I = Ln 3 4 + Ln 4 5 + Ln 5 6 + . . . + Ln 124 125 - Theo A Và B

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=loga⁡b⇔aα=b

Ví dụ 1.

a) log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b) log(116)4=-2 vì 4-2=116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠1.Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

aloga⁡b=b;log(aα)a=α

Ví dụ 2.

4-2⁢log4⁡3=(4log4⁡3)-2=  3-2=19

log(127)3=log3(3-3)=-3

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga(b1.b)2=logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

log212+log213=log2(12.13)=log24=2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

loga(b1.b…2.bn)=logab1+logab+2….+logabn

( a; b1; b2; ..; bn > 0;a ≠ 1)

2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

logab1b2=logab1-logab2

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: loga⁡1b=-loga⁡b ( a > 0; b > 0;a ≠ 1)

– Ví dụ 4. log 755-log53=log5753=log525=2

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

loga⁡bα=α⁢loga⁡b

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: loga⁡bn=1n⁢loga⁡b

– Ví dụ 5.

log367= 6log73{log345=15log34

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1 ; c ≠ 1, ta có:

loga⁡b=logc⁡blogc⁡a

– Đặc biệt:

logab=1logb⁡a(b≠1){logaαb=1αlogab(α ≠0)

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 5log1125⁡8

b) log2⁡3.log3⁡4.….log7⁡8

Lời giải:

a) Ta có: log1125⁡  8=log5-3⁡8=-13⁢log5⁡23

=-13⁢. 3⁢log5⁡2=⁢ -log5⁡2=log5⁡2-1=log5⁡12

⇒5log1125⁡8=  5log5⁡12=12.

b) Ta có: log2⁡3.log3⁡4.….log7⁡8

=log2⁡3.log2⁡4log2⁡3.log2⁡5log2⁡4⁢….log2⁡8log2⁡7=log2⁡8=  3

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

logeb được viết là lnb.