Hướng Dẫn Học Sinh Giải Bài Toán Theo Phương Pháp Phân Tích Suy ...

Tải bản đầy đủ (.doc) (13 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Trung học cơ sở - phổ thông

Hướng dẫn học sinh giải bài toán theo phương pháp phân tích suy luận ngược trong hình học lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (241.73 KB, 13 trang )

I. MỞ ĐẦUI.1. Lí do chọn đề tài :Thực tế giảng dạy cho thấy, đối với học sinh, việc tìm ra lời giải cho mộtbài toán là điều không hề đơn giản và hầu hết đều mang tính tự phát, không cóhệ thống hay phương pháp cụ thể, đặc biệt là những bài toán chứng minh hìnhhọc. Các em có thể tiếp thu rất nhanh khi đọc hướng dẫn giải trong các ví dụminh họa nhưng khi gặp những bài tương tự lại cảm thấy bế tắc, không tìm rahướng giải quyết phù hợp.Là một giáo viên đứng lớp, sau nhiều năm tìm tòi và thử nghiệm, tôi nhậnthấy một trong những cách thức để tìm được lời giải nhanh nhất chính là suyluận phân tích ngược. Đây là phương pháp đơn giản và dễ thực hiện, thông quaviệc liên kết điều phải chứng minh với giả thiết và những điều đã biết trước đó,học sinh có thể dễ dàng tìm ra các “cầu nối” giữa những điều này và theo quyluật lôgic, lời giải dần được hình thành một cách mạch lạc và đầy thuyết phục.Không chỉ vậy, suy luận phân tích ngược còn giúp các em giải quyết những tìnhhuống phát sinh ngoài thực tiễn một cách nhanh chóng và hợp lí.Xuất phát từ những lí do trên, từ tính cấp thiết trong thực tiễn giảng dạy vànhững thành tựu khả quan đã thu nhận được sau khi tiến hành thử nghiệm, tôixin mạnh dạn trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình với đề tài: Hướng dẫnhọc sinh giải bài toán theo phương pháp phân tích suy luận ngược trong hìnhhọc 8.I.2. Mục đích nghiên cứu :- Đề tài sẽ góp phần minh họa cho phương pháp suy luận phân tích để làmrõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với điều phải chứng minh.- Cung cấp thêm một phương pháp chứng minh hình học mà hướng đi là từkết luận đến giả thiết theo tư duy suy luận ngược.- Đề tài được sử dụng để tổ chức dạy trên lớp và tổ chức chuyên đề vềphương pháp chứng minh hình học ở cấp THCS nói chung và đối với học sinhlớp 8 nói riêng.I.3. Đối tượng nghiên cứu :Hoạt động học tập của học sinh trong các bài toán chứng minh hình học.I.4. Phương pháp nghiên cứu:Thu thập, tham khảo và xử lí tài liệu sưu tầm được.Điều tra khả năng học hình học của học sinh.Phân tích, khái quát hóa và đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.Trao đổi, thảo luận chuyên môn với đồng nghiệp.Cập nhật thông tin từ mạng internet.Nhờ phối hợp các phương pháp trên, tôi đã dần định hình nội dung, quymô và phạm vi của đề tài rồi từ đó thiết lập các giải pháp, tiến hành thử nghiệm,đánh giá và cuối cùng là hệ thống hóa bằng ngôn ngữ thành một sáng kiến kinhnghiệm trọn vẹn.1II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMII.1. Cơ sở lí luậnII.1.1. Suy luậnSuy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước đểrút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnhđề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả.Ký hiệu: X1, X2, ..., Xn ⇒ YNếu X1, X2, ..., Xn ⇒ Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận lôgichay hệ quả lôgicII.1.2. Phương pháp chứng minh tổng hợp:Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điềuđã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh.Sơ đồ: A ⇒ B ⇒ C ⇒ ... ⇒ Y ⇒ XTrong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A;C là hệ quả lôgíc của B; ..... ; X là hệ quả lôgíc của Y.II.1.3. Phương pháp chứng minh phân tích đi xuốngPhương pháp chứng minh phân tích đi xuống là phương pháp chứng minhsuy diễn đi từ điều đã biết đến điều cần tìm.Sơ đồ: A ⇒ B... ⇒ Y ⇒ XTrong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quảlôgic của X; .....; A là hệ quả lôgic của B và A là mệnh đề đã biết nào đó. Nếu Asai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng, có thể sai. Lúc này chúng ta phảidùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X.II.1.4. Phương pháp chứng minh phân tích đi lênPhương pháp chứng minh phân tích đi lên là phương pháp chứng minh suydiễn đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho hoặc đã biết trướcđó.Sơ đồ: X ⇐ Y ⇐ ... ⇐ B ⇐ ATrong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgic của X; .....; A làtiền đề lôgic của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước. Nếu A sai thì X sai.Nếu A đúng thì X có thể đúng, có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng phươngpháp tổng hợp đi từ A tới X.II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.Qua quá trình giảng dạy hình học trong nhiều năm qua, tôi nhận thấynhững vấn đề bất cập như sau :2- Nhiều học sinh không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặcnắm nội dung bài học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còngặp nhiều khó khăn, lúng túng.- Một số học sinh không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau,không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán....- Đa số học sinh không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo cácphương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫuhoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động.- Khi phát phiếu điều tra về mức độ hứng thú học phân môn Hình họcđầu năm cho thấy kết quả như sau :Số HS có hứng thúTổng số HSSố HS không có hứng thúSL%SL%812,9%5487,1%62Kết quả khảo sát chất lượng phân môn Hình học khi chưa áp dụng SKKNTỉ lệKhối8Số học sinhGiỏiKháTBYếu62353519II.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:II.3.1. Ví dụ 1Cho tam giác ABC (AC < AB). Trên tia AC lấy E sao cho AE = AB. Tiaphân giác của góc A cắt BC tại D, cắt BE tại H. Chứng minh:a) BD = DEAb) BE ⊥ AD1 2ABC:AC < AB; AE = AB;GTAD là tia phân giác.AD x BE = {H}BD1 2Ha) BD = DEKLCEb) BE ⊥ ADGiải:a)Phân tíchCm: BD = DE⇑Chứng minha) Nối DEBDA và EDA có:3AB = AE (gt)µµA1 = A 2 (gt)AD chungCm: BDA = EDA⇑AB = AE (gt)µµ(gt)1 = A2Có: AAD chungĐủ điều kiện (c.g.c)µ = 900)b) Cm: BE ⊥ AD ( H⇑(1) AD là trung trực của BECm: (2) AD là đường caoµ 1= Hµ 2(3) H⇑(1) Cm: AD là trung trực của BECó AB = AE⇑Cần cm: DB = DE(Đúng theo ý a)(2) Cm: AD là đường cao của ABE·Có AD là phân giác của BAE⇑ABE cân tại A(Đúng vì AE = AB theo giả thiết)µ 1= Hµ 2(3)Cm: H⇑Cm: ABH = AEH⇑AB = AE (gt)µµ1 = A 2 (gt)Có: AAH chungĐủ điều kiện (c.g.c)⇒ BDA = EDA (c.g.c)⇒ BD = DEb)(1) Ta có: AB = AE (gt)và DB = DE (theo ý a)⇒ AD là đường trung trực của BE⇒ AD ⊥ BE(2) Vì AB = AENên ABE cân tại A·Mà AD là đường phân giác của BAE⇒ AD cũng là đường cao⇒ AD ⊥ BE(3) ABH và AEH có:AB = AE (gt)µµA1 = A 2 (gt)AH chung⇒ ABH = AEH ( c.g.c)µ 1= Hµ 2⇒ Hµ 1+ Hµ 2 = 1800mà Hµ 1= Hµ 2 = 1800: 2 = 900nên HVậy BE ⊥ ADNhận xét: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong ví dụ này, ta đã sửdụng kiến thức về đường trung trực của một đoạn thẳng, về đường cao và vềđịnh nghĩa hai đường thẳng vuông góc. Qua suy luận và thực hiện, ta thấy ápdụng kiến thức về đường trung trực là hiệu quả nhất vì cách làm ngắn gọn vàđặc biệt là nó tận dụng được kết quả đã có ở ý trước đó.II.3.2. Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường cao BD và CE cắtnhau tại H. Chứng minh rằng ∆BHE = ∆CHD.4A1 2∆ABC cân tại AGTBD ⊥ AC, CE ⊥ ABEBD x CE = {H}KL∆BHE = ∆CHDD1B1H2221CGiải:Phân tích∆BHE và ∆CHD vuông tại E và D.Do đó:Cm: ∆BHE = ∆CHDµ1 =Hµ 2 (Đối đỉnh)Có H⇑Cần cm: EH = HD⇑Cần cm: ∆AHE = ∆AHD∆AHE và ∆AHD vuông tại E và DCó AH chung⇑µ1 =Aµ2Cần cm: AE = AD hoặc A• Cm: AE = AD∆AEC = ∆ADB (ch – gn)µ1 =Aµ2• Cm: ADựa vào các đường trong tam giáccânChứng minhXét ∆AEC và ∆ADB có:µ =Dµ = 900EAC = AB (∆ABC cân tại A)µA chung⇒ ∆AEC = ∆ADB (ch – gn)⇒ AE = ADXét ∆AHE và ∆AHD có:µ =Dµ = 900EAE = AD (cmt)AH (chung)⇒ ∆AHE = ∆AHD (ch – cgv)⇒ EH = HDXét ∆BHE và ∆CHD có:µ =Dµ = 900EEH = HD (cmt)µµH1 = H 2⇒ ∆BHE = ∆CHD (c.g.c)Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, trước hết ta cần xem xét haitam giác đó đã có những yếu tố nào bằng nhau, cần chứng minh thêm yếu tốnào nữa. Từ đó ta có thể hình dung được tiến trình giải toán, chứng minh điềugì trước và điều gì sau.II.3.3. Ví dụ 35Cho tam giác ABC và trung tuyến BD. Chứng minh rằng nếu M là trungđiểm của BD thì AM cắt BC tại điểm N và CN = 2BN.CPD∆ABC , AD = CDGTMBM = DM; AM x BD = {N}KLCN = 2BNNABGiải:Phân tíchCách 1Cm:Cách 1CN = 2BNNếu lấy P là trung điểm của CN thìCP = PN = BN⇑Cm:Gọi P là trung điểm của CN⇒ DP là đường trung bình của tamgiác ACN⇑Cm:Chứng minhAN // DP⇒ AN // DPTam giác BDP có MN đi qua trungđiểm cạnh BD và song song với cạnhDP nên đi qua trung điểm của BP.Đúng vì DP là đường trung bình của ⇒ BN = PN = CPtam giác ACNVậy CN = 2BNCách 2Cách 2Trên tia đối của tia BA, vẽ2Do CN = 2BN ⇒ CN = CBBE = AB ⇒ CB là trung tuyến của3Dự đoán CB là đường trung tuyến của ∆ACE (1)một tam giác và N là trọng tâm của tam Gọi P là giao điểm của CE và tia AN.giác đó.Ta sẽ chứng minh N là trọng tâm củaC∆ACETa có DB là đường trung bình củaDPN∆ACE ⇒ DB // CEM⇒ M là trung điểm của APABE ⇒ DM là đường trung bình của∆ACP và MB là đường trung bìnhcủa ∆APECần cm: N là trọng tâm của ∆ACECó CB là trung tuyến ∆ACE6⇑Cm: AP là trung tuyến của ∆ACE⇑Cm: CP = PEĐể cm: CP = PE, ta sử dụng tính chấtđường trung bình của tam giác hoặcđịnh lý Ta-let trong tam giác⇒ DM =11CP và MB = PE22Mà DM = MB⇒ CP = PE⇒AP là trung tuyến của ∆ACE (2)Từ (1) và (2) suy ra N là trọng tâmcủa ∆ACE⇒ CN = 2NBNhận xét: Thông qua suy luận, ta liên kết được các kiến thức của giả thiếtvà kết luận, từ đó tìm được kiến thức liên quan và việc vẽ thêm hình là hệ quảtất yếu, cần thiết để có thể sử dụng các kiến thức liên quan đó.II.3.4. Ví dụ 4Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 17cm, AH = 15cma) Tính độ dài đoạn thẳng BC.b) Từ B vẽ BD ⊥ AC (D ∈ AC). Chứng minh AHC BDC.Sc) Qua D vẽ DE ⊥ BC (E ∈ BC). Chứng minh BE.EC =AH 2 .CE 2CH 2∆ABC, AB = AC = 17cm;GTAH = 15 cm; AH ⊥ BC;BD ⊥ AC; DE ⊥ BCa) BC = ?KLb) AHCBDCSc) BE.EC =AH 2 .CE 2CH 2Giải:Phân tícha)BC = ?⇑BH = ?⇑BH2 + AH2 = AB2Chứng minhÁp dụng định lý Pytago vào tam giácvuông ABH, ta có:BH2 + AH2 = AB2⇒ BH2 = AB2 – AH2 = 172 – 152 = 64Vì BH > 0 nên BH = 8 (cm)(AB, AH đã biết nên BH tính được)⇒ BC = 2. BH = 2.8 = 16 (cm)b)Xét 2 tam giác AHC và BDC có:AHCBDCS7⇑µ chung; AHC··= 900C= BDCc)BE.EC =2AH .CECH 22⇑BE.EC.CH = AH2.CE2⇑22DE .CH = AH2.CE2⇑DE.CH = AH.CE⇑2DE CE=AH CH⇑AHC S DEC(Đủ điều kiện)µ chung;C··= 900 (GT)AHC= BDC⇒ AHC SBDC (g.g)Xét 2 tam giác AHC và DEC có:µ chung;C··= 900 (GT)AHC= DEC⇒ AHC SDEC (g.g)⇒DE CE=(Các cạnh tương ứng)AH CH⇒ DE.CH = AH.CE⇒ DE2.CH2 = AH2.CE2 (1)Lại có: AHC S DEC (g.g)⇒BE DE=DE CE⇒ BE.CE = DE2 (2)Thay (2) vào (1) ta đượcBE.EC.CH2 = AH2.CE2⇒BE.EC =AH 2 .CE 2(đpcm)CH 2Nhận xét:Ví dụ trên đã sử dụng đẳng thức trung gian BE.CE = DE2 vàDE2.CH2 = AH2.CE2 ⇒ DE.CH = AH.CE (Vì độ dài đoạn thẳng luôn lớn hơn 0).II.3.5. Ví dụ 5Cho tam giác vuông ABC có (ABC NE // BMBN = ME⇒ME // AB NE = BMTa sẽ cm: CN > NEtức là CN > BM⇑()(·µ1+Eµ 2 > ECN·µ 2 +Cµ3CEN=E=C)9à1 >Cà 2 v Eà 2 >Cà3Eà1 >Cà2a) Cm:Eà1 =Bà 2 (cựng bự vi BNEãm E)Cm:à 2 >Cà2Cm: BLy im K trờn AB sao cho AK=AB ABD = AKD (c.g.c) (1)à 2 = AKDãBãà2 Cm: AKD>Cãỳng vỡ AKDl gúc ngoi ca CKDà 2 >Cà3b) Cm: E Cm: CM > ME Cm: CM > BNBCM v CBN cúBC chung, BM=CN (gt)à1 >Cà 1 CD > BDCm: Bm BD = KD (t (1))Cm: CD > KDãỳng vỡ CKDk bự vi gúc nhnãnờn l gúc tự:AKDãà2>CCKDXột ABD v AKD cú:AD chungà àA1 = A 2AK = AB ABD = AKD (c.g.c)à 2 = AKDãà 2 (1)B>Cv BD = KD(2)ãTrong CKD, gúc CKDk bự vi gúcãnhn AKDnờn nú l gúc tự:ãà 2 KD < CD (3)CKD>CT (2) v (3) suy ra:à1 >Cà1BD < CD BHai tam giỏc BCM v CBN cú:BC chungAK = AB nờn CM > BN (4)à àB1 > C1K NE//BM v ME//AB ct nhau ti Ethỡ ta cú: BN = ME (5)à1 =Bà 2 (7)BM = NE (6) v ET (4) v (5) suy ra: CM > MEà 2 >Cà3Vy trong CME cú: Eà1 >Cà2 T (1) v (7) suy ra: E()(ãà1+Eà 2 > ECNãà 2 +Cà3CEN=E=C) CN > EN (8)Từ (6) và (8) suy ra CN > BM(trái giả thiết)Điều này chứng tỏ điều giả sửlà sai.Vậy AB = AC.Tức là tam giác ABC cân tại A.Sau khi hc sinh c lm nhiu cỏc dng bi tp nh trờn thỡ k nng suylun c hỡnh thnh, cng c v cỏi ớch l hỡnh thnh k xo cú cỏc phnx t nhiờn, nhy bộn trc mt bi tp khú.II.4. Kt qu10Khi áp dụng phương pháp suy luận phân tích ngược vào giảng dạy hìnhhọc 8 tại đơn vị sở tại, tôi nhận được kết quả như sau:Học sinh có hứng thúHS không có hứng thúTổng số HSSL%SL%Trước khi áp dụng62812,9%5487,1%Sau khi áp dụng624369,4%1930,6Kết quả khảo sát chất lượng phân môn Hình học khi chưa áp dụng SKKNTổng số họcsinhGiỏiKháTBYếuTrước khi áp dụng62353519Sau khi áp dụng621527163Dựa vào bảng số liệu trên, có thể nhận thấy nhờ áp dụng phương pháp suyluận phân tích ngược mà chất lượng học sinh được nâng lên đáng kể. Việc họctập của học sinh khối 8 trong một năm học đã thu được nhiều kết quả khả quan,tuy chưa cao nhưng có những chuyển biến rõ rệt theo chiều hướng đi lên. Điềunày chứng tỏ vai trò tích cực của đề tài nghiên cứu đối với quá trình dạy và họccủa thầy trò chúng tôi.11III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊIII.1. Kết luậnCùng một vấn đề có thể phân tích theo các hướng khác nhau, từ đó sẽ tìmra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. Vì vậy, khi đã phân tích và tìm ralời giải, chúng ta hãy tích cực suy luận theo nhiều hướng khác để tìm kiếmnhững lời giải mới.Suy luận phân tích cần phải luyện tập thường xuyên và theo thời gian, sựtích lũy kinh nghiệm sẽ dần hình thành nên một khả năng vô cùng đặc biệt, đó làtrực giác. Đây là dạng phản xạ có điều kiện nhưng lại diễn ra rất nhanh saunhững phân tích chóng vánh của bộ não. Nó làm nên tính nhạy bén trong phântích – điều mà bất kì người học toán nào cũng cần phải đạt được.Không chỉ riêng trong học toán, phép suy luận nói chung và phép suy luậnphân tích ngược nói riêng còn rất cần trong thực tiễn. Khi bắt gặp một vấn đềphức tạp thì trước khi hành động, chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem cần làmđiều gì trước?, làm điều gì sau?, sử dụng cái đã có như thế nào và làm sao khắcphục được cái còn thiếu? ... Những định hướng này sẽ dần kết nối với nhau vàhình thành nên một mạng lưới lôgic có tên gọi là “bản kế hoạch dự kiến”, giúpchúng ta giải quyết triệt để vấn đề đang gặp phải.III.2. Kiến nghịGiới hạn của đề tài mới dừng lại ở việc áp dụng phép suy luận phân tíchngược. Để đạt được hiệu quả cao hơn, chúng ta có thể sử dụng kết hợp thêmphương pháp suy luận phân tích đi xuống và sau đó chứng minh tổng hợp để hệthống tư duy của học sinh được phát triển đầy đủ.Đề nghị BGH, tổ chuyên môn tạo điều kiện, giúp đỡ để tôi tiếp tục triểnkhai thực hiện đề tài này trong nhà trường. Rất mong nhận được những phản hồitích cực và lời góp ý chân thành của bạn bè và đồng nghiệp.Tôi xin cảm ơn!XÁC NHẬN CỦATHỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2017Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác.Nguyễn Hữu Dương12TÀI LIỆU THAM KHẢO1. Sách giáo khoa toán 8 tập 1, 2.2. Sách bài tập toán 8 tập 1, 2.3. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học - Nguyễn Đức Tấn.4. Ôn tập hình học 8 - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thụy.5. Phương pháp suy luận phân tích để giải toán hình học THCS.6. Khai thác và phát triển một số bài toán THCS – Nguyễn Tam Sơn,Phạm Lệ Hằng7. Nâng cao và phát triển Toán 8 tập 1, 2 – Vũ Hữu Bình.8.Ôn tập cuối tuần môn Toán 8 tập 1, 2 – Hoàng Xuân Vinh, Mai Công Mãn9.Các kiến thức, tài liệu có được trong quá trình học Đại học sư phạm13

Tài liệu liên quan

• giai bai toan bang phuong phap tham lam
  • 13
  • 1
  • 37
• Tài liệu Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ và vectơ 23.02 (Bài tập và hướng dẫn giải) ppt
  • 5
  • 1
  • 2
• Tài liệu Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ và vectơ 25.02 (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf
  • 5
  • 790
  • 0
• Tài liệu Một số kỹ năng cơ bản cần rèn cho học sinh trong việc giải bài toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng docx
  • 9
  • 1
  • 6
• giai bai tap theo Phuong Phap Ion- electron
  • 9
  • 510
  • 3
• sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài tập theo phương pháp bảo toàn trường THPT số 1 bắc hà
  • 21
  • 1
  • 2
• Giải bài toán theo phương pháp xuống thang docx
  • 7
  • 1
  • 2
• Sáng kiến kinh nghiệm phân loại và giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối
  • 27
  • 876
  • 1
• Phân loại, lựa chọn hệ thống bài tập và hướng dẫn hoạt động giải bài tập nhằm phát huy tính tích cực và giúp học sinh nắm vững kiến thức khi học chương sóng cơ và sóng âm Vật lí 12 THPT (LV00242)
  • 141
  • 468
  • 0
• skkn giúp học sinh lớp 4,5 phân loại và giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối
  • 22
  • 642
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(426.5 KB - 13 trang) - Hướng dẫn học sinh giải bài toán theo phương pháp phân tích suy luận ngược trong hình học lớp 8 Tải bản đầy đủ ngay ×