V2, V1.               C. V3, V1, V2.                           D. V1, V3,V2.

 Giải: Ta gọi số chỉ của các vôn kế là U:   U1=IR =$\frac{UR}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}$

U1 = U1max khi trong mạch có sự cộng hưởng điện:  => w2 = $\frac{1}{LC}$    (1)

U2 = IZL =$\frac{U\omega L}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}=\frac{UL}{\sqrt{\frac{{{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}+\frac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}-2\frac{L}{C}}{{{\omega }^{2}}}}}=\frac{U}{y_{2}^{2}}$

 U2 = U2max khi y2 = $\frac{1}{{{C}^{2}}}\frac{1}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{R}^{2}}-2\frac{L}{C}}{{{\omega }^{2}}}+{{L}^{2}}$có giá trị cực tiểu y2min

   Đặt    x = $\frac{1}{{{\omega }^{2}}}$, Lấy đạo hàm y2 theo x, cho y2’ = 0  => x = $\frac{1}{{{\omega }^{2}}}$=$\frac{C}{2}(2\frac{L}{C}-C{{R}^{2}})$

         $\omega _{2}^{2}=\frac{2}{{{C}^{2}}(2\frac{L}{C}-{{R}^{2}})}$=$\frac{2}{C(2L-C{{R}^{2}})}$                                       (2)

U3 = IZC =$\frac{U}{\omega C\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}=\frac{U}{C\sqrt{{{\omega }^{2}}({{R}^{2}}+{{\omega }^{2}}{{L}^{2}}+\frac{1}{{{\omega }^{2}}{{C}^{2}}}-2\frac{L}{C}})}=\frac{U}{y_{3}^{2}}$

U3 = U3max khi y3 = L2w4 +(R2 -2$\frac{L}{C}$ )w2 + $\frac{1}{{{C}^{2}}}$ có giá trị cực tiểu y3min

Đặt y = w2 , Lấy đạo hàm của y3 theo y, cho y’3 = 0

                y = w2 = $\frac{2\frac{L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}=\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$ =>     w32 =$\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$   (3)

 So sánh (1); (2), (3):      Do CR2 < 2L nên :  2L – CR2 > 0

  Từ (1) và (3)     w32 =$\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$  0

Do đó    w22 = $\frac{2}{C(2L-C{{R}^{2}})}$ > w12 = $\frac{1}{LC}$  

Vậy  ta có w32 =$\frac{1}{LC}-\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$