Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 12 Sử Dụng Máy Tính Casio Fx 570 VNPLUS ...

Tải bản đầy đủ (.doc) (24 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Trung học cơ sở - phổ thông

Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính casio fx 570 VNPLUS giải toán trắc nghiệm phần nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (269.12 KB, 24 trang )

MỤC LỤCNỘI DUNG1. MỞ ĐẦU1.1. Lý do chọn đề tài .............................................................................1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................1.3. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................1.4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ......................................I. Hướng dẫn sử dụng MTCT ................................................................II. Sử dụng máy tính giải các bài toán ....................................................1. Dạng 1: Giải toán về nguyên hàm....................................................2. Dạng 2: Giải toán về tích phân. ......................................................3. Dạng 3: Ứng dụng của tích phân.....................................................3.1. Tính diện tích hình phẳng......................................................3.2. Tính thể tích vật thể................................................................III. Hiệu quả của đề tài............................................................................3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...............................................................3.1. Kết luận.............................................................................................3.2. Kiến nghị...........................................................................................4. TÀI LIỆU THAM KHẢOTRANG1112233668141416202020212211. MỞ ĐẦU1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀIĐể bắt kịp sự phát triển của xã hội trong bối cảnh bùng nổ thông tin, ngành giáodục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá một cách mạnhmẽ nhằm tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nềnsản suất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm minh, có tính tổchức và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc. Muốn đạtđược điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học làtận dụng các phương tiện hiện đại hỗ trợ vào quá tình dạy, học, kiểm tra, đánh giátrong đó có máy tính cầm tay.Với sự phát triển của công cụ tin học thì máy tính cầm tay (MTCT) là một sảnphẩm hỗ trợ rất tốt cho việc dạy và học, với những chức năng được lập trình sẳn thìmáy tính có thể giải quyết hầu hết các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp. Nhưng thựctế việc vận dụng máy tính vào giải toán của nhiều học sinh còn rất hạn chế, chưa khaithác hết những tính năng vốn có của máy tính.Mặt khác do sự đổi mới trong quá trình kiểm tra đánh giá lực của học sinh màhình thức thi cũng thay đổi từ hình thức Tự luận sang Trắc nghiệm khách quan đòi hỏihọc sinh phải tích lũy một lượng lớn kiến thức và phải có kỹ năng tính toán nhanh vàchính xác, có khả năng phán đoán, khả năng phân tích, khả năng tổng hợp...nhưng yếutố này cũng thường bị hạn chế ở các đối tượng học sinh trung bình khá trở xuống.Nhưng nếu biết sử dụng máy tính một cách thành thạo sẽ phần nào khắc phục đượcnhững hạn chế đó, giúp các em đẩy nhanh tốc độ làm bài và tăng cường tính chính xác.Đồng thời việc sử dụng máy tính để giải toán trắc nghiệm cũng giúp các em tự tin hơnkhi lựa chọn đáp án vì việc tính toán bằng máy tính chính xác hơn nhiều so với tínhtoán bằng tay.Đối với bộ môn Toán, kĩ năng tính toán nhanh, chậm, mức độ chính xác đều cónhững ảnh hưởng nhất định đến kết quả của bài thi. Ở một số bài toán, dù các bướcthực hiện học sinh đều nắm và nhớ được, nhưng do kĩ năng tính toán sai nên dẫn đếnkết quả không chính xác, mặc dù các bước trình bày bài giải của các em đều đúng. Vìthế, bản thân tôi nhận thấy cần phải hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng máy tínhcầm tay trong việc giải toán cho chính xác và nhanh.Đây chính là lí do mà tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụngmáy tính CASIO fx-570VN plus để giải toán trắc nghiệm – Phần nguyên hàm - tíchphân và ứng dụng"1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU- Đối với giáo viên:+ Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.+ Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.+ Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về ứng dụng máytính Casio trong dạy và học môn toán.2- Đối với học sinh:+ Giúp học sinh nắm vững lí thuyết, tiếp cận và vận dụng MTCT vào giải toántrắc nghiệm để được kết quả nhanh chóng và chính xác+ Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, thao tác nhanh để tìm đượcđáp án đúng, rút ngắn thời gian làm bài.1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨUDo thực tế và điều kiện thời gian nên phạm vi nghiên cứu của tôi chỉ dừng lại ởphần ứng dụng giải toán trên MTCT đối với bộ môn Giải tích lớp 12 phần “NGUYÊNHÀM- TÍCH PHÂN”1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨUĐể thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :a. Nghiên cứu tài liệu :- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ... có liên quan đến nội dung đề tài- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.- Nghiên cứu các bài tập ở sách giáo khoa hiện hành, các phím chức năng của MTCTCASIO fx - 570VN PLUS.- Tiếp theo tôi thực hành nghiên cứu một số bài tập và thực nghiệm sử dụng MTCTđể có được các kết quả chính xác.- Tham khảo các đề minh họa thi THPT- QG của Bộ GD và đề thi thử của cáctrường trên toàn Quốc.b. Nghiên cứu thực tế :- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân .- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài.- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học.- Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh.32. NỘI DUNGI. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO FX-570VN PLUS1. Kí hiệu và chức năng các loại phím trên máy tính.1.1. Phím chungPhímChức năngONMở máySHIFT OFFTắt máy<  > �1 2…9Cho phép di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu hoặc phép toán cầnsửa.Nhập các chữ số (nhập từng số).Dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân của số thập phân.  ��Các phép tính cộng, trừ, nhân, chiaACXóa hếtXóa kí tự vừa nhậpDấu trừ của số âmXóa màn hìnhDEL( )CLR1.2. Phím nhớ.PhímChức năngE F X Y MGọi số ghi trong ô nhớGán (ghi) số vào ô nhớCác ô nhớ, mỗi ô nhớ này chỉ ghi được một số riêng. Riêng ô nhớM thêm chức năng nhớ M+; M-M MCộng thêm vào ô nhớ M hoặc trừ bớt ra ô nhớ MRCLSTOA B C D1.3. Phím đặc biệt.PhímChức năngSHIFTChuyển sang kênh chữ VàngALPHAChuyển sang kênh chữ ĐỏMODEẤn định ngay từ đầu kiểu, trạng thái, loại hình tính toán, loại đơnvị đo, dạng số biểu diễn kết quả… cần dùng( ; )Mở; đóng ngoặcEXPNhân với lũy thừa nguyên của 10Nhập số 0,,,DRG >RndnCrnPrNhập hoặc đọc độ, phút, giây.Chuyển đơn vị giữa độ, radian, gradLàm tròn giá trịTính tổ hợp chập r của nTính chỉnh hợp chập r của n41.4. Phím hàm.Phímsin cos tanChức năngTính giá trị của sin, cosin, tan khi biết số đo của một cung (góc)sin 1 cos 1 tan 1Tính số đo của một cung (góc) khi biết giá trị của sin, cosin, tan.log ln logLogarit thập phân, logarit tự nhiên.exHàm số mũ cơ số e, cơ số 10Bình phương, lập phương …10 xx 2 x3 x3Căn bậc 2, căn bậc 3, căn bậc nnSố nghịch đảoGiai thừaPhần trămGiá trị tuyệt đốiNhập hoặc đo phân số, hỗn số, đổi phân số ra số thập phân, hỗnsố.Tìm giá trị của hàm sốDò nghiệm của phương trìnhTính đạo hàm của hàm số tại x0x 1x!%Absabc;dcCALCSOLVEddxTính tích phân�Chuyển sang dạng a *10nPol(Đổi tọa độ Decac ra tọa độ cựcRe c(Đổi tọa độ cực ra tọa độ DecacRan #Nhập số ngẫu nhiênFACTPhân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố.2. Các thao tác sử dụng máy2.1 Thiết lập kiểu tính toán (chọn mode):Trước khi sử dụng máy tính để tính toán, cần phải thiết lập Mode, bằng việc sửdụng phím MODE cùng các phím 1 , 2 , 3 .ENGMODEMODE1MODE2MODE3MODE4(COMP)(CMPLX)(STAT)(BASE-N)Chức năngMáy ở trạng thái tính toán cơ bản.Máy ở trạng thái tính toán được với cả số phức.Máy ở trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến.Máy ở trạng thái tính toán có hệ thống số riêng (nhị phân,bát phân, thập phân, thập lục phân)Máy ở trạng thái giải hệ phương trình, phương trình5MODE(EQN)5(MATRIX)MODE 6MODE(TABLE)7MODE 8(VECTOR)MODE�1MODE�2MODE�3(INEQ) Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: ấn 2 Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn: ấn 3 Phương trình bậc hai (ba) một ẩn: ấn ► � 2 (3)Máy ở trạng thái giải toán ma trận.Máy ở trạng thái sinh ra một bảng số dựa trên một hay haihàm.Máy ở trạng thái giải toán vectơ.Máy ở trạng thái giải bất phương trình.(RATIO) Máy ở trạng thái tính tỉ lệ.(DIST)Máy ở trạng thái tính toán phân phối.Chú ý: Muốn đưa máy về trạng thái mặc định (mode ban đầu của nhà sản xuất):ấn SHIFT CLR 3  2.2 Các hình thức nhập dữ liệuĐể nhập dữ liệu (biểu thức chứa biến hay chữ số) từ bàn phím vào màn hìnhmáy tính ta có ba hình thức đó là:- Ấn phím gọi trực tiếp dạng biểu thức( chủ yếu dùng cho các dạng biểu thức đã đượcghi màu trắng trên phím).- Ấn tổ hợp phím SHIFT và phím chỉ biểu thức tương ứng nếu dạng biểu thức được ghimàu vàng ở góc trên bên trái của phím.- Ấn tổ hợp phím ALPHA và phím chỉ biểu thức tương ứng nếu dạng biểu thức đượcghi màu đỏ ở góc trên bên phải của phím.2. 3 Nhập, xóa biểu thức: Nhập: Trình tự bấm các phím giống như viết biểu thức đó trên một hàng. Thứ tự cácphép tính theo đúng thứ tự quy ước trong toán học. Tuy vậy, một số trường hợp cầnghi dấu ngoặc (chẳng hạn căn của một tổng … )xALPHA ) �bấm phím: SHIFTyyy � zNhập hỗn số xbấm phím: x SHIFTzCác phép toán: + ( cộng), - (trừ), x ( nhân), �(chia) .Nhập phân sốALPHA S � D Nâng lũy thừa: a 2 bấm: a x 2 ; a 3 bấm: a SHIFT x 2 ;a n bấm: a ^ n .a , căn bậc 3 của a ( 3 a ) bấm: Khai căn: căn bậc 2 của a ( a ) bấm:SHIFTa , căn bậc n của a ( n a ) bấm: n SHIFTa . Nếu a là một biểu thức thìphải ghi a trong dấu ngoặc. Các hàm log, ln, e x , 10 x , sin, cos, tan, sin 1 , cos 1 , tan 1 , (-) số âm, …: ấn phímhàm rồi ngay sau đó là giá trị của đối số.6’’’ phút �’’’ giây �’’’ . Nhập đơn vị độ, phút, giây (giờ, phút, giây): độ � Ghi chú: Khi nhân một số với các hàm hoặc với biến nhớ hoặc căn hoặc �, có thểbỏ qua dấu nhân. Chẳng hạn 10ln(3x+5) thay vì 10 x ln(3x+5); có thể bỏ quadấu ) trước dấu  .Thêm, Xóa, Sửa: Sử dụng các phím ◄ ► để di chuyển con trỏ đến chỗ cần sửa. Ghi chèn kí tự mới vào vị trí con trỏ nhấp nháy: ấn phím SHIFT INS gõ kí tựcần chèn. Để bỏ chế độ ghi chèn, ấn SHIFT INS . Xóa ký tự ngay vị trí con trỏ nhấp nháy: ấn phím DEL . Ghi đè ký tự mới lên vị trí con trỏ nhấp nháy: gõ ký tự mới.II. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO FX-570VN PLUS GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊNQUAN ĐẾN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG1. DẠNG 1: TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ.Bài toán:Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên K. Tính nguyên hàm của hàm số y  f ( x ) .1.1 Cơ sở lí thuyết:a) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyênhàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F '( x )  f ( x), x �K .b) Giải pháp: Sử dụng máy tính để thử và loại trừ các phuogw án không thỏa mãn yêucầu bài toán. Cụ thể với dạng toán này thì cơ sở để tìm ra phương án sai là:Nếu x0  K : F '( x0 ) f ( x0 ) thì F ( x) không phải là nguyên hàm của hàm f ( x )trên K.1.2 Thuật toán bấm máy.d( F ( x)) x  x0 để tính F '( x) với x0 �K .dx- Nếu F '( x ) �f ( x0 ) thì F ( x) không phải là nguyên hàm của hàm f ( x ) trên K.� Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos 2 x.- Dùng chức năng1A.�f ( x)dx  sin 2 x  C2C.�f ( x)dx  2sin 2 x  C1B.�f ( x)dx   sin 2 x  C2D.�f ( x)dx  2sin 2 x  C( Trích câu 22 đề thi thử nghiệm lần 2- Bộ GDĐT)Giải:+) Các bước bấm máy:Bước 1: Chọn đơn vị tính bằng Radian bằng cách bấm SHIFT MODE 4Bước 2: Kiểm tra các phương án+ Để kiểm tra phương án A ta thực hiện các thao tác sau:d �1�- Nhập biểu thức� sin 2 X �x  X  cos 2 X vào màn hình bằng cách bấm lần lượt cácdx �2�phím sau:7SHIFT1 � 2 > sin 2 ALPHA ) ) > ALPHA ) >  cos 2 ALPHA ) )�Nhấn phím2.87x10CALC.máy hỏi X? ta gán giá trị cho biến X=1 và nhấn dấu = được kết quả13- Kết quả của phép thử sấp sỉ bằng 0.+ Để kiểm tra phương án B ta thực hiện các thao tác sau:d �1� sin 2 X �x  X  cos 2 X vào màn hình bằng cách bấm lần lượt- Nhập biểu thức�dx � 2�các phím sau:SHIFT � 1 � 2 > sin 2 ALPHA ) ) > ALPHA ) >  cos 2 ALPHA ) ) .( hoặc chỉnh sửa biểu thức đã nhập trước đó)máy hỏi X? ta gán giá trị cho biến X=1 và nhấn dấu = được kết quảNhấn phím CALC0.8322936731- Kết quả của phép thử khác bằng 0, vậy loại phương án B.Làm tương tự với các phương án C và D, ta thu được kết quả khác 0.Ta thấy trong các phép thử thì kết quả ở phương án A coi như bằng 0.Vậy ta chọn đáp án A. Chú ý:- Khi tính đạo hàm của các hàm số lượng giác tại một điểm x0 thì phải chọn đơn vị làRadian.- Để không mất thời gian nhập đi, nhập lại các biểu thức trong mỗi lần kiểm tra cácphương án ta di chuyển con trỏ đến vị trí cần chỉnh sửa để sửa lại biểu thức cần thử.� Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  1.21A.�f ( x)dx   2 x  1 2 x  1  CB.�f ( x)dx   2 x  1 2 x  1  C3311C.�f ( x)dx 2x  1  CD.�f ( x )dx 2x 1  C32( Trích câu 23 đề thi thử nghiệm lần 1- Bộ GDĐT)Giải:+) Các bước bấm máy:Bước 1: Để máy tính ở chế độ thông thường.Bước 2: Kiểm tra các phương án.+ Để kiểm tra phương án A ta thực hiện các thao tác sau:d �2�- Nhập biểu thức� (2 X  1) 2 X  1 �x  X  2 X  1 vào màn hình bằng cách bấmdx �3�lần lượt các phím sau:2 � 3 > ( 2 ALPHA )  1 )SHIFT�2 ALPHA )  12 ALPHA )  1 > > ALPHA ) >.8Nhấn phím CALC máy hỏi X? ta gán giá trị cho biến X=1 và nhấn dấu = được kết quả1- Kết quả của phép thử khác bằng 0. Loại phương án A.+ Để kiểm tra phương án B ta thực hiện các thao tác sau:d �1�- Sửa lại biểu thức thành� (2 X  1) 2 X  1 �x  X  2 X  1 vào màn hình bằngdx �3�cách bấm lần lượt các phím sau:SHIFT�1 �32 ALPHA )  1Nhấn phímCALC2.053 x 10> ( 2 ALPHA )  1 ) 2 ALPHA )  1 > > ALPHA ) > .máy hỏi X? ta gán giá trị cho biến X=1 và nhấn dấu = được kết quả12- Kết quả của phép thử sấp sỉ bằng 0.Làm tương tự với các phương án C và D, ta thu được kết quả khác 0.Ta thấy trong các phép thử thì kết quả ở phương án B coi như bằng 0.Vậy ta chọn đáp án B.2. DẠNG 2: TÍNH TÍCH PHÂNBài toán: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Hãy tính tích phân của hàmsố y  f ( x ) trên đoạn [a; b].2.1 Cơ sở lí thuyết:Định nghĩa:Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thìbf ( x) dx  F ( x )�ba F (b)  F (a).a2.2 Thuật toán bấm máy .- Sử dụng phím MODE để thiết lập kiểu COMP khi ta muốn sử dụng máy tính đểtính tích phân, cụ thể ta ấn:MODEĐể tính1b�f (x)dx , ta khai báo theo cú pháp:a� < hàm số f(x) > � a  b Trong đó các cận a, b và hàm số f (x) được nhập trực tiếp từ bàn phím.* Chú ý: Nếu ta nhập sai hàm số f (x) không liên tục tại x 0 � a;b  thì máy báo lỗi“Math ERROR” hoặc bị treo, điều này phù hợp với định nghĩa tích phân trongSGK 12. Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị radian).� Ví dụ 1: Tính tích phân3�(x02 2x  1)dx .9Giải.Ta lần lượt thực hiện: Ấn MODE 1 Khai báo và tính toán:- Thiết lập kiểu COMP.� ( ALPHA ) x 2  2 ALPHA )  1 � 0  3 )Ta nhận được3�(x02 2x  1)dx  9Chú ý: Máy cần một thời gian đáng kể để hoàn tất một phép tính tích phân. Trongthời gian tính toán màn hình không hiện số hay biểu thức.� Ví dụ 2: Tính tích phân20�sin xdx  1 .Giải.Ta lần lượt thực hiện: Ấn MODE 1Ấn SHIFT MODE 4 Khai báo và tính toán:- Thiết lập kiểu COMP.- Thiết lập kiểu Radian.� sin ALPHA ) ) > 0 Ta nhận đượcSHIFT  � 2 20�sin xdx  12.3 Dùng máy tính cầm tay để giải toán trắc nghiệm về tích phân.Toán trắc nghiệm về tích phân hiện được viết rất nhiều ở các các tài liệu tham khảovới lời giải thông thường là dùng công thức Newton-Leibniz hay khó hơn thì phảidùng phương pháp đổi biến hoặc tích phân từng phần. Đây là điều khó khăn cho họcsinh vì trong một khoảng thời gian ngắn phải thực hiện nhiều thao tác. Máy tínhCASIO fx – 570MS là một công cụ mạnh để giải quyết tốt các bài toán dạng này đặcbiệt đối với một số bài toán tương đối dài và khó.1x3� Ví dụ 1: Tích phân � 2 dx bằng:x 10A/43B/Giải.Ta lần lượt thực hiện: Ấn MODE 1 Khai báo và tính toán:�ALPHA ) SHIFT x 2 �23C/976350000D/ 0.2345- Thiết lập kiểu COMP.ALPHA ) x 2  1 > 0  1 x39763dx . Vậy ta chọn đáp án C.50000x 1Nhận xét: Qua bài tập trên ta thấy được ưu điểm của MTCT, nếu giải bằng cách thôngthường thì rất khó khăn về thời gian.Ta nhận được2�0210� Ví dụ 2: Tích phânA/12235650x 1dx bằng: 3x  223494923B/C/250662501�x02D/ Một đáp số khácGiải.x 1dx  A 3x  2 Nhập tích phân trên vào máy tính. Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn phímdấu bằng nếu được kết quả bằng không thì chọn phương án đó. Kết quả chọn C.Cú pháp:1�x02Ví dụ 3: Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằngA/122�x x  1dx0B/1�x x  1dx015503?12500x x 2  1dxC/ �01x 2 x  1dxD/ �0Giải.Cú pháp:1�xx B  1dx A0550312500 Nhập tích phân trên vào máy tính. Ấn phím CALC máy hỏi A?, B? ta lần lượt nhập vào cho cặp (A, B) từng bộ(2, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 1) tương ứng với các phương án rồi ấn phím dấu bằng nếuđược kết quả là không thì chọn phương án đó. Kết quả chọn D.cos3 x.sin xdx� Ví dụ 3: Tính tích phân I  �01A. I    4C. I  0B. I   44Giải:+) Các bước bấm máy:Bước 1: Chọn đơn vị tính bằng Radian bằng cách bấmBước 2: Kiểm tra các phương án.D. I  14SHIFT MODE 4�3- Nhập biểu thức cos x.sin xdx vào màn hình bằng cách bấm các phím sau:0� ( cos ALPHA ) ) ) SHIFT x 2 sin ALPHA ) ) > 0  SHIFT  .-Bước 3: Nhấn dấu  để được kết quả: 0Vậy ta chọn đáp án : C Chú ý:- Khi tính tích phân của hàm số lượng giác, ta phải để máy tính ở chế độ Radian- Để nhập cos3 x ta phải nhập máy là (cos( x))3 .ex.ln xdx� Ví dụ 4: Tính tích phân I  �111A. I 12B. I e2  14C. I e2  22D. I e2  14Giải:+) Các bước bấm máy:e�Bước 1: Để máy tính ở chế độ thông thường. Tính tích phân I  x.ln xdx bằng cách1nhập vào máy tính như sau :� ALPHA ) ln ALPHA ) ) > 1  ALPHA x10x .Bước 2: Lưu kết quả vào biến A.- Nhấn dấu SHIFT RCL ()Bước 3: Dò kết quả.+ Để kiểm tra phương án A ta thực hiện các thao tác sau :- NhấnAC ALPHA () 12Nhấn dấu  được kết quả: 1.597264025.Kết quả khác 0, loại đáp án A- Lần lượt kiểm tra tương tự với các đáp án B,C,D. Ta được đáp án đúng là phương ánB.Qua một số ví dụ trên ta nhận thấy có thể dùng máy tính để tính tích phân củacác hàm số. Song thực tế ở các đề thi lại thường có các câu hỏi hạn chế máy tính.Nhưng điều đó không có nghĩa là máy tính không thể giải quyết được. Do đó nếuchúng ta nắm vững các tính chất cơ bản và kết hợp các chức năng của máy tính thìchúng ta vẫn giải quyết tốt vấn đề của bài toán. Su đây là một số ví dụ :ax 1� Ví dụ 5: Cho tích phân � dx  e . Khi đó giá trị của a là :x1A. 2eC. I B. ee2D. I 2e 1Giải:+ Phân tích :- Giả sử phương án A đúng tức là a  2e . Khi đó2ex 1dx  e ��x12ex 1dx  e  0�x1- Từ đó ta có thể sử dụng máy tính để thử tùng phương án.+ Thuật toán bấm máy:X- Nhập biểu thứcX 1�Xdx  e ( a được gán bằng biến x ).1- Nhấn CALC và lấy các giá trị của a trong từng phương án gán cho biến x .- Nhấn  . Nếu kết quả bằng 0 thì đó là đáp án đúng.12+ Các bước bấm máy:XBước 1: Nhâp biểu thức�X 1dx  e vào máy tính.�X1ALPHA )  1 � ALPHA ) > > 1  ALPHA ) >  > ALPHA x10 xBước 2: Thử các phương án.+ Thử phương án A. Nhấn CALC máy hỏi X ? nhập 2e và nhấn dấu  đượckết quả khác 0, loại phương án A.+ Thử phương án B. Nhấn CALC máy hỏi X ? nhập e và nhấn dấu  đượckết quả bằng 0, chọn đáp án B.* Chú ý : Nếu phương án B không thỏa mãn thì tiếp tục thử các phương án còn lại.51dx  a ln 3  b ln 5 với a, b là các số nguyên.� Ví dụ 6: Cho tích phân �1 x 3x  1Tính giá trị biểu thức : S  a 2  ab  3b 2A. 4B. 1C. 0D. 5Giải:+ Phân tích :5- Giả sử1dx  p � p  a ln 3  b ln 5 � e�x 3x  1p 3a.5b (*)1- Từ (*) muốn xác định a, b ta phân tích e p ra thừa số nguyên tố.+ Thuật toán bấm máy:5- Tính1dx và lưu kết quả vào biến A .�x 3x  11- Tính e A .- Nhấn SHIFTđể phân tích e A ra thừa số nguyên tố.+ Các bước bấm máy :FACT5-Bước1: Nhập biểu thức1dx và nhấn liên tiếp các phím�x3x11SHIFT RCL ()( để tính và lưu kết quả tích phân vào biến A).- Bước 2: Tính e A và phân tích e A ra thừa số nguyên tố.- NhấnAC ALPHA x10xxALPHA () A, ta được kết quả e  1.8 1810- Phân tích 18 ra thừa số nguyên tố bằng cách : 18  SHIFT FACT ta được kết quả :18  2 �32 .18A� 3a.5b  32.51 � a  2, b  1Vậy ta có : e  1.8 � a ln 3  b ln 5 1022Do đó : S  a  ab  3b  5 . Vậy ta chọn đáp án D.13Bài tập luyện tập :Bài 1) Tính các tích phân sau:11dxa. �2x1/3d. S xdxb. �(1  3x)301 /2cos3 x.sin 2 xdx�e.11cos 3 x.cos 5xdxc. S  �015dxx3dxf. �x 112dx�1 x �(1  x)00g.1 xh.x 12ln(x �x 2  1)dx23dxbằng :sin 2 xBài 2) Tính tích phân I  �4 cotC. -cot  cotD. -cot  cot3434341� 1�3 x�dx bằng :Bài 3) Tính tích phân I  ��2x  1�0�B. 4+ln3C. 2+ln3A. 2+ln 3D.1  ln 34dx a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b là các số nguyên. TínhBài 4) Cho tích phân �2xx3A. cot cot34B. cotgiá trị biểu thức : S  3a  b  2cA. S  9B. S  2C. S  2D. S  04Bài 5) Cho tích phân5( x  1)dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b là các số nguyên.2�xx63Tính giá trị biểu thức : S  a  b  cA. S  1B. S  0C. S  1D. S  24Bài 6) Cho tích phânthức : S  a 2  bA. S  3xdx1 aln với a, b là các số nguyên. Tính giá trị biểu2�4x2b3B. S  5C. S  4D. S  02.4 Tích phân chứa trị tuyệt đối:Khi tính tích phân chứa dấu trị tuyệt đối ta bình phương biểu thức trị tuyệt đối đó vàđưa vào trong căn bậc hai ta sẽ tính tích phân đó được dễ dàng và chính xác.� Ví dụ 1: Tính tích phân sau:2�x  1dx2Giải.Ta ấn:� SHIFT Abs ALPHA )  1 > 2  2 14Ta nhận được2�x  1dx  5 .2� Ví dụ 2: Tích phân tích phân sau:2�x02 x dxGiải.Ta ấn:� SHIFT Abs ALPHA ) x 2  ALPHA ) > 0  2 Ta nhận được2�x02 x dx  1 .3. DẠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN3.1 Tính diện tích hình phẳng:Bài toán 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.3.1.1 Cơ sở lý thuyết :a) Định nghĩa : Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x )liên tục, trục hoành và các đường thẳng x  a; x  b (a  b) được tính theo côngthức :bS�f ( x ) dxab) Giải pháp :- Xác định các yếu tố cần thiết như : công thức f ( x ) các đường thẳng x  a, x  b(cận trên, cận dưới )- Sử dụng tính năng tính tích phân để tính� Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn 0;2 và trục hoành.Giải.2sin x dx  4 (đvdt)Ta có: S  �0bằng cách ấn:- Đổi đơn vị đo radSHIFT MODE 4� SHIFT Abs sin ALPHA ) ) > 0  2 SHIFT �10X 2sin x dx  4 .Ta nhận được S  �0� Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường: y  x 3 , y  0 , x  1 ,x2Giải.2x 3 dx  4.25 (đvdt)Ta có: S  �1bằng cách ấn:� SHIFT Abs ALPHA ) SHIFT x 2 >  1  2 152x 3 dx  4.25Ta nhận được S  �1Bài toán 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.3.1.2 Cơ sở lý thuyết :a) Định nghĩa : Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  f ( x )y  g ( x ) các đường thẳng x  a; x  b (f ( x) và g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  )bS�f ( x )  g( x ) dxđược tính theo công thức :ab) Giải pháp :- Xác định các yếu tố cần thiết như : công thức f ( x), g ( x ) các đường thẳngx  a, x  b (cận trên, cận dưới )- Sử dụng tính năng tính tích phân để tính� Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  x và đồ thịhàm số y  x  x 2Giải.Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:x0��x  x  x  x � x  x  2x  0 � x  1��x  2�32321Khi đó:S�x  x32 2 x dx  3.08(3)2+ Các bước bấm máy :� SHIFT Abs ALPHA ) SHIFT x 2  ALPHA ) x 2  2 ALPHA ) >  2  1 1Ta nhận được S �x  x32 2 x dx  3.08(3)2 Chú ý: Ở đây ta thu được kết quả là một số thập phân nên khó đối chiếu với đáp ánđúng. Để giải quyết vấn đề này ta cần xử lý thêm một bước nữa như sau: Lưu kết quảtrên màn hình vào ô nhớ A, rồi gọi A thực hiện phép tính A-a ( với a là giá trị đã chotrong từng phương án). Nếu hiệu bằng 0 (hoặc sấp sỉ bằng 0) thì đó là phương ánđúng.� Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàmy  x 3  3x và y  x .Giải.Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình:16x 2  3x  x � x 2  4x  0 � x1  2 , x 2  0 , x 3  2 .2S �x 3  4x dx  4.25 .2Khi đó:+ Các bước bấm máy :� SHIFT Abs ALPHA ) SHIFT x 2  4 ALPHA ) >  2  2 2x 3  4x dx  4.25 .Ta nhận được S  �2Bài tập luyện tập:5x9Bài 1) Tích phân � 5 3 dx bằng:0 (1  x )A.229B.24592C.D.4521x | x  A | dx  2 khi:Bài 2) Tích phân �0103Bài 3) Tính các tích phân sau:A. A  2a.2�x20B. A  C. A  2x  3dxb.143D. Cả B và C cùng đúng� x  2 |  | x  2  dx515Bài 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  sin 2 x cos 3 x trên đoạn� �0;hh �và trục hoành.� 2��Bài 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:a. y  x 2  2x ; y  0 ; x  1 ; x  2 ;11; y;x ; x .b. y 22sin xcos x633.2. Tính thể tích vật thể:Bài toán : Tính thế tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giớihạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b (a  b)quanh trục Ox.3.2.1 Cơ sở lý thuyết :a) Định nghĩa : Thế tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giớihạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b (a  b)quanh trục Ox, được tính theo công thức :bV �f 2 ( x)dxab) Giải pháp :17- Xác định các yếu tố cần thiết như : công thức f ( x), g ( x ) các đường thẳngx  a, x  b (cận trên, cận dưới )- Sử dụng tính năng tính tích phân để tính.�Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oxcủa hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol (P): y  x 2  x .Giải.Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và Ox là:x 2  x  0 � x  0 và x  1.Khi đó, thể tích cần xác định được cho bởi:1V  �(x 2  x) 2dx đvtt030+ Các bước bấm máy :� ( ALPHA ) x 2  ALPHA ) ) x 2 > 0  1 SHIFT x10xKết quả là :30� Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hìnhphẳng S giới hạn bởi các đường: y  xe x , x  1 , y  0 , với 0 �x �1 .Giải.Hoành độ giao điểm của hai đường y  xe x , và y  0 là nghiệm của phương trình:xe x  0 � x  0 .Thể tích vật thể tròn xoay cần tính được cho bởi:1V  �(xe x ) 2dx �5.018 đvtt0+ Các bước bấm máy :SHIFT x10x� ( ALPHA ) ALPHA x10x ALPHA ) > ) x 2 > 0  1 Kết quả là: 5.017952926.� Ví dụ 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi:D   y  tan x; x = 0; x  3 ; y  0a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D.b. Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox.Giải. /3| tan x |dx �0.693Ta có: S  �0+ Các bước bấm máy :SHIFT MODE 4� SHIFT Abs tan ALPHA ) ) > 0 - Đổi đơn vị đo radSHIFT x10 x �3Kết quả là: 0.69315b.Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:18 /3V   �tan 2 xdx �2.152 đvtt0+ Các bước bấm máy :SHIFT x10x� ( tan ALPHA ) ) ) x 2 > 0 SHIFT x10 x � 3Kết quả là: 2.151519729.� Ví dụ 4: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2( x  1)e x , trụctung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H)quanh trục Ox.B. V  (4  2e)A. V  4  2eD. V  (e 2  5)C. V=e 2  5Giải :+ Các bước bấm máy :Bước 1 : Tìm cận trên, cận dưới ( Giải phương trình : 2( x  1)e x  0 )- Nhập biểu thức : 2( x  1)e x vào máy tính.- BấmSHIFT SOLVE, máy hỏi Solve for X, nhập số 1( gán giá trị cho biến X bằng 1)X1L-R=0x- Suy ra đồ thị hàm số y  2( x  1)e cắt trục hoành tại điểm x  1 , đồng thời hìnhphẳng giới hạn bởi trục tung ( x  0) . Vậy cận dưới x  0 , cận trên x  1 .và nhấn dấu  được kết quả :Bước 2 : Tính thể tích khối tròn xoay.- Nhấn MODE 1 (Thoát khỏi chế độ giải phương trình)1x 2- Nhập biểu thức :  (2( x  1)e ) dx vào máy tính.�0SHIFT x10x� ( 2 ( ALPHA )  1 ) ALPHA x10x xALPHA ) > ) x 2 > 0  1Thu được kết quả : 7.505441089Bước 3 : Chính xác hóa kết quả.- Nhấn SHIFT STO () ( để lưu kết quả trên vào ô nhớ A)- Nhấn ALPHA () ( gọi A) và trừ từng giá trị đã cho trong các phương án. Ta thấyphương án D cho kết quả bằng 0.Vậy chọn đáp án D.Bài tập luyện tập:1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình H quanh trục Ox, với:a. H   y  0; y  1  cos 4 x  sin 4 x ; x  2 ; x  b. H   y  0; y  x ln x ; x  1; x  e .c. H   y  0; y  cos 6 x  sin 6 x ; x  0; x 2192. Cho miền D giới hạn bởi đường tròn (C): x 2  y 2  8 và Parabol (P): y 2  2x .D   y  tan x; x = 0; x  3 ; y  0a. Tính diện tích S của miền D.b. Tính thể tích V sinh bởi D khi quay quanh Ox.III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀIThực tiễn giảng dạy ở trường THPT Đông Sơn 2 tôi được nhà trường giao chogiảng dạy hai lớp 12A1 và 12A4. Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này qua việc lồngghép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy học sinh rất hứng thúhọc tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng các bài kiểm tra được nâng lên rõrệt. Và đối với tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trongviệc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào giờ học toán.Một số học sinh yếu đã rất tự tin khi sử dụng MTCT để giải toán trắc nghiệm vềnguyên hàm, tích phân. Không còn tình trạng chọn đáp án bằng cách khoanh bừa. Mộtsố học sinh khá, giỏi còn biết vận dụng vào các bài toán ở mức độ khó hơn.Chất lượng bài làm, tốc độ và kĩ năng giải toán bằng MTCT tốt hơn trước khiáp dụng MTCT. Cụ thể:LớpTS GiỏiKháT bìnhYếuKémSL%SL%SL%SL%SL%12A1 44 1022,7 2045,4 920,5 511,4 0012A4 38 615,8 1231,6 1436,8 615,8 00Như vậy, chất lượng bài kiểm tra đã được tăng lên rõ rệt.3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ3.1- Kết luậnQua một số ví dụ minh họa trên, ta thấy việc sử dụng máy tính cầm tay chophép chúng ta giải quyết được bài toán một cách nhanh chóng, chính xác mà đôi khikhông cần hiểu bản chất của vấn đề. Đặc biệt là các bài toán đòi hỏi xử lí các con số"không đẹp" hoặc những hàm số phức tạp.Tuy nhiên cũng cần lưu ý một số điểm sau:- Không phải bài tập nào ta cũng có thể sử dụng MTCT để giải quyết được.- Một số bài tập ta giải bình thường có khi nhanh hơn việc sử dụng MTCT.Vì vậy việc sử dụng máy tính làm công cụ hỗ trợ là cần thiết song không nênlạm dụng hoặc phụ thuộc vào máy tính cầm tay quá mà bỏ qua việc nắm và hiểu bảnchất của vấn đề, khi gặp các bài toán tự luận ta không biết suy luận logic và diễn đạtlời bài toán như thế nào (điều này hết sức " nguy hiểm", đặc biệt với Toán học). Hyvọng rằng với tập tài liệu nhỏ này sẽ giúp các đồng nghiệp và học sinh có thêm mộtcông cụ hỗ trợ trong việc giải Toán, cụ thể là các bài toán về tích phân xác định và cácứng dụng của tích phân.Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là mộtnhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực thụ.Bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên20tôi luôn cố gắng tìm tòi và ứng dụng những cái mới vào việc giảng dạy trên cở sở kinhnghiệm qua nhiều năm đứng lớp.Học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay giải toán thành thạo sẽ giúp các em tựtin trong học tập, kiểm tra và các kì thi. Đồng thời khi biết sử dụng thành thạo máytính cầm tay để giải toán, học sinh còn tự rèn luyện khả năng tư duy thuật toán, qua đógiúp các em củng cố khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy logic, giúp cácem học tốt hơn. Do đó, sử dụng máy tính cầm tay dạy học trong các môn khoa học tựnhiên sẽ phát huy tính tích cực chủ động của học viên và đem lại kết quả cao.3.2.Đề xuất, kiến nghị.Bộ giáo dục nên đưa thêm vào sách giáo khoa hoặc sách giáo viên nhiều bàiđọc thêm hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay để giải toán đối với một số loại máymới mạnh hơn mà Bộ đã cho phép học sinh sử dụng.Sở nên khuyến khích các thầy giáo cô giáo dạy các môn khoa học tự nhiên nóichung cần quan tâm hơn nữa đến việc rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay chohọc sinh.Mong nhận được sự góp ý chân thành của bạn đọc.Đông Sơn, ngày 13 tháng 5 năm 2019NGƯỜI THỰC HIỆNTrần Thị HuyềnXÁC NHẬNCỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hóa, ngày 13 tháng 5 năm 2019Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác.Trần Thị Huyền21TÀI LIỆU THAM KHẢO[1]. Các đề minh họa, đề thi THPT- QG của Bộ GD và đề thi thử của các trường trêntoàn Quốc.[2]. Giải toán THPT với máy tính điện tử của TS Nguyễn Thái Sơn trường Đại HọcSư Phạm TP. Hồ Chí Minh.[3]. Thủ thuật Casio (YouTube online) của Bùi Thế Việt.[4]. Tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX -570 MS kèm theo máy khi mua.[5]. Ứng dụng MTCT trong giải toán của thầy Nguyễn Bá Tuấn[6]. Sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh 12 sử dụng máy tính casio f(x) 570es, 570vn plus giải toán trắc nghiệm – phần giải tích” của Nguyễn Văn Kỳ.22DANH MỤCSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINHNGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁCCẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊNHọ và tên tác giả: Trần Thị HuyềnChức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Đông Sơn 2TT1.Tên đề tài SKKNGiúp học sinh tiếp cận và vậndụng phương pháp quy nạp tốthơn.Cấp đánh giá xếploại(Ngành GD cấphuyện/tỉnh; Tỉnh...)Sở GD & ĐTThanh HóaKết quảđánh giáxếp loại(A, B, hoặc C)CNăm họcđánh giáxếp loại2017-20182.3.4.5....23SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMTÊN ĐỀ TÀIHƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNHCASIO FX-570VN PLUS GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM –PHẦN NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.Người thực hiện: Trần Thị HuyềnChức vụ: Giáo viênSKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán24THANH HOÁ NĂM 2019

Tài liệu liên quan

• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng kỹ năng tính tích phân các hàm số hữu tỉ để giải một số bài toán trong đề thi Đại học và đề thi Học sinh giỏi
  • 20
  • 1
  • 0
• skkn HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG, KHAI THÁC KIẾN THỨC, RÈN LUYỆN CÁC KĨ NĂNG ĐỊA LÍ TỪ ATLAT ĐỊA LÍ VIỆT NAM
  • 20
  • 610
  • 0
• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng atlat địa lí việt nam để làm tốt bài thi môn địa lí trong kỳ thi THPT quốc gia
  • 23
  • 1
  • 2
• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng hàm số chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến
  • 24
  • 236
  • 0
• Phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng átlát địa lí việt nam phần địa lí kinh tế xã hội giúp nâng cao kết quả học tập môn địa lí
  • 22
  • 204
  • 0
• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính casio fx 570 VNPLUS giải toán trắc nghiệm phần nguyên hàm tích phân và ứng dụng
  • 24
  • 1
  • 3
• HƯỚNG dẫn học SINH sử DỤNG máy TÍNH CASIO FX 570VN PLUS GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
  • 22
  • 441
  • 0
• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh và chính xác bài tập “lập phương trình dao động đ
  • 17
  • 159
  • 0
• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp đồng đẳng hóa để giải một số bài tập peptit tạo bởi các aminoaxit trong dãy
  • 21
  • 244
  • 0
• Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp đồng đẳng hóa để giải một số bài tập peptit tạo bởi các aminoaxit trong dãy
  • 21
  • 303
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.74 MB - 24 trang) - Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính casio fx 570 VNPLUS giải toán trắc nghiệm phần nguyên hàm tích phân và ứng dụng Tải bản đầy đủ ngay ×